Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Оптимизация многофакторного эксперимента в химии. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Матрица планирования ПФЭ и результаты определений Y пред-

ставлены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Матрица планирования ПФЭ двухфакторного эксперимента

№

Х1 Х2 Y

вос

– + 70,2

0,01

– – 54,8

0,09

+ + 71,6

0,08

+ – 69,4

0,06

В результате ПФЭ получена адекватная линейная модель процесса

66,5 4,0 4,4Y X X  

. (4.11)

Для поиска оптимума функции отклика применим метод крутого восхождения. За «основной» фактор, где абсолютное значение коэффициента максимально, выберем Х2. Тогда 

осн

будем выбирать из диапазона

осн

0,09 1  

(4.12)

по уравнению (4.10):

осн

1 0,5

   

. (4.13)

Тогда по уравнению (4.9)

осн

осн осн

0,5

0,1

4,4 1bX







  



. (4.14)

В табл. 4.3 представлены основные данные, необходимые для расчетов в методе крутого восхождения.

Таблица 4.3

Расчеты в методе крутого восхождения

Параметр

Характеристика

Х1

Х2

Основной уровень

700

3,0

4,0

4,4

biXi 504 = 200

14,4 = 4,4



осн

0,5

 0.1

0,1

i = biXi

0,44

Округленное значение i

0,4

Окончание табл. 4.3

№ опыта

Характеристика

Х1

Х2

Y 1 720

3,4

2 740

3,8

3 760

4,2

4 780

4,6

78,1 5 800

5,0

85,3 6 820

5,4

82,8

В данном случае реализованы не все опыты, а только последние три опыта. Опыты, где значения факторов входят в локальную область факторного пространства, уже описанную ПФЭ, не реализуются. Они называются «мысленными» опытами (в предыдущем примере это опыты № 1 и 2).

Проанализируем полученные результаты. Оптимум функции отклика достигнут в опыте № 5. Полученное значение Y (85,3) в данном опыте превышает все полученные ранее в ПФЭ значения. В следующем опыте – № 6 – получено уже худшее значение функции отклика Y (82,8). Следовательно, можно сделать вывод, что экстремум функции соответствует опыту № 5. В дальнейшем исследовании можно взять за основной уровень значения факторов, соответствующих опыту № 5, и построить новую математическую модель процесса второго порядка.

4.3.4. Реализация опытов в методе крутого восхождения

Число опытов в методе крутого восхождения теоретически не ограничено, но практически движение по градиенту заканчивают при следующих условиях:

 в первых трех опытах оптимальное значение функции отклика

уже достигнуто;

 один из факторов или функция отклика приняли недопустимые

значения.

Если опыты не дорогие и быстрые, стараются реализовать большее число опытов. Если опыты трудоемкие, то существуют три приема для сокращения числа опытов:

1. Метод «ножниц». В данном случае реализуют первый и последний

опыты. Если в них оптимальное значение функции отклика не найдено, начинают реализовывать опыты последовательно между первым и последним, т. е. далее реализовывают второй и предпоследний опыты и т. д., пока не будет достигнуто оптимальное значение функции отклика.

2. Реализация опытов «через три». То есть реализуют не все опы-

ты, а через три опыта.

3. Реализуют последние 3–4 опыта.

Таким образом, мы рассмотрели планирование экстремальных экспериментов по методу крутого восхождения. Этот метод не всегда является теоретически безупречным, но часто приводит к очень хорошим результатам. Это обстоятельство, а также отсутствие сложных математических вычислений привело к широкому распространению метода в самых различных областях науки и техники.

4.4. Симплексное планирование

4.4.1. Сущность метода

Метод впервые предложен в 1962 году Ф. Химсвортом. Направлен на поиск экстремума функции отклика с помощью симплексов. Симплекс – это правильный многогранник с вершинами n + 1, где n – число факторов. Например, для двухфакторного эксперимента симплекс – равносторонний треугольник, для трехфакторного эксперимента симплекс – тетраэдр.

Рассмотрим сущность метода двухфакторного эксперимента, графическое изображение которого представлено на рис. 4.2. Выберем начальную точку в факторном пространстве (1), в которой поставим первый опыт, построим симплекс (равносторонний треугольник) в факторном пространстве, определим значения Y в вершинах полученного треугольника (точки 1, 2, 3 на рис. 4.2).

