Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация многофакторного эксперимента в химии. Учебное пособие
.pdf
31
При увеличении числа факторов обычно пренебрегают тройными
и более высокого порядка взаимодействиями.
Если факторы на разных уровнях по-разному влияют друг на друга,
то имеет место квадратичная модель с учетом квадратичных членов
уравнения регрессии. Тогда строят ортогональные планы второго порядка. Об этом будет сказано ниже.
3.1.7. Регрессионный анализ
в многофакторном эксперименте
После построения матриц планирования, реализации эксперимента
по заданному плану и оценки коэффициентов уравнения регрессии необходимо оценить значимость коэффициентов и адекватность модели.
При этом исследуемая система должна удовлетворять следующим
четырем требованиям (допущениям):
1. Ошибки происходят в основном при измерении параметра (Y),
а не при задании факторов (аргументов: Х1, Х2, Хk), т. е. Sy >> Sx.
2. Все опыты равноточны. Они дают примерно одинаковую вос-
производимость измерения Y. Дисперсии в каждой серии опытов должны быть однородны.
3. Погрешность измерения Y имеет случайный характер и не име-
ет систематической составляющей.
4. Погрешность измерения Y не зависит от опыта и имеет нор-
мальное распределение.
Для каждого независимого опыта в матрице планирования проведем серию параллельных определений для оценки дисперсии воспроизводимости каждого опыта. Затем проверим однородность дисперсий.
Существует несколько критериев проверки однородности дисперсий. Остановимся на двух основных: критерии Фишера и Кохрена.
1. Проверка однородности дисперсий по критерию Фишера.
В данном случае можно сравнить только две дисперсии с разным
числом параллельных определений. Поэтому данный критерий применяется только для малого числа опытов.
F
расч
рассчитывают по формуле
2
1
расч.
2
2
max
min
S
F
S
. (3.26)
Находят значение F
табл
для заданного уровня значимости (напри-
мер, 0,05) и двух степеней свободы:
11
1;fL
22
1fL
, (3.27)
где L1 – число параллельных определений для первой серии опытов,
где дисперсия максимальна (S
1
2
(max)); L2 – число параллельных опреде-
32
лений для серии опытов, где дисперсия минимальна (S
2
2
(min)). Если
F
расч
< F
табл
, то дисперсии считаются однородными.
Например, по результатам четырех параллельных определений получена дисперсия S
12 =
3,23 (f1 = 4 – 1 = 3). По результатам трех парал-
лельных определений во втором независимом опыте получена дисперсия S
22 =
0,21 (f2 = 3 – 1 = 2). Тогда
расч
3,23
15,4
0,21
F
. (3.28)
F
табл
для уровня значимости 0,05 и f1 = 3, f2 = 2 равно 19,2.
табл расч
FF
.
Следовательно, дисперсии однородны.
2. Проверка однородности дисперсий по критерию Кохрена.
Этот критерий является наиболее распространенным. Его используют для оценки однородности дисперсий любого числа независимых
опытов. При этом в каждом независимом опыте должно быть одинаковое число параллельных определений. Расчетное значение критерия
Кохрена находят из отношения максимальной дисперсии к сумме всех
дисперсий в данной серии опытов (3.29).
2
расч
2
1
max
i
N
i
i
S
G
S
. (3.29)
Табличное значение критерия Кохрена находится для выбранного
уровня значимости (например, 0,05) и двух степеней свобод:
1
1,fL
2
fN
, (3.30)
где L – число параллельных определений для каждого независимого
опыта; N – число независимых опытов. Если G
расч
< G
табл
, то дисперсии
однородны.
Например, в эксперименте измеряется выход продукта Y(%), зависящий от двух факторов: температуры и концентрации исходного вещества. Проведено три независимых опыта. В каждом опыте проведено
два параллельных определения. Результаты представлены в табл. 3.11.
