Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация многофакторного эксперимента в химии. Учебное пособие
.pdf
11
Глава 2
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
2.1. Основные допущения регрессионного анализа
Для того чтобы оценить зависимость параметра Y от X, используется регрессионный анализ. Следует учитывать четыре основных допущения (требования):
1. Наличие ошибок определяется измерением параметра (Y), а не
факторов (аргументов Х1, Х2,
Хk
), т. е. Sy >> Sx.
2. Опыты считаются равноточными. Они дают примерно одинако-
вую воспроизводимость измерения Y. Дисперсии в каждой серии опытов должны быть однородны.
3. Погрешность измерения Y имеет случайный характер и не име-
ет систематической составляющей.
4. Погрешность измерения Y не зависит от опыта и имеет нор-
мальное распределение.
2.2. Выбор уравнения регрессии
Для того, чтобы задать регрессию, используют полином с неизвестными коэффициентами:
2
0
1 , 1 1
n n n
i i ij i j ii i
i i j i
Y b b X b X X b X
. (2.1)
При этом в уравнении могут содержаться двойные, тройные и др.
произведения переменных. Выбор уравнения регрессии произвольный.
Однако чаще всего начинают с простой модели, состоящей только
из линейной части полинома:
0
1
n
ii
i
Y b b X
. (2.2)
Убедившись в ее непригодности, рассматривают более сложную
модель. Иногда, наоборот, первоначально рассматривают достаточно
сложную модель. Если исследуемая система окажется проще, коэффициенты при «лишних» слагаемых будут незначимы, и их можно отбросить, получив более простую модель. Тем не менее лучше выбирать
уравнение регрессии, используя априорную информацию о системе.
Для линейной регрессии гораздо проще рассчитать коэффициенты
модели, поэтому часто для более сложных зависимостей используют прием линеаризации зависимости Y от факторов. Это кодировка значений Y
и Х, которая приводит к линейной зависимости. Например, в уравне-
нии (2.3) наблюдается линейная зависимость Y от ex:
12
x
Y K e
. (2.3)
Можно прологарифмировать левую и правую части уравнения, тогда мы получим линейный вид уравнения регрессии:
ln lnY K x
. (2.4)
Применив соответствующие кодировки, можно большинство нелинейных функций привести к линейному виду. В дальнейшем в данной
главе мы рассмотрим только линейную часть полинома (2.1).
2.3. Линейная регрессия от одного параметра
Существует несколько способов расчета коэффициентов регрессии.
Наиболее распространенным является метод наименьших квадратов (МНК),
который был предложен К.Ф. Гауссом в 1806 году. Метод основан на минимизации суммы квадратов отклонений между экспериментальными
значениями выходного параметра Y от рассчитанных по модели:
2
1
min
n
ii
i
Q Y f X
, (2.5)
где n – число опытов. Если функция f(Xi) зависит от коэффициентов b0,
b1, b2, bk, где k – число факторов, то выражение (2.5) можно переписать:
2
0 1 2
1
, , , , , min.
n
i i k
i
Q Y f X b b b b
(2.6)
Необходимым условием минимизации функции, зависящей от ряда
аргументов, является равенство нулю частных производных этой функции по аргументам.
Рассмотрим МНК для уравнения регрессии, где выходной пара-
метр Y зависит только от одного аргумента (фактора) х:
* * *
01
.Y b b x
(2.7)
Тогда система уравнений (2.8) будет иметь следующий вид:
* * *
10
11
* * 2 *
10
1 1 1
;
.
nn
ii
ii
n n n
i i i i
i i i
Y b x nb
Y x b x b x
(2.8)
Перепишем эту систему уравнений относительно b
0
*
:
* * *
01
11
* * * 2
01
1 1 1
;
.
nn
ii
ii
n n n
i i i i
i i i
nb Y b x
b x Y x b x
(2.9)
13
Решим систему уравнений (2.9) при помощи определителей отно-
сительно b
0
*
:
* 2 *
*
1 1 1 1
0
2
2
11
n n n n
i i i i i
i i i i
nn
ii
ii
Y x x Y x
b
n x x
. (2.10)
Перепишем систему уравнений (2.8) относительно b
1
*
:
* * *
10
11
* 2 * *
10
1 1 1
;
.
nn
ii
ii
n n n
i i i i
i i i
b x Y nb
b x Y x b x
(2.11)
Решение системы уравнений (2.11) относительно b
1
*
при помощи
определителей представлено выражением 2.12:
**
*
1 1 1
1
2
2
11
n n n
i i i i
i i i
nn
ii
ii
n Y x Y x
b
n x x
. (2.12)
Уравнения (2.10) и (2.12) являются основными при определении
коэффициентов уравнения линейной регрессии от одного параметра.
