Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация многофакторного эксперимента в химии. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Е.И. Короткова, Е.В. Дорожко,
О.А. Воронова, О.И. Липских
ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОФАКТОРНОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА В ХИМИИ
Рекомендовано в качестве учебного пособия
Редакционно-издательским советом
Томского политехнического университета
Издательство
Томского политехнического университета
2021
2
УДК 542(075.8)
ББК 24.1ся73
К68
Короткова Е.И.
К68 Оптимизация многофакторного эксперимента в химии : учебное
пособие / Е.И. Короткова, Е.В. Дорожко, О.А. Воронова, О.И. Липских ; Томский политехнический университет. – Томск : Изд-во
Томского политехнического университета, 2021. – 85 с.
ISBN 978-5-4387-1055-4
В пособии кратко изложены основные методы оптимизации многофак-
торного эксперимента. В доступной форме даны основы методов математической статистики, применяемые для обработки результатов эксперимента. Приведены примеры использования методов оптимизации эксперимента в химии.
Включены необходимые справочные материалы (статистические таблицы).
Пособие предназначено для студентов старших курсов химических спе-
циальностей высших учебных заведений.
УДК 542(075.8)
ББК 24.1ся73
Рецензенты
Кандидат химических наук
доцент кафедры аналитической химии
Томского государственного университета
В.В. Шелковников
Кандидат химических наук
старший преподаватель кафедры химии
Сибирского государственного медицинского университета
И.С. Кускова
ISBN 978-5-4387-1055-4 © ФГАОУ ВО НИ ТПУ, 2021
© Короткова Е.И., Дорожко Е.В.,
Воронова О.А., Липских О.И., 2021
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2021
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 5
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ
И ОПТИМИЗАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТА ............................................................. 7
1.1. Цель и задачи планирования эксперимента ............................................. 7
1.2. Активный и пассивный эксперимент ........................................................ 7
1.3. Приведение реальных задач к общему виду ............................................ 8
1.4. Математическое описание процессов ....................................................... 8
1.5. Типы поверхности отклика ........................................................................ 9
Вопросы для самоконтроля ............................................................................. 10
Глава 2
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ............................................................................ 11
2.1. Основные допущения регрессионного анализа ..................................... 11
2.2. Выбор уравнения регрессии .................................................................... 11
2.3. Линейная регрессия от одного параметра .............................................. 12
2.4. Оценка значимости коэффициентов по критерию Стьюдента ............ 13
2.5. Оценка адекватности модели ................................................................... 14
2.6. Пример использования регрессионного анализа ................................... 15
Вопросы для самоконтроля ............................................................................. 18
Глава 3
МНОГОФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ......................................................... 19
3.1. Полный факторный эксперимент ............................................................ 19
3.1.1. Основные положения ..................................................................... 19
3.1.2. Критерий оптимизации .................................................................. 20
3.1.3. Отбор факторов и требования к ним ............................................ 21
3.1.4. Анализ априорной информации.