Таблица 3.11
Результаты эксперимента выхода продукта (%)
№
Y
i1 Yi2
Y
S
i
2
1
35
36
35,5
0,50
2
39,3
38,1
38,7
0,72
3
31,8
33,4
32,6
1,28
33
Максимальная дисперсия S
i
2
(max) получена в третьем опыте. Нахо-
дим расчетное значение критерия Кохрена:
расч
1,28
0,51
0,50 0,72 1,28
G
. (3.31)
G
табл
для уровня значимости 0,05 и степеней свобод f1 = 2 – 1 = 1,
f2 = 3 равно:
табл
0,967G
;
расч табл
,GG
следовательно, дисперсии однородны.
Если дисперсии однородны, то общую дисперсию воспроизводимости (𝑆
вос
2
) вычисляем по формулам:
2
21
1
L
ju j
u
j
YY
S
L
; (3.32)
2
1
2
вос
N
j
j
S
S
N
, (3.33)
где L – число параллельных определений в каждом независимом опыте,
N – число независимых опытов.
Если дисперсии неоднородны, то определяют источник неоднородности дисперсий. Это может быть отклонение от допущений, наличие систематической составляющей погрешности. Однако чаще всего
причиной неоднородности дисперсий являются грубые «промахи» в
параллельных определениях.
Для того чтобы оценить, является ли выпадающий результат грубым, используют критерий Стьюдента. Рассчитывают экспериментальное значение критерия по формуле
груб
расч
j
j
YY
t
S
. (3.34)
Находят табличное значение критерия Стьюдента для выбранного
уровня значимости и числа степеней свобод f = L – 1, где L – число па-
раллельных определений в каждом независимом опыте. Если t
расч
> t
табл
,
то этот результат является грубым и его отбрасывают. Далее заново пе-
ресчитывают дисперсии и осуществляют проверку однородности дисперсий снова. В случае их однородности вычисляют дисперсию воспроизводимости по формулам (3.32), (3.33).
Далее оценивают значимость коэффициентов. В отличие от обычно-
го регрессионного анализа в планировании многофакторного эксперимента,
34
благодаря свойству ротатабельности матрицы планирования, дисперсии
всех коэффициентов в линейной модели равны между собой и определяются простым соотношением (3.35):
2
2
вос
i
b
S
SN
, (3.35)
где
2
вос
S
– дисперсия воспроизводимости эксперимента; N – число неза-
висимых опытов.
Доверительный интервал (погрешность) коэффициентов определяется с помощью критерия Стьюдента по формуле
,
i
i p f b
b t S
. (3.36)
Табличное значение критерия Стьюдента находится для выбранной
доверительной вероятности Р (например, 0,95) и числа степеней свобод
1f N L
, (3.37)
где N – число независимых опытов; L – число параллельных определений для каждого независимого опыта.
Если абсолютное значение коэффициента больше своего доверительного интервала (3.38), то коэффициент считается значимым.
ii
bb
. (3.38)
Если неравенство (3.38) не соблюдается, коэффициент считается
незначимым и его отбрасывают.
Далее оценивают адекватность полученной модели. В данном
случае, прежде всего, необходимо найти дисперсию адекватности –
сумму квадратов отклонений между экспериментальными значениями Y
и полученными по модели в каждом независимом опыте, деленную на
степень свободы дисперсии адекватности:
2
*
21
ад
N
ii
i
YY
S
NK
, (3.39)
где N – число независимых опыта; K – число значимых коэффициента
в уравнении регрессии.
В случае использования расширенной матрицы планирования, когда число коэффициентов в модели равно числу опытов (с учетом коэффициентов взаимодействия), ставится дополнительный опыт в центре
плана, чтобы оценить дисперсию адекватности. Иначе количество степеней свобод дисперсии адекватности будет равно 0.
Адекватность модели будем оценивать по критерию Фишера.
Необходимо найти отношение дисперсии адекватности к дисперсии
воспроизводимости эксперимента (3.40):
35
2
ад
расч
2
вос
S
FS
. (3.40)
Табличное значение критерия Фишера (F
табл
) находят для заданно-
го уровня значимости и для степеней свобод:
1
f N K
; (3.41)
2
1f N L
. (3.42)
Если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного
(3.43), то модель считается адекватной.