2.4. Оценка значимости коэффициентов
по критерию Стьюдента
После нахождения значений коэффициентов в заданном уравнении
регрессии проводится оценка их значимости. При этом значимость коэффициента показывает значимость влияния прикрепленного к нему
фактора на функцию отклика.
Чтобы проверить значимость коэффициентов, их значения сопо-
ставляют с погрешностями их определения (bi). Погрешности рассчитывают из данных по воспроизводимости величины Y при дублировании
опытов в одних и тех же условиях. Допустим, что количество независимых опытов n, а каждый из них повторяли m раз. Для каждого независимого опыта находят дисперсию по m параллельным опытам S
m
2
:
2
21
1
m
iu i
u
i
YY
S
m
. (2.13)
Дисперсии для всех n независимых опыта должны быть однородны
(одно из основных допущений регрессионного анализа). Однородность
дисперсий можно проверить по критерию Кохрена в случае одинакового числа параллельных измерений (m). Тогда общая дисперсия воспроизводимости определяется по уравнению:
14
2
2
1
вос
n
i
i
S
S
n
. (2.14)
Данная дисперсия воспроизводимости используется не только при
оценке значимости коэффициентов, но и в других случаях. Число степеней свободы для этой дисперсии равно:
1f n m
. (2.15)
Далее необходимо оценить дисперсии коэффициентов по уравнениям:
*
0
22
вос
1
2
2
11
n
i
i
b
nn
ii
ii
Sx
S
n x x
; (2.16)
*
1
2
вос
2
2
11
b
nn
ii
ii
Sn
S
n x x
. (2.17)
Далее оценивается погрешность определения коэффициентов по
формуле
,i f p bj
b t S
, (2.18)
где t
f, p
– значение коэффициента Стьюдента для числа степеней свобод
f = n(m – 1) и доверительной вероятности P (чаще всего P = 0,95).
Если абсолютное значение коэффициента больше его ошибки
определения, то данный коэффициент считают значимым:
jj
bb
. (2.19)
Иногда, чтобы не проводить много параллельных опытов, дублиру-
ют не все опыты, а только часть или один опыт. Дисперсия значений Y
в таком опыте приравнивается к общей дисперсии воспроизводимости.
В таком случае число степеней свобод дисперсии воспроизводимости
равно (m – 1).
2.5. Оценка адекватности модели
Для проверки правильности описания процесса моделью (в виде
уравнения регрессии) проводят оценку адекватности этой модели. Модель считается адекватной, если разброс между параллельными опытами при каждом уровне Yi больше, чем расхождения между рассчитанными по модели и экспериментальными значениями Yi.
Для оценки адекватности модели рассчитывают дисперсию адек-
ватности, характеризующую степень отклонения экспериментальных
значений Yi от рассчитанных по уравнению регрессии:
15
2
*
21
ад
n
ii
i
m Y Y
S
nk
, (2.20)
где n – число независимых опытов; k – число значимых коэффициентов
в уравнении регрессии; m – число параллельных опытов для каждого неза-
висимого опыта;
i
Y
– среднее экспериментальное значение функции откли-
ка для каждого i-го уровня из m числа параллельных определений; Y
i
*
– зна-
чение функции отклика, рассчитанное по модели для каждого i-го уровня.
Адекватность модели рассчитывается по критерию Фишера. Для
этого определим отношение дисперсии адекватности к дисперсии воспроизводимости:
2
ад
2
вос
S
Fs
. (2.21)
Если рассчитанное значение критерия F меньше табличного F
(1– p), f1, f2
,
то модель считается адекватной:
1, 2
1,p f f
FF
. (2.22)
Табличное значение критерия Фишера находят для выбранного
уровня значимости (1 – р) и чисел степеней свобод дисперсии адекватности (f1) и дисперсии воспроизводимости (f2):
1
f n k
; (2.23)
2
1f n m
. (2.24)
Если получилась неадекватная модель, то необходимо искать причину неадекватности. Данных причин может быть несколько, но одной
из главных является более сложная модель, описывающая процесс,
по сравнению с той, которая была определена в эксперименте. В данном
случае необходимо усложнить модель, т. е. описать ее нелинейной
функцией, и проверить ее адекватность. Причинами неадекватности модели также могут быть нарушения принятых допущений (п. 2.1).