Выбор области факторного пространства .................................... 22
3.1.5. Ортогональные планы первого порядка ....................................... 23
3.1.6. Основные эффекты и эффекты взаимодействия ......................... 28
3.1.7. Регрессионный анализ в многофакторном эксперименте .......... 31
3.1.8. Пример использования ПФЭ в химии .......................................... 35
3.2. Дробный факторный эксперимент .......................................................... 38
3.2.1. Основные положения ..................................................................... 38
3.2.2. Метод определяющих контрастов ................................................ 40
3.2.3. Примеры построения матриц планирования
дробного факторного эксперимента ............................................. 41
3.2.4. Насыщенные ортогональные планы ............................................. 42
3.2.5. Устранение влияния временного дрейфа ..................................... 43
3.2.6. Рандомизация условий эксперимента ........................................... 44
3.3. Интерпретация модели ............................................................................. 44
Вопросы для самоконтроля ............................................................................. 46
4
Глава 4
ОПТИМИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ............................................................... 47
4.1. Задача оптимизации .................................................................................. 47
4.2. Метод Гаусса–Зайделя ............................................................................. 47
4.3. Метод крутого восхождения .................................................................... 48
4.3.1. Основные этапы метода крутого восхождения ........................... 48
4.3.2. Движение по градиенту .................................................................. 49
4.3.3. Пример использования метода крутого восхождения в химии ...... 50
4.3.4. Реализация опытов в методе крутого восхождения .................... 52
4.4. Симплексное планирование ..................................................................... 53
4.4.1. Сущность метода ............................................................................ 53
4.4.2. Построение симплекс-планов ........................................................ 54
4.4.3. Свойства матрицы симплексного планирования ......................... 56
4.4.4. Расчет симплекс-планов ................................................................. 56
4.4.5. Введение нового фактора ............................................................... 57
4.4.6. Пример использования симплексного планирования в химии ....... 58
4.5. Оптимизация многоэкстремальных объектов ........................................ 61
4.5.1. Метод случайных направлений ..................................................... 61
4.5.2. Поиск по сетке факторов ................................................................ 62
Вопросы для самоконтроля ............................................................................. 62
Глава 5
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТКЛИКА
В РАЙОНЕ ЭКСТРЕМУМА ............................................................................... 63
5.1. Планы второго порядка ............................................................................ 63
5.2. Композиционные планы Бокса–Уилсона ............................................... 64
5.3. Центральное ортогональное
композиционное планирование (ЦОКП) ................................................ 66
5.3.1. Матрицы ЦОКП .............................................................................. 66
5.3.2. Расчет коэффициентов уравнения регрессии в ЦОКП ............... 69
5.3.3. Статистическая обработка результатов ЦОКП ........................... 70
5.3.4. Пример использования ЦОКП в химии ........................................ 71
Вопросы для самоконтроля ............................................................................. 78
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................... 79
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .................................................................................... 80
ПРИЛОЖЕНИЕ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ ........................................ 82
5
ВВЕДЕНИЕ
Основной целью использования методов оптимизации эксперимен-
та является получение наилучших результатов при минимуме опытов.
Оптимизация эксперимента с использованием методов математиче-
ской статистики – важная часть любой исследовательской деятельности.
С помощью методов оптимизации эксперимент можно сделать более
организованным и целенаправленным, получая при этом более надежные результаты с минимальными затратами времени.
Методы математического планирования эксперимента возникли
в результате развития математической статистики. Разработка этих методов была вызвана необходимостью резкого повышения экономической эффективности научных исследований, которые в последнее время
требуют больших затрат со стороны общества [1].
Несмотря на большое многообразие экспериментальных исследо-
ваний, в большинстве своем они сводятся к трем основным математическим задачам:
1. Провести статистическую обработку результатов химического
эксперимента, отобрать значимые факторы (дисперсионный, регрессионный анализы).
2. Создать математическую модель процесса и определить ее па-
раметры (факторный эксперимент).
3. Осуществить оптимизацию процесса, т. е. определить условия,
которые обеспечивают оптимальный режим какого-либо процесса или
оптимальные свойства какого-либо продукта (методы оптимизации: метод крутого восхождения, симплексное планирование) 2.
При применении методов планирования решение поставленных за-
дач осуществляется с минимальным количеством опытов и высокой
производительностью.
Истоки планирования эксперимента уходят в глубокую древность,
когда человек неосознанно стремился использовать свои знания для повышения эффективности работы. Однако только в начале 20-го века
возникла отдельная дисциплина – планирование и организация эксперимента. Это связано с именем великого ученого-статиста Р.А. Фишера,
который в 1935 году издал первую книгу «Планирование эксперимента». Он применил методы математической статистики для изучения
факторов, влияющих на урожайность сельскохозяйственных культур.
В дальнейшем методы планирования и организации эксперимента
начали бурно развиваться. Большой вклад в развитие дисциплины внесли ученые Дж. Бокс и К. Уилсон. В 50-х годах 20-го века ими был предложен метод крутого восхождения для более эффективного поиска оп-
6
тимума функции отклика. Данный метод представляет собой многошаговую процедуру движения к оптимуму, причем на каждом шагу экспериментальные данные используются для локальной аппроксимации поверхности регрессионной модели, которая линейно или полиномиально
зависит от факторов и, следовательно, от параметров процесса. Данный
метод широко используют и в наше время.