расч табл
FF
. (3.43)
Если модель неадекватна, ищут причину неадекватности. Возможно, процесс в данном случае описывается более сложным уравнением
второго и более порядка.
3.1.8. Пример использования ПФЭ в химии
Рассмотрим химический процесс, в котором выход продукта реакции Y(%) зависит от двух факторов: температуры реакционной смеси
(Х1) и концентрации реагента (Х2). Требуется с помощью полного фак-
торного эксперимента (ПФЭ) найти математическое описание процесса
в окрестности точки факторного пространства с координатами Х
01 =
50 °С,
Х
02 =
25 %, при условии интервалов варьирования: Х1 = 5 °С, Х2 = 1 %.
Основные характеристики плана представлены в табл. 3.12.
Таблица 3.12
Основные характеристики плана
Характеристика
Х1, °С
Х2, %
Основной уровень (центр плана)
50
25
Интервал варьирования
5
1
Верхний уровень
55
26
Нижний уровень
45
24
Математическое описание процесса представлено уравнением регрессии (3.44).
*
0 1 1 2 2 12 1 2
Y b b x b x b x x
. (3.44)
Факторы меняются на двух уровнях: верхнем и нижнем. Общее
число независимых опытов в ПФЭ:
2
24N
. (3.45)
Матрица планирования ПФЭ со средними экспериментальными
значениями Y, вычисленными из двух параллельных определений,
36
представлена в табл. 3.13. Здесь же даны уже рассчитанные значения
дисперсии воспроизводимости для каждого независимого опыта (S
j
2
).
Таблица 3.13
Матрица планирования ПФЭ для N = 2
2
№
Х1
Х2 Х1Х
2
j
Y
, %
S
j
2
1 – –
+
35,5
0,80 2 + – –
38,7
0,72 3 – + –
32,6
1,28
4 + +
+
36,2
0,70
Сначала оценим однородность дисперсий по уравнению (3.46), используя критерий Кохрена:
2
расч
2
1
max
1,28
0,4
0,50 0,72 1,28 0,70
j
N
j
j
S
G
S
. (3.46)
Так как дисперсии S
j
2
рассчитаны из двух параллельных определе-
ний, то числа степеней свобод для поиска табличного значения критерия Кохрена равны:
1
2 1 1,f
2
4fN
. (3.47)
Табличное значение критерия Кохрена G
0,05, (1,4) =
0,907. Так как
расчетное значение критерия Кохрена меньше табличного (3.48), можно
сделать вывод, что дисперсии однородны.
расч табл
GG
. (3.48)
Тогда общую дисперсию воспроизводимости определяем по формуле (3.33):
2
1
2
вос
0,50 0,72 1,28 0,70
0,8
4
N
j
j
S
S
N
. (3.49)
Рассчитаем коэффициенты в уравнении регрессии по формулам
(3.11), (3.12), (3.20):
0
1
35,5 38,7 32,6 36,2 35,6
4
b
; (3.50)
1
1
35,5 38,7 32,6 36,2 1,95
4
b
; (3.51)
2
1
35,5 38,7 32,6 36,2 1,35
4
b
; (3.52)
12
1
35,5 38,7 32,6 36,2 0,1
4
b
. (3.53)
37
Предварительно математическая модель процесса будет выглядеть
следующим образом:
*
1 2 1 2
35,6 1,95 1,35 0,1Y x x x x
. (3.54)
Далее оценим значимость коэффициентов. Определим дисперсию
коэффициентов:
2
2
вос
0,8
0,2
4
i
b
S
SN
. (3.55)
Для оценки погрешности (доверительного интервала) коэффициентов найдем табличное значение критерия Стьюдента для доверительной
вероятности 0,95 и числа степеней свобод
1 4 2 1 4f N L
. (3.56)
Табличное значение критерия Стьюдента: t
0,95, 4 =
2,78. Тогда дове-
рительный интервал коэффициентов равен:
,
2,78 0,2 1,25
i
i p f b
b t S
. (3.57)
0
35,6
i
bb
– коэффициент значим;
1
1,95
i
bb
– коэффициент значим;
2
1,35
i
bb
– коэффициент значим;
12
0,1
i
bb
– коэффициент незначим.