2.6. Пример использования регрессионного анализа
Определить зависимость растворимости хлорида бария (Y) в присут-
ствии хлорида кальция (x) при 70 °С. Число независимых опытов: n = 6. Каждый опыт дублировался 3 раза (m = 3). Экспериментальные значения приведены в табл. 2.1. Провести регрессионный анализ данной зависимости.
1. Первоначально выберем уравнение регрессии для данного вида
зависимости. Представим его в виде линейного уравнения регрессии
с одной переменной:
* * *
01
Y b b x
. (2.25)
16
Таблица 2.1
Экспериментальные значения растворимости хлорида бария (Y)
в присутствии хлорида кальция (х)
№
х
i,
%
Y
1i,
%
Y
2i,
%
Y
3i,
%
i
Y
, %
1 0 31
32
33
32 2 5
26
25
24
25 3 8
22
20
18
20
4
10
15
17
19
17
5
15
11
10
12
11
6
20 5 6 4 5
58
Найдем коэффициенты этого уравнения, используя метод
наименьших квадратов (расчетные данные представлены в табл. 2.2).
Таблица 2.2
Расчетные данные метода наименьших квадратов (МНК)
№
хi, %
i
Y
, %
x
i
2
x
i
i
Y
2
i
Y
xi +
i
Y
(xi +
i
Y
)
2
1 0 32 0 0
1024
32
1024
2 5 25
25
125
625
30
900
3 8 20
64
160
400
28
784
4
10
17
100
170
289
27
720
5
15
11
225
165
121
26
676
6
20
5
400
100
25
25
625
58
110
814
720
2484
168
4738
2. Определим коэффициенты уравнения регрессии (2.25) по фор-
мулам (2.10) и (2.12).
*
0
2
110 814 58 720
31,43
6 814 58
b
; (2.26)
*
1
2
6 720 58 110
1,355
6 814 58
b
. (2.27)
Таким образом, уравнение регрессии
*
31,43 1,355 .Yx
(2.28)
3. Используя данные параллельных определений в каждом неза-
висимом опыте (табл. 2.1), определим дисперсию воспроизводимости
измерений по формуле
17
2
63
2 1 1
вос
24
2
6 3 1 12
iu i
iu
YY
S
. (2.29)
В данном случае принимаем, что дисперсии однородны.
4. Определим значимость коэффициентов уравнения регрессии (2.28).
Для этого определим дисперсии коэффициентов по формулам (2.16) и (2.17):
*
0
2
2 814
1,035
6 814 58
b
S
; (2.30)
*
1
2
26
0,088
6 814 58
b
S
. (2.31)
Табличное значение критерия Стьюдента для доверительной вероятности P = 0,95 и числа степеней свобод f = n – 1 = 6 – 1 = 5:
0.95, 5
2,57
ft
. (2.32)
Определим погрешность коэффициентов:
*
0
2,57 1,035 2,66b
; (2.33)
*
1
2,57 0,088 0,23b
. (2.34)
Сравним абсолютные значения коэффициентов с их погрешностями и сделаем вывод о значимости коэффициентов:
31,43 2,66
, следовательно b
0
*
– значим;
1,355 0,23
, следовательно b
1
*
– значим.
Все коэффициенты данной регрессионной модели значимы.
5. Оценим адекватность модели. Для удобства расчеты произве-
дем в таблице оценки адекватности модели (табл. 2.3), где Y
i
*
– рассчи-
танные по уравнению (2.28) значения.
Таблица 2.3
Оценка адекватности модели
№
Х
i
Y
Y
i
*
(
i
Y
– Y
i
*
)
(
i
Y
– Y
i
*)2
1 0 32
31,43
0,74
0,55
2 5 25
24,65
0,35
0,12
3 8 20
20,59
–0,59
0,35
4
10
17
17,88
–0,88
0,77
5
15
11
11,105
–0,105
0,011
6
20 5 4,30
0,70
0,49
1,93
18
Оценим дисперсию адекватности по формуле (2.20):
2
ад
3 1,39
1,44
62
S
. (2.35)
Рассчитаем экспериментальное значение критерия Фишера:
2
ад
2
вос
1,44
0,72
2
S
FS
. (2.36)
Найдем табличное значение критерия Фишера для уровня значимости (1 – p) = (1 – 0,95) = 0,05 и числа степеней свобод:
1
6 2 4f n k
; (2.37)
2
1 6 3 1 12f n m
; (2.38)
12
0.05, ,
3,3
ff
F
. (2.39)
Расчетное значение критерия Фишера меньше табличного:
0,72 3,3
. (2.40)
Следовательно, данная модель адекватно описывает процесс.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие допущения применимы в регрессионном анализе?
2. По каким критериям оценивается однородность дисперсий?
3. В чем заключается принцип метода наименьших квадратов?
4. Какие коэффициенты считаются значимыми в уравнении ре-
грессии?
5. Может ли регрессионная зависимость быть описана разными
функциями или она носит только линейный характер?
19
Глава 3
МНОГОФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
3.1. Полный факторный эксперимент
3.1.1. Основные положения
Большинство схем проведения многофакторных экспериментов характеризуются следующими пунктами:
1. Одновременное изменение факторов при переходе от опыта
к опыту.
2. Минимизация числа опытов за счет уменьшения числа исследу-
емых уровней факторов.
3. Такое расположение отдельных опытов в факторном простран-
стве, чтобы в дальнейшем можно было легко вычислить математическую модель процесса методами регрессионного анализа.
Наиболее распространенной является схема полного факторного
эксперимента (ПФЭ). Основоположниками ПФЭ являются Дж. Бокс
и К. Уилсон, которые в 1951 году предложили задавать каждый фактор
на двух уровнях – верхнем и нижнем, расположенных симметрично относительно центра плана. Этот прием позволил значительно сократить
число опытов при исследовании влияния одновременно нескольких
факторов на функцию отклика. Число опытов в ПФЭ:
2
k
N
, (3.1)
где k – число факторов.
Например, при исследовании влияния температуры и концентрации
исходных веществ на выход продукта (функция отклика) необходимо
определить центр плана, интервалы варьирования факторов, значения
верхнего и нижнего уровней факторов. Если за центр плана принять значение температуры 50 °С и концентрации 0,1 моль/л, интервалами варьирования факторов выбрать 10 °С и 0,05 моль/л, то опыты проводятся
только на верхнем (50 °С + 10 °С = 60 °С и 0,1 + 0,05 = 0,15 моль/л)
и нижнем (50 °С – 10 °С = 40 °С и 0,1 – 0,05 = 0,05 моль/л) уровнях факторов. При этом число опытов определяется уравнением: N = 2
2
=
4. Опыты
проводят согласно плану эксперимента, представленному в табл. 3.1.
Таким образом, задача активного эксперимента сводится к построению математической модели процесса и поиску оптимума функции отклика, которая в экстремальном эксперименте называется критерием
оптимизации, при минимуме опытов. Недостатком такого планирования является исследование только локальной области факторного пространства, так как ограничено число уровней факторов.
20
Таблица 3.1
План проведения опытов
№ опыта
Температура
Концентрация, моль/л
Выход продукта, Y, %
1
60 °С
0,15
89
2
40 °С
0,15
57
3
60 °С
0,05
78
4
40 °С
0,05
43
Одним из главных моментов успешного планирования эксперимента
является правильный выбор критерия оптимизации и факторов процесса.
3.1.2. Критерий оптимизации
Критерий оптимизации в активном эксперименте – это функция отклика, зависящая от выбранных факторов, оптимальное значение которой мы ищем. Иными словами, это цель эксперимента.
Критерий оптимизации может иметь разный характер:
1. Экономический (например, себестоимость).
2. Технико-экономический (например, производительность труда,
качество продукции).
3. Технический (например, химические, физико-химические, фи-
зические параметры).
4. Эстетический (например, оптимизация условий труда оператора).
5. Статистический (например, уменьшение ошибки эксперимента).
Кроме того, критерий оптимизации может подразделяться на непрерывный (например, выход продукта) и дискретный (например, количество бракованных деталей). Однако для всех типов существуют одинаковые требования:
1. Критерий оптимизации должен иметь количественный харак-
тер. Лучше всего, если параметр будет выражаться одним числом и ос-
новные условия эксперимента (кроме изучаемых факторов) будут постоянными. Даже для качественных параметров, таких как вкус, запах
и т. д., можно ввести некоторую эталонную шкалу, а потом выражать
результат в баллах. Эта операция называется ранжированием. Эффективность ранжирования определяется способом построения шкалы
(например, пятибалльная система удобна для оценки успеваемости
школьников) и объективностью оператора, проводящего ранжирование.
2. Критерий оптимизации должен быть эффективным и универ-
сальным. Часто неправильно заданный критерий оптимизации может
привести к бесполезности эксперимента. Например, в лабораторных
условиях получен продукт синтеза с очень высоким выходом (критерий
оптимизации). Но в производственных условиях этот синтез нельзя
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]