Рис. 4.2. Графическое изображение симплексного планирования

для двухфакторного эксперимента

Число опытов для первого симплекса: N = n + 1, где n – число факто-

ров. В первом симплексе (точки 1, 2, 3) находим по значениям Y самый «плохой» результат (по рис. 4.2 это точка 1). Этот опыт отбрасываем и строим новый опыт в точке, диаметрально противоположной самой «плохой» точке в факторном пространстве, т. е. строим точку 4 (рис. 4.2).

Проводим четвертый опыт. Получаем новый симплекс (2, 3, 4). Находим самый «плохой» результат (это точка 3 на рис. 4.2). Этот опыт отбрасываем и строим диаметрально противоположную новую точку – 5. Получаем новый симплекс (2, 4, 5). Далее аналогично отбрасываем точку 2 и строим новую точку – 6. Получаем новый симплекс (4, 5, 6) на рис. 4.2. Подобным образом строим симплексы до тех пор, пока оптимальное значение функции отклика не достигнуто или пока не произошло «зацикливание» симплексов. Если в новом симплексе вновь построенная новая точка привела к худшим результатам, тогда мы ее отбрасываем и возвращаемся к предыдущему симплексу, который и был оптимальным. По рис. 4.2 «зацикливание» симплексов произошло в точке 10, т. е. проведено 10 опытов.

Преимущества данного метода:

1. Требуется меньшее число опытов для поиска оптимума функ-

ции отклика.

2. Для поиска экстремума функции нет необходимости строить

линейную математическую модель процесса, используя ПФЭ или ДФЭ.

3. Не обязательно проводить параллельные опыты для оценки

дисперсии воспроизводимости.

4. Возможно простым пересчетом ввести новый фактор в любую

стадию движения к оптимуму.

5. Можно одновременно учитывать несколько параметров опти-

мизации (например, выход продукта, его себестоимость), если они не противоречат друг другу.

6. Можно анализировать любые поверхности отклика.

К недостаткам метода можно отнести:

1. Метод локальный. Если поверхность отклика имеет несколько

экстремумов, то симплексным планированием мы найдем только ближайший экстремум.

2. Метод менее точный, особенно если опыты трудоемки, т. к. они

подвержены влиянию временного дрейфа, который никак не учитывается в данном эксперименте.

3. Метод не учитывает эффекты взаимодействия факторов. Тем не менее данный метод очень удобен для быстрого нахожде-

ния экстремума функции отклика.

4.4.2. Построение симплекс-планов

Существует несколько приемов построения симплекс-планов. Мы

рассмотрим один из самых распространенных методов построения матриц симплексного планирования с единичной стороной симплекса. В табл. 4.4 представлена матрица планирования в кодированных значениях.

Таблица 4.4

Матрица симплексного планирования с единичной стороной симплекса

№

X1 X2 X3 X

n–1 Xn Yi

k1 k2 k3 k

n – 1 kn Y1

–k1 k2 k3 k

n – 1 kn Y2

3 0 –2k2 k3 k

n – 1 kn Y3

4 0 0

–3k3 k

n – 1 kn Y4

n – 1 0 0 0 k

n – 1 kn Yn – 1

n 0 0

–(n–1)k

n – 1

kn Yn n + 1 0 0 0 0

–nk

n + 1

k – вводимая переменная, которая рассчитывается по формуле

 

ii

, (4.15)

где i – номер фактора.

Нули в матрице симплексного планирования (табл. 4.4) соответству-

ют центру плана, т. е. значениям факторов на основном (нулевом) уровне.

Например, построим матрицу симплексного планирования для че-

тырехфакторного эксперимента (n = 4). Число опытов для построения первого симплекса

1 4 1 5Nn    

(табл. 4.5). Предварительно рас-

считаем значения k1, k2, k3, k4 по формуле (4.15):

 

0,5

2 1 1 1

k 



; (4.16)

 

0,289

2 2 2 1

k 



; (4.17)

 

0,204

2 3 3 1

k 



; (4.18)

 

0,158

2 4 4 1

k 



. (4.19)

Таблица 4.5

Матрица симплексного планирования четырехфакторного эксперимента

в кодированных значениях

№

Х1 Х2 Х3 Х4 Y 1 0,5

0,289

0,204

0,158

Y1 2

–0,5

0,289

0,204

0,158

Y2 3 0 –0,578

0,204

0,158

Y3 4 0 0

–0,612

0,158

Y4 5 0 0

–0,632

Подобным образом можно построить симплексную матрицу пла-

нирования для любого числа факторов.