После оценки значимости коэффициентов математическая модель
процесса примет вид
*
12
35,6 1,95 1,35Y x x
. (3.58)
Теперь проверим адекватность модели. Для этого построим таблицу оценки дисперсии адекватности процесса (табл. 3.14), где расчетные
значения Y* будем искать по модели (3.58).
Таблица 3.14
Оценка дисперсии адекватности
№
j
Y
Y
j
*
(
j
Y
– Y
j
*
)
(
j
Y
– Y
j
*)2
1
35,5
35,0
0,5
0,25
2
38,7
38,9
–0,2
0,04
3
32,6
32,3
0,3
0,09
4
36,2
36,2 0 0
0,38
2
*
21
ад
0,38
0,38
43
N
ii
i
YY
S
NK
. (3.59)
38
Найдем расчетное значение критерия Фишера:
2
ад
расч
2
вос
0,38
0,478
0,8
S
FS
. (3.60)
Найдем табличное значение критерия Фишера для уровня значимости 0,05 и чисел степеней свобод:
1
4 3 1f N K
; (3.61)
2
1 4 2 1 4f N L
. (3.62)
Табличное значение критерия Фишера: F
табл =
7,71. Расчетное зна-
чение меньше табличного значения критерия Фишера:
расч табл
FF
. (3.63)
Следовательно, модель адекватна. Ее математическое описание
определяется уравнением (3.58).
3.2. Дробный факторный эксперимент
3.2.1. Основные положения
С увеличением числа факторов значительно увеличивается число
опытов в ПФЭ: для четырех факторов N = 2
4
=
16 опытов, для пяти фак-
торов N = 2
5
=
32 опыта и т. д. При этом число опытов равно числу опре-
деляемых коэффициентов с учетом всех эффектов взаимодействия.
Например, для трехфакторного эксперимента число опытов N = 2
3
=
8.
Столько же коэффициентов необходимо определить по выбранной модели:
0 1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 123 1 2 3
Y b bx b x b x b x x b x x b x x b x x x
.
Однако чаще всего коэффициенты взаимодействия (особенно
тройного и более высокого порядка) являются незначимыми. Если ими
пренебречь, то высвобождаются дополнительные степени свободы, которые можно использовать для привлечения новых факторов при том
же числе опытов.
Например, для двухфакторного эксперимента число опытов в ПФЭ
2
24N
. Заменим в выбранной модели:
0 1 1 2 2 12 1 2
Y b b x b x b x x
эф-
фект взаимодействия (Х1Х2) на новый фактор Х3. Тогда
0 1 1 2 2 3 3
Y b b x b x b x
. Получим трехфакторный эксперимент с числом
опытов двухфакторного эксперимента (N = 4). Такой подход называется
дробным факторным экспериментом (ДФЭ).
Матрица планирования будет выглядеть так, как показано в табл. 3.15.
Число опытов в дробном факторном эксперименте при варьировании факторов на двух уровнях определяется соотношением
2
npN
, (3.64)
39
где n – общее число факторов; р – число факторов, замененных эффектами взаимодействия. Для вышеописанного эксперимента имеем ДФЭ
с числом опытов
312N
.
Таблица 3.15
Переход от ПФЭ двухфакторного эксперимента
к ДФЭ трехфакторного эксперимента
№
Х1 Х2 Х1Х
2
№ Х1 Х2
Х3 1 + +
+
1 + + + 2 – + –
2 – + – 3 + – –
3 + – – 4 – – +
4 – – +
Преимуществами ДФЭ является сокращение числа опытов, сохранение всех свойств матриц планирования (симметричность, нормированность, ортогональность, ротатабельность).