В России планирование эксперимента бурно развивалось в 60-х –
70-х годах 20 века и связано с именами таких ученых, как Ю.П. Адлер,
В.В. Налимов, Ю.В. Грановский и др. После этого планирование эксперимента стало настолько модным и популярным, что его начали использовать даже в тех случаях, когда без него можно было легко обойтись.
Позже стало понятно, что одного только планирования эксперимента
недостаточно для успешного научного исследования, а соответствующие методы и алгоритмы (полный и дробный факторные эксперименты,
крутое восхождение и др.) стали привычными и общеупотребительными, особенно при широком распространении компьютерных программ.
Сегодня любой специалист, работающий в области метрологии, химии
и других областях науки, должен уметь в необходимых случаях приме-
нять в своей работе методы планирования эксперимента 2–5.
В настоящее время планирование эксперимента используется
не только в химии, физике, других естественно-научных дисциплинах,
но и в экономике, социологии, культурологии.
Принято, что планирование эксперимента нельзя целиком считать частью математической теории статистики, хотя исследования в рамках этого предмета продолжают поставлять новые классы планов и новые обобщения. Статистическая теория и практика жизненно необходимы для
эффективного планирования эксперимента. Однако наиболее важным
условием является связь между экспериментатором и статистом при определении вопросов, ответы на которые следует получить из эксперимента.
7
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ
И ОПТИМИЗАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТА
1.1. Цель и задачи планирования эксперимента
Основной целью применения планирования эксперимента в исследованиях является получение наилучших (оптимальных) результатов
при наименьшем числе опытов. В связи с этим задачами планирования
эксперимента являются следующие:
1. Установка цели исследования и выработка научной гипотезы.
2. Выбор факторов, значимо влияющих на процесс, из предваритель-
но проведенного дисперсионного анализа или априорной информации.
3. Создание плана эксперимента, позволяющего с наименьшим
числом опытов получить математическую модель процесса.
4. Осуществление поиска оптимальных условий проведения про-
цесса с использованием методов оптимизации эксперимента.
1.2. Активный и пассивный эксперимент
Существуют несколько классификаций эксперимента. Рассмотрим
одну из самых распространенных классификаций, по которой эксперименты подразделяются на активные и пассивные.
В пассивном эксперименте экспериментатор не изменяет факторы
согласно плану эксперимента, а только регистрирует их значения и получаемые результаты, собирает статистический материал и обрабатывает
опытные данные для получения математической модели процесса, используя регрессионный, корреляционный или дисперсионный анализы.
В активном эксперименте опыты проводятся по предварительно
разработанному плану. При этом меняется не один, а сразу несколько
факторов, и оценивается их влияние на процесс.
Схема любого активного эксперимента предполагает следующие стадии:
1. Формулировка цели исследования, выбор параметров и факторов.
2. Уточнение области изменения факторов на основе априорной
информации.
3. Построение плана эксперимента, включающего схему экспери-
мента, число независимых опытов, порядок их проведения.
4. Проведение опытов по плану.
5. Статистическая обработка результатов эксперимента.
6. Интерпретация результатов эксперимента.
7. Оптимизация эксперимента с помощью соответствующих методов.
8. Создание окончательной математической модели процесса
в области оптимума.
8
1.3. Приведение реальных задач к общему виду
Эксперименты сложны и многообразны. К каждому конкретному
случаю необходимо свое оборудование, методика и т. д. Для выполнения задач планирования эксперимента необходимо все многообразные
условия эксперимента привести к общему абстрактному виду.
Представим объект исследования (процесс, вещество и т. д.) в виде
«черного ящика» (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Объект исследований как «черный ящик»
На него влияют входные параметры – факторы (Х1, Х2, …, Хn).