4.4.3. Свойства матрицы симплексного планирования

Матрица симплексного планирования имеет следующие свойства:

1. Симметричность:

jX





. (4.20)

Например, для столбца Х1:

0,5 0,5 0 0 0 0    

2. Ортогональность. Сумма произведений любых двух вектор-

столбцов матрицы равна нулю:

ij lj



 



. (4.21)

3. Ротатабельность. Измерения равноточны. Свойство нормиро-

ванности не соблюдается:

 







. (4.22)

Однако сумму квадратов значений факторов можно найти по формуле

 

   

0,5

2 1 2 1

X j j

j j j j



  





. (4.23)

Тогда, используя матрицу симплексного планирования, можно рас-

считать коэффициенты линейной регрессионной модели по формулам:





; (4.24)

 

0,5

ij j ij j

i ij j

X Y X Y

b X Y













. (4.25)

Дисперсии коэффициентов, благодаря свойству ротатабельности,

равны и определяются по формуле

вос

0,5

SS

. (4.26)

4.4.4. Расчет симплекс-планов

Оптимизацию методом симплексного планирования проводят при

натуральных (не кодированных) значениях факторов, которые определяют по формуле

i i i i

X X X X  

, (4.27)

где Хi – натуральное значение фактора; X

– значение фактора на нуле-

вом уровне; Xi – интервал варьирования фактора; X

– кодированное

значение фактора (по матрице симплексного планирования).

Необходимо просчитать по формуле (4.27) все факторы и постро-

ить матрицу симплексного планирования в натуральном масштабе для первых опытов (первого симплекса). Провести данные опыты, определить в них значение Y. Далее сравнивают значения Y в этих первых опытах, выбирают самый «плохой» результат и его отбрасывают. Строят новый симплекс, где все факторы пересчитывают по формуле:

i ij i i

X X X X





  

 



, (4.28)

где n – число факторов; N = n +1 – число опытов в симплексе; Х

– зна-

чение фактора в самом «плохом» опыте. Ставят этот дополнительный опыт. Сравнивают полученные значения Y в новом симплексе, отбрасывают самый «плохой» результат и снова пересчитывают факторы для нового опыта по формуле (4.28).

Оптимизацию заканчивают, если:

 происходит «зацикливание» симплексов, т. е. в новом опыте по-

лучен худший результат;

 нужное оптимальное значение функции отклика достигнуто;  один из факторов или значение функции отклика вышли из зоны

ограничений.

4.4.5. Введение нового фактора

Одним из преимуществ симплексного планирования является воз-

можность введения нового фактора в любую стадию движения к оптимуму. Например, в опыте № 5 решили ввести новый фактор Х4 в трехфакторном эксперименте. Тогда значения всех факторов пересчитываются по формуле

i ij





. (4.29)

Значение нового фактора определяется по формуле

 

1 1 1 1

n n n n

X X X k n

   

 

, (4.30)

где

1nX

– нулевой уровень нового фактора;

1nX



– интервал варьиро-

вания нового фактора; n – число факторов; k – переменная, которая определяется по формуле

  

2 1 2







. (4.31)

Например, в двухфакторный эксперимент ввели новый фактор Х3.

Его значение определяется по формулам:

 

3 3 3 3

22X X X k   

; (4.32)

  

0,204

2 2 1 2 2

k 



; (4.33)

3 3 3

0,816X X X   

. (4.34)

4.4.6. Пример использования

симплексного планирования в химии

Перед исследователями стояла задача с помощью симплексного

планирования оптимизировать выход целевого продукта Y (%), который получается при взаимодействии двух реагентов с концентрациями

(кмоль/л) и Х2 (кмоль/л), являющихся первым и втором факторами соответственно, при определенной температуре Х3 – третий фактор. Основные характеристики плана приведены в табл. 4.6.