Недостатком ДФЭ является невозможность учесть все эффекты
взаимодействия. Кроме того, полученные коэффициенты линейной модели оказываются смешанными с эффектами взаимодействия.
ДФЭ часто называют методом дробных реплик, так как реализуется
не весь план полного факторного эксперимента, а только его часть. Так,
для ДФЭ, где
31
24N
опыта, реализуется половина плана (полуре-
плика) от ПФЭ, где
3
28N
опытов.
В ДФЭ соотношения, характеризующие замену новых факторов на
эффекты взаимодействия, называются генерирующими соотношения-
ми. Например, для вышеописанного примера ДФЭ 2
3–1
третий фактор
задан генерирующим соотношением:
3 1 2
Х Х Х
.
С увеличением числа факторов эффектов взаимодействия значительно больше. Для четырехфакторного дробного эксперимента 2
4–1
новый
фактор Х4 может быть задан любым из 4 эффектов взаимодействий (Х1Х2,
Х1Х3, Х2Х3, Х1Х2Х3). Какое же генерирующее соотношение выбрать?
В данном случае руководствуются двумя постулатами:
1. Выбирают эффекты взаимодействия более высокого порядка
(в вышеописанном примере X4 = X1X2X3), так как вероятность значимости
тройных и более высокого порядка взаимодействий меньше, чем парных.
2. Из априорной информации известно, что какие-то эффекты вза-
имодействия незначимы.
Чем более высокого порядка эффекты взаимодействия выбраны в качестве генерирующих соотношений, тем больше разрешающая способность
дробной реплики. Так, для парных взаимодействий (Х3 = Х1Х2) разрешаю-
40
щая способность определяется как III. Для тройных взаимодействий
(Х4 =
Х1Х2Х3
) разрешающая способность – IV, для взаимодействий четвер-
того порядка (Х5 = Х1Х2Х3Х4) разрешающая способность – V и т. д. Чем
больше разрешающая способность дробной реплики, тем точнее можно
определить коэффициенты линейной модели в ДФЭ. Это и не удивительно, так как при разрешающей способности V коэффициенты линейной
модели оказываются смешанными с коэффициентами взаимодействия
сразу четырех факторов, вероятность значимости которых минимальна.
3.2.2. Метод определяющих контрастов
Характер смешивания основных эффектов и эффектов взаимодействия
в дробном факторном эксперименте задается определяющим контрастом.
Чтобы получить определяющий контраст, необходимо умножить левую
и правую части генерирующего соотношения на заменяемый фактор.
Например, для генерирующего соотношения Х3 = Х1Х2 нужно перемножить
левую и правую части на Х3. Так как по правилам матрицы планирования
Х
i2 =
1, то определяющий контраст в данном случае будет следующим:
1 2 3
1 x x x
. (3.65)
Чтобы определить, с какими коэффициентами смешаны основные
эффекты и эффекты взаимодействия регрессионной модели, нужно перемножить левую и правую части определяющего контраста на соответствующий фактор. Для предыдущего примера коэффициент b1 оказывается смешанным с b23, так как
1 1 1 2 3 2 3
1x x x x x x x
.
*
1 1 23
b b b
; (3.66)
*
2 2 13
b b b
; (3.67)
*
3 3 12
b b b
. (3.68)
Если генерирующих соотношений два и более, метод определяющих
контрастов усложняется. В таком случае для каждого генерирующего соотношения расписывают определяющие контрасты, затем перемножают
левые и правые части этих определяющих контрастов и находят общий
определяющий контраст суммированием полученных соотношений.
Например, для генерирующих соотношений
4 1 2
,Х Х Х
5 1 2 3
Х Х Х Х
для ДФЭ 2
5–2
определяющими контрастами будут соотно-
шения
1 2 4
1 x x x
; (3.69)
1 2 3 5
1 x x x x
. (3.70)
Перемножим левые и правые части этих соотношений:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]