Выходным параметром (результатом исследований) является функция
отклика Y(Х1, Х2, …, Хn), зависящая от факторов, где n – число изучае-
мых факторов. Кроме того, на данный объект исследований могут влиять какие-либо неучтенные факторы (условия окружающей среды и др.).
Обозначим этот параметр как случайный фактор (С). Таким образом,
результат исследований представляется как функция, зависящая от факторов проведения эксперимента: Y = f(X1, X2, …, Xn, C).
1.4. Математическое описание процессов
Будем считать математической моделью процесса уравнение, связывающее функцию отклика с факторами – уравнение регрессии.
Чаще всего данное уравнение представляют в виде полинома – отрезка ряда Тейлора:
0 1 1 2 2 12 1 2 13 1 3
2 2 2
11 1 22 2
... ...
....
ii
iij j i j j
y b b X b X b X b X X b X X
b X X b X b X b X
(1.1)
Данное уравнение можно представить в виде
0
1 , 1 1
n n n
i i ij i j ii i
i i j i
y b b X b X X b X
, (1.2)
где b0 – свободный коэффициент уравнения регрессии; bi – линейные коэффициенты уравнения регрессии; bij – парные коэффициенты (эффекты
9
парного взаимодействия); bii – квадратичные коэффициенты уравнения
регрессии. Следует учитывать, что данные коэффициенты несут в себе
погрешность и не являются истинными.
Коэффициенты регрессионной модели имеют большое значение
в планировании эксперимента. Степень влияния данного фактора
на функцию отклика определяется их абсолютной величиной. Действие
фактора определяется знаком перед коэффициентом.
Коэффициенты определяются как частные производные функции
отклика по соответствующим переменным (факторам):
,
i
i
Y
b
X
2
,
ij
ij
Y
b
XX
2
2
ij
i
Y
b
X
. (1.3)
1.5. Типы поверхности отклика
Математическую модель можно выразить двумя способами: геометрическим и алгебраическим. Так, если фактор Y зависит от X, то данную зависимость выражают в виде линии (прямой или кривой) на плоскости.
В результате опыта получают каждую точку (пара значений Х, Y). Если параметр Y зависит от двух факторов (Х1, Х2), то такую зависимость можно
описать криволинейной поверхностью в трехмерном пространстве. Невозможным становится наглядное изображение модели при условии трех и более факторов. При этом такую функцию можно описать математически как
некую гиперповерхность и рассчитать координаты точек, положение мак-
симумов и минимумов, а также траектории движения по поверхности 1.
Расположение факторов в координатном пространстве называется
факторным пространством. Геометрическое изображение функции
отклика в факторном пространстве называется поверхностью отклика.
Существует несколько типов поверхности отклика. Рассмотрим четыре основных:
1. «Вершина». Такой вид поверхности отклика описывается функ-
цией, имеющей максимум или минимум в одной точке факторного пространства (рис. 1.2, а).
2. «Стационарное возвышение» – равномерное возрастание (убыва-
ние) функции отклика при изменении факторов (рис. 1.2, b). В данном
случае не наблюдается максимум (или минимум) на поверхности отклика.
3. «Хребет» или «Овраг». Функция отклика имеет множество зна-
чений максимумов или минимумов, расположенных в виде хребта
(оврага) (рис. 1.2, c).
4. «Седло». На двух участках факторного пространства наблюда-
ется увеличение функции отклика, а на двух других участках – уменьшение (рис. 1.2, d).
10
Рис. 1.2. Двумерное сечение разных типов поверхности отклика:
а – «Вершина»; b – «Стационарное возвышение»; с – «Хребет»; d – «Седло»
Поверхности отклика встречаются и с более сложными конфигурациями. Если число факторов больше двух, для наглядного изображения функции отклика пользуются двумерными сечениями поверхности отклика.
Вопросы для самоконтроля
1. Чем отличаются активный и пассивный эксперименты?
2. Как выглядит уравнение регрессии второго порядка в виде от-
резка ряда Тейлора для трех факторов?
3. Какие виды поверхности отклика Вы знаете?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]