Таблица 4.6

Основные характеристики плана

Характеристика

Х1, кмоль/л

Х2, кмоль/л

Х3, °С

Основной уровень

1,0

1,5

60,0

Интервал варьирования

0,1

0,2

5,0

Верхний уровень

1,1

1,7

65,0

Нижний уровень

0,9

1,3

55,0

Так как n = 3, то число опытов для построения первого симплекса

N = 3 + 1 = 4. Симплекс – тетраэдр. Построим матрицу симплексного

планирования для n = 3 в кодированных значениях (табл. 4.7).

Таблица 4.7

Матрица симплексного планирования

для трехфакторного эксперимента в кодированных значениях

№

Х1 Х2 Х

0,5

0,289

0,204

–0,5

0,289

0,204

3 0 –0,578

0,204

4 0 0

–0,612

Перейдем к натуральному масштабу, для этого пересчитаем значе-

ния факторов для первых четырех опытов по формуле (6.17).

Опыт № 1:

11 1 1

0,5 1 0,1 0,5 1,05X X X     

;

21 2 2

0,289 1,5 0,2 0,289 1,56X X X      

;

31 3 3

0,204 60 5 0,204 61X X X       

Опыт № 2:

   

12 1 1

0,5 1 0,1 0,5 0,95X X X        

;

22 2 2

0,289 1,5 0,2 0,289 1,56X X X      

;

32 3 3

0,204 61X X X    

Опыт № 3:

13 1 1

0 1 0,1 0 1,0X X X     

;

   

23 2 2

0,578 1,5 0,2 0,578 1,38X X X        

;

33 3 3

0,204 61X X X    

Опыт № 4:

14 1 1

0 1 0,1 0 1,0X X X     

;

24 2 2

0 1,5X X X    

;

   

34 3 3

0,612 60 5 0,612 57X X X        

Построим матрицу симплексного планирования в натуральном масштабе (табл. 4.8). Проведем опыты по данному плану. Результаты эксперимента представлены в табл. 4.8.

Таблица 4.8

Матрица симплексного планирования

в натуральном масштабе

№

Х1 Х2 Х

Yj 1

1,05

1,56

72,3 2 0,95

1,56

70,1 3 1,0

1,38

65,4 4 1,0

1,50

68,2

Сравним значения Y в первом симплексе (табл. 4.8). Хуже всех получилось значение Y в третьем опыте (65,4). Его отбрасываем, ставим пятый опыт. Значения факторов в нем пересчитываются по формуле (4.28).

Опыт № 5:

 

1,05 0,95 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

X       

;

 

1,56 1,56 1,38 1,5 1,38 1,38 1,70

X       

;

 

61 61 61 57 61 61 58

X       

Имеем новый симплекс, составленный из опытов 1, 2, 4, 5 (табл. 4.9). В новом симплексе самым неудачным оказался опыт № 4. Его отбрасываем и ставим шестой опыт. Пересчитываем значения факторов для шестого опыта по формуле (4.28).

Опыт № 6:

 

1,05 0,95 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

X       

;

 

1,56 1,56 1,5 1,7 1,5 1,5 1,72

X       

;

 

61 61 57 58 57 57 63

X       

В шестом опыте получили значение выхода продукта Y = 86,5 % (табл. 4.9). Полученное значение выхода продукта оказалось достаточно для данных исследований, поэтому симплексное планирование было закончено на шестом опыте.

Таблица 4.9

Матрица симплексного планирования при движении к оптимуму

№

Х1 Х2 Х

3 Yj

1,05

1,56

72,3 2 0,95

1,56

70,1 4 1,00

1,50

68,2 5 1,00

1,70

73,9 6 1,00

1,72

86,5

Далее введем новый фактор – Х4 – скорость вращения мешалки с основным уровнем: Х

40 =

500 об/мин, интервалом варьирования: Х4 = 100 об/мин.

Последний симплекс состоял из опытов 1, 2, 5, 6. Поставим опыт № 7 с новым введенным фактором. Для этого пересчитаем значения факторов по формуле (4.29) и значение нового фактора по формуле (4.30).

Опыт № 7:

 

1,05 0,95 1,0 1,0 1,0

X     

;

 

1,56 1,56 1,70 1,72 1,64

X     

;

 

61 61 58 63 61

X     

;

 

47 4

500 100 3 2Xk   

;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]