Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация многофакторного эксперимента в химии. Учебное пособие
.pdf
61
4
1
0,158
2 3 1 3 2
k
.
Тогда
47
500 100 0,158 5 579 580X
.
Результаты опыта № 7 представлены в табл. 4.10.
Таблица 4.10
Матрица симплексного планирования при движении к оптимуму
с введенным новым фактором
№
Х1 Х2 Х3 Х4 Yj 1
1,05
1,56
61
–
72,3 2 0,95
1,56
61
–
70,1 5 1,00
1,70
58
–
73,9 6 1,00
1,72
63
–
86,5 7 1,00
1,64
61
580
88,1
C введением нового фактора значение функции отклика (выход
продукта) повысилось, следовательно, введение нового фактора было
целесообразно. При необходимости можно провести дальнейшую оптимизацию по описанному выше алгоритму.
4.5. Оптимизация многоэкстремальных объектов
Вышеописанные методы относятся к поиску одного экстремума,
который ближе всего находится от начальной выбранной точки факторного пространства. Если экстремумов несколько, то самый большой из
них называют глобальным экстремумом, а остальные – локальными.
Существуют несколько способов описания многоэкстремальных объектов, рассмотрим два из них.
4.5.1. Метод случайных направлений
В данном методе выбирается как минимум три точки в факторном
пространстве с большими различиями в значениях факторов. От каждой
выбранной точки осуществляют оптимизацию по одному из методов
поиска экстремума функции отклика (метод крутого восхождения, симплексное планирование). Если функция отклика имеет только один экстремум, то из всех трех точек факторного пространства мы придем
в одну экстремальную точку.
Если же экстремумов несколько, то каждая точка приведет к своему экстремуму, который от нее расположен ближе всего. Эти значения
экстремумов сравниваются между собой, и определяются глобальный
и локальные экстремумы.
62
4.5.2. Поиск по сетке факторов
В данном методе определяют значения функции отклика из случайно
выбранных (рассеянных по сетке) точек факторного пространства. Эти зна-
чения сравнивают между собой и из «наилучшей» точки проводят оптимизацию одним из известных методов поиска экстремума функции отклика.
Большим недостатком метода является его трудоемкость. Однако
данным методом можно определить контуры факторного пространства,
если нет никакой информации об исследуемом процессе.
Следует заметить, что в большинстве случаев не ставится задача
определения всех экстремумов факторного пространства. Чаще всего
оказывается достаточным определить хотя бы один локальный экстремум, тем более что другие экстремумы могут находиться за границами
ограничений факторов.
Вопросы для самоконтроля
1. В чем заключается сущность метода Гаусса–Зайделя? Какие
у него есть преимущества и недостатки?
2. Какие существуют принципы метода крутого восхождения? Как
задается шаг движения к оптимуму в многофакторном эксперименте?
3. Что такое «мысленные» опыты? По каким принципам реализу-
ются опыты в методе крутого восхождения?
4. Как графически можно изобразить принцип симплексного пла-
нирования для двух факторов?
5. Как выглядит матрица симплексного планирования для пяти фак-
торов?
6. Какими свойствами обладает матрица симплексного планиро-
вания?
7. Какими преимуществами и недостатками обладает симплексное-
планирование?
63
Глава 5
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТКЛИКА
В РАЙОНЕ ЭКСТРЕМУМА
5.1. Планы второго порядка
Область экстремума – это нелинейная область, ее нельзя описать
линейной моделью. Признаками нелинейности модели являются:
неадекватность полученной линейной модели процесса (по кри-
терию Фишера);
значимость коэффициентов парного и более высоких порядков
взаимодействий.
В данном случае описывают область экстремума планами более
высоких порядков, например планами второго порядка. Математическое
описание процесса задается следующим отрезком ряда Тейлора:
0 1 1 2 2 12 1 2 13 1 3
2 2 2
11 1 22 2
.
ii
ij i j ij i
y b b X b X b X b X X b X X
b X X b X b X b X
(5.1)
Например, для двухфакторного эксперимента математическая модель процесса будет выглядеть следующим образом:
22
0 1 1 2 2 12 1 2 11 1 22 2
Y b b X b X b X X b X b X
. (5.2)
В данной модели необходимо определить 6 коэффициентов.
С ростом числа факторов (k) значительно увеличивается число коэффициентов квадратичной регрессионной модели по формуле
12
2
kk
K
, (5.3)
где K – число коэффициентов квадратичной модели; k – число факторов.
Для двухфакторного эксперимента в ПФЭ число опытов
2
24N
.
То есть можно определить только 4 коэффициента, а в квадратичной
модели 6 коэффициентов. Следовательно, для построения планов второго порядка необходимо увеличить число опытов. Например, варьировать значения факторов на трех уровнях. Тогда число опытов
3
k
N
. (5.4)
В табл. 5.1 приведено соотношение числа опытов к числу определяемых коэффициентов при различных количествах факторов.
Начиная с двухфакторного эксперимента, число опытов превосходит
число коэффициентов в квадратичной модели. Так как основной целью планирования эксперимента является сокращение числа опытов, делать «лишние» опыты не целесообразно. Поэтому используют различные приемы
для описания планов второго порядка с целью сокращения числа опытов.
64
Таблица 5.1
Число опытов и число определяемых коэффициентов
для различного числа факторов
Число факторов, k
2 3 4
5
Число опытов, 3k
9
27
81
243
Число коэффициентов, K
6
10
15
21
5.2. Композиционные планы Бокса–Уилсона
Дж. Бокс и К. Уилсон предложили использовать композиционные
планы второго порядка для описания области экстремума функции отклика.
Опыты в таких планах состоят из «композиции»: ядро плана – ПФЭ
с числом опытов 2k, звездные точки с числом опытов 2k и центр плана
с числом опытов n0, k – число факторов. Тогда общее число опытов
в композиционных планах определяется по формуле
0
22
k
N k n
. (5.5)
Рассмотрим графическое построение композиционного плана на
примере двухфакторного эксперимента (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Графическое изображение композиционного плана
второго порядка двухфакторного эксперимента
Для двухфакторного эксперимента ядро плана – ПФЭ с числом
опытов 2
2
=
4 (вершины квадрата на рис. 5.1). Далее Бокс и Уилсон
предложили поставить опыты на осях факторов с координатами (, 0),
(0, ). Эти опыты обозначили звездочками (графически на рис. 5.1)
и назвали звездными точками: 2k = 22 = 4 опыта. Еще один опыт ставит-
ся в центре плана (центр квадрата на рис. 5.1). Таким образом, число
опытов в двухфакторном эксперименте для построения композиционных планов второго порядка
2
2 2 2 1 9N
. (5.6)
Расстояние от центра плана до звездной точки называется звезд-
ным плечом и обозначается .
65
Матрица планирования композиционного плана второго порядка
для двухфакторного эксперимента представлена в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Матрица композиционного планирования второго порядка
двухфакторного эксперимента
№
Х1 Х2 Х1Х
2
Х
1
2
Х
2
2
Yj
Примечания
1 + + + + + Y
1
Ядро плана
2 – + – + + Y2 3 + – – + + Y
3
Ядро плана
4 – – + + + Y4 5 +
0
0
2
0
Y
5
Звездные точки
6
–
0
0
2
0
Y
6
7
0
+
0
0
2
Y7 8
0
–
0
0
2
Y
8
9 0 0 0 0 0 Y
9
Центр плана
Для трехфакторного эксперимента число опытов в композицион-
ном плане второго порядка рассчитывается по формуле
3
2 2 3 1 15N
. (5.7)
Матрица для данного случая отражена в табл. 5.3.
Таблица 5.3
Матрица композиционного планирования
трехфакторного эксперимента
№
Х1 Х2 Х3 Х1Х
2 Х1Х3 Х2Х3 Х1
2
Х
2
2
Х
3
2
Yj Примечания
1 + – – – – + + + + Y
1
Ядро
плана
2 – – – + + + + + + Y2 3 + + – + – – + + + Y3 4 – + – – + – + + +
Y4 5 + – + – + – + + +
Y5 6 – – + + – – + + +
Y6 7 + + + + + + + + +
Y7 8 – + + – – + + + +
Y8
9
+
0 0 0 0 0
2
0 0 Y9
10
–
0 0 0 0 0
2
0 0 Y10
11
0
+
0 0 0 0 0
2
0
Y11
12
0
–
0 0 0 0 0
2
0
Y12
13 0 0
+
0 0 0 0 0
2
Y13
14 0 0
–
0 0 0 0 0
2
Y14
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y15
66
Если рассмотреть свойства такой матрицы планирования