Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Оптимальный прием и обработка сигналов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

1.5. Оптимальные решения





























ПВ

как средний риск

значение

оператор

min ,

Пример 1.2. Применим байесовское решающее правило в

случае выражения (1.1). Найдем условие минимума апостериорного риска:

откуда

совская оценка вектора

ции потерь оптимальным байесовским решением служит среднее апостериорное значение вектора

случае выражения (1.3) и получим байесовское решение

uy x, где

при котором апостериорная ПВ

принятой реализации

Поэтому принятие решения на основе критерия максимума апостериорной ПВ

ошибочного решения при приеме сигнала.

орной ПВ

uy x xxy x, где ˆx — оптимальная байе-

Пример 1.3. Применим байесовское решающее правило в



 

xxuxxx.

Значит, в случае выражения (1.3) оптимально значение

Все, что можно узнать о полезном сигнале

Yx . Значение



Каждое байесовское решение ищется для заданной апри-

0pY  и не зависит от u . Решение



r u , так и апостериорный риск



Y известно из наблюдений:

arg возвращает значение аргумента u функции

u .



,2 0

rY p d

 

argmin argmax

uu Qxu xyx



p x , поэтому говорят о байесовском решении





bpYdpY









d



x ; видно, что для квадратичной функ-



Y , заключено в апостериорной ПВ

Yx дает ПВ верного приема сигнала.



Yx обеспечивает минимум полной ПВ

uu, где

Yx максимальна.

u минимизирует

rYu , если

arg min ,

x .

rY

x на основе



x ,

1. Теория статистических решений























































относительно заданной

p x можно найти разные решения. Действительно, апосте-



риорная ПВ

r u и апостериорный риск



Пример 1.4. Пусть все возможные ошибочные решения

одинаково нежелательны. Это типично для передачи дискрет-

ных сообщений. Применим выражение

простой функции потерь. Это разумно, если обоснованный выбор функции потерь затруднен. Так, в радиолокации [7] и системах связи [1] при обнаружении сигнала бывает трудно оценить потери из-за пропуска сигнала и его ложного обнаружения. Для дискретных сообщений средний риск

rP PP



dcxdx x d,





где

роятность верного приема

бочного решения. Байесовский критерий минимума среднего риска здесь совпадает с критерием

ности ошибочного решения

ское решение нельзя. получить, используя функцию риска



P x

Если априорная ПВ

Yx зависит от



ii i



,1 1



— вероятность передачи отсчета

1.5.2. Минимаксные решения

p x . Для разных распределений

p x

rYu



x ;

1 P d — вероятность оши-

(идеального наблюдателя).

p x неизвестна, построить байесов-

Небайесовские оптимальные решения можно

, поэтому средний риск

зависят от

cx d для





минимума полной вероят-

,r xu, не зависящую от

p x











x ;





P d — ве-



p x . Одно из них — минимаксное решение

нимизируя максимум условного риска, дает



max,*minmax,rr

байесовский критерий —

xu xu

. Далее (п. 2.1.2) описан другой не-

Неймана — Пирсона.

**Ydu — ми-

минимаксный риск

1.5. Оптимальные решения

























Минимаксный критерий дает наилучшее решение для наихудшего случая. При некоторых допущениях минимаксное решение — байесовское для наименее благоприятного апри-

орного распределения

равен байесовскому, а условный риск

значения

стных

риорных данных.

При определении функции риска

x . Минимаксные решения часто применяют в роба-

методах синтеза [11]. Результаты слабо зависят от ап-

1.5.3. Метод максимального правдоподобия

p x [9]. Тогда минимаксный риск

apн

,*r xu не зависит от

,r xu была использова-

на условная ПВ

наблюдаться при заданном значении как случайная функция детерминированного параметра x , а

условная ПВ выразится как

Пусть принята некоторая реализация истинное значение величины при правильном приеме. Величина

ная функция. Функция

терминированная функция параметра няться в некоторой заданной области определения. Иначе

функция

данного значения ра значения вектора состояния Такая функция детерминированного параметра

функцией правдоподобия и обозначается

Пример 1.5. Применим метод максимального правдоподо-

бия для простой функции потерь (1.3). Зададим некоторое значение

pYxx — ПВ реализации одного и того же за-

x . Выразим функцию риска как

pYx — ПВ наблюдений Y , которые могут



x . Тогда Y выступает

pYxx.





Y . Обозначим

x, которому соответствует Y

Y x — детерминирован-

pYxx рассматривается как де-



x , который может изме-



Y , рассматриваемая в зависимости от выбо-

x передаваемого сообщения.

x называется

LpYxxx

  

—

1. Теория статистических решений























































где

Минимум функции риска

надо решить

мативным параметром

тором

p x и

нято решение по наблюдению реализации

среднего риска функцию потерь



rb YpYdYBL

  

uxux u

 

— константа, не зависящая от u , и

ux, когда функция правдоподобия

Чтобы найти максимально правдоподобное значение

1.6. Оптимальные решения при зависимости сигнала

Обозначим

tx в пространстве состояний. Пусть априорные ПВ







p μ заданы. Качество принятого решения

Yd μ u μ зависит от значения μ , в пользу которого при-









уравнение правдоподобия

от неинформативных параметров



ии

LLL

xux.



,,St tλμ как переданный сигнал с неинфор-



μ . Сообщение



LpYxuu.



r u

достигается при том значении



L u максимальна:



max max

tλ отображается век-



Ycxu μ

  







. При расчете

надо усреднить:



x ,

rYpYdddYrpYdY

ucxuμ x μ x μ u ,



где апостериорный риск

и учтена формула Байеса

В случае выражения (1.1) минимизация функции

оптимальное решение

,, ,,



 

rYpYdducxuμ x μ x μ

,, ,

Yp YpYx μ x μ .

ˆˆ

xxxμ x μ x μμμ,

 

,, ,

Ydd p Yd



r u дает



1.6. Зависимость сигнала от неинформативных параметров













































где

x μ xx μ x — условная оценка величины ˆx при

заданном значении

Имеем

если

uxuxx

   



,,,,rYpYpddY

xu c xu μ x μμμ

 

Для функции потерь

мум функции риска

подобия

функция правдоподобия, усредненная по

мального правдоподобия можно найти из уравнения правдопо-

добия

можно применить для оценки максимального правдоподобия.

Если их нет, введем вектор состояния

uzuzz

   



,,, ,, ,rr YpYdY

zu xμ ucxuμ x μ

 

(1.3) оценка







1.7. Оптимальные решения при зависимости сообщения

Неинформативные параметры могут быть и у сообщения. Тогда сообщение — некоторая функция

параметра



x и μ — статистически независимы. Тогда средний риск



,rrpd













,rrpd





α . Компонентами α могут быть, например, дис-

Yd



μ .

,, , , ,pYpY p pY ppx μ x μ x μ x μ x μ ,



, а средняя по μ функция риска



,,Ycxu μ из выражения (1.3) мини-

,r xu дает оценку максимального правдо-



L

arg max







z следует из уравнения правдоподобия

, где

от случайных параметров

. Здесь



. Априорные данные о параметре μ

— средний риск, где функция риска





LpYzz









xxμμμ —





— функция правдоподобия.



,LpYpd

μ . Оценку макси-

zxμ

. Для выражения

. Найдем

,tλα случайного



1. Теория статистических решений



























персия и ширина спектра сообщения. Параметр α — неинформативный, если потребителя информации интересует само сообщение таким же способом , как и в пункте 1.6 (с заменой

Средний и апостериорный риск

rrpYdY

uu ,

  

λ , а не значение α . Оптимальное решение найдем



rYpYdducxuα x α x α .

,, ,



μ на α ).



Для оптимальной оценки вектора состояния

чае выражения (1.1) получим



при заданном значении α . Эти формулы применяют, на-

ка

пример, при синтезе адаптивных систем фильтрации, когда статистика априорных сведений о сообщении неизвестна или известна частично.

Выше предполагалось, что решение о каждом значении сообщения принимается независимо от того, какие решения принимались ранее и как они были приняты. Изменим поста-

новку задачи. Пусть принята выборка отсчетов

сигнала

ние

ция, описывающая взаимодействие переданного сигнала

t λ и помехи



значим

сигнала

Ydx ααα, где



1.8. Анализ временных последовательностей

yt в моменты.



,,yt f st nt λ , где



...

sss и

t λ и шума



x α xx α x — условная оцен-





, ,...,

tt t

nt , а λ — информативный параметр. Обо-



nn nn — выборки отсчетов

nt соответственно. Имеем

xxxα x α

Yd

на отрезке

— некоторая заданная функ-

...



pYdd





,tx α в слу-



yy yy

0,T . Колеба-



...



,yFsn, где F — векторный оператор функции



1.8. Анализ временных последовательностей















Все возможные выборки s , n , и y образуют пространства выборок полезного сигнала соответственно. Пусть заданы ПВ

, ,...,

ps s ss и оператор F , определяющий способ

  

взаимодействия шение о значении

По заданному оператору

p ys



го

s . После приема выборки y величина

параметра ция показывает, насколько одно значение вектора вестной выборке

вестной априорной ПВ

p ys можно найти совместное распределение по формуле



, статистически описывающую y для каждого заданно-

s (функция правдоподобия, см. п. 1.5.3). Эта функ-

s и n . Надо принять детерминированное ре-

s по принятой реализации y .

y более правдоподобно, чем другие. При из-

S , помехи N и наблюдений Y

, ,...,

pnn nn ,

nn n

F можно найти условную ПВ

p ys — функция

p s и найденной условной ПВ



s при из-



Байеса

временных последовательностей постоянного размера мулируются аналогично пункту 1.2. Вальда [9] временных последовательностей случайной длины рассмотрен в пунктах 2.1.3 и 2.1.4.

1. В чем отличие регулярных решающих правил от рандо-

мизированных?

2. Какими свойствами обладает функция потерь?

3. Как найти средний и апостериорный риски?

4. Какое решение называется байесовским?

5. Чем байесовское решение отличается от минимаксного

решения и от решения максимального правдоподобия?

6. В чем заключаются особенности построения оптималь-

ных решений при наличии зависимости параметров?

pppys ys s



Контрольные вопросы

. Правила принятия решения для



Последовательный анализ

сигнала от случайных

фор-

































2. ОБНАРУЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ГАУССОВСКИХ ПОМЕХ

2.1. Постановка задачи

и оптимальные алгоритмы обнаружения сигналов

В РС всегда есть шумовая широкополосная помеха



— как в приемнике, так и в окружающей среде. Помеху опишем белым гауссовским шумом (БГШ) с односторонней спек-

тральной плотностью

TT T,

мана;

ра приемника;

шшашп

T (шпT ) — эффективная шумовая температура

ша

0 ш

T — эквивалентная шумовая температу-

антенно-волноводного тракта (приемника).

означает анализ принятой реализации

нала

при

сигнал

аддитивная,

0,tT для выноса решения о том, есть или нет в ней



,St, несущий сообщение . Если помеха



,yt St nt



, где



чина, которая может принимать два значения: 1 сигнал есть (его нет) в

1 P ). Значит, надо оценить

(

, где k — постоянная Больц-

Обнаружение сиг-

Y сигнала

— случайная вели-

с априорной вероятностью

по наблюдениям

Y .



nt —



) —

2.1.1. Байесовское решение

Построим оптимальный обнаружитель сигнала. Пусть за-

дано

PP и

PP . Имеем

011

ap ap

 . Ис-

2.1. Постановка задачи обнаружения сигналов









































































пользуем простую функцию потерь

1d  (0d  ) принимается решение об обнаружении (отсутст-

вии) сигнала. Если принято верное решение, потери

,0cd



 , неверное —



ответствует максимуму апостериорной вероятности

Запишем решающее правило:



1, 1 0







где

— вероятность обнаружения (отсутствия) сигнала в реализа-

ции

PY P pY pY

или

том неравенства

ское правило принятия оптимального решения в пользу оцен-

ки ˆ1



 :



— оптимальная оценка ;

. Формула Байеса дает



YpY pY P P h





TT T

00 0



0, 1 0









TTTT

P Y P Y pY pY P



TTT



000

   (2.1)



,

0000

 . По этой формуле с уче-



PYP Y





,1cd





при PYP Y





 найдем байесов-

1001,

. Оптимальное решение со-



 (





 . В случае





PY.



 )





 

ap ap

где

личии (отсутствии) в ней сигнала, отношение

— функция правдоподобия;

(2.1) сводится к сравнению

решение принимается в пользу оценки ˆ0

ся в системах радиосвязи, если известны

Критерий идеального наблюдателя (2.1) часто применяет-



 (





) — ПВ наблюдения

h — порог сравнения; правило

Y с h ; при нарушении (2.1)



Y при на-

Y этих ПВ

. Если

2. Обнаружение непрерывных сигналов на фоне гауссовских помех





























PP

ap ap

, то 1h, что дает критерий максимального

правдоподобия. При случайной помехе принятое решение не

всегда достоверно. Разные неверные решения могут дать разные потери. Применение простой функции потерь не учитывает этот факт. Для повышения качества решения применим обобщенную функцию потерь. Тогда в задаче обнаружения возможны четыре ситуации:

St есть в



обнаружении

St есть в

St (правильное обнаружение);



необнаружении

St нет в



обнаружении

St нет в

St не обнаружено (правильное необнаружение).



St (ложная тревога);



Y , и принимается решение



Y , но принимается решение

St(пропуск сигнала);



Y , но принимается решение



Y , и принимается решение

d (

), что

) об

) о

) об

В ситуациях 1 и 4 решение верное, и разумно считать, что

потерь нет. В ситуациях 2 и 3 решение неверное. Обозначим

1,cdc



 (



010

0,cdc





101

 ) как потери для ситуации 2

(3). Применив схему (см. рис. 1.1), выразим решающее правило:

еслиY























где

ства

— область реализаций решения

Y и 1Y не пересекаются; объединение

при 0,1i

; множе-

YY Y —

множество возможных реализаций. Считаем, что вероятностное пространство нормировано условием

TT TT TT

pY dY pY dY pY dY



YYY

pY — ПВ реализации

где





00 00 00





Y при заданном значении .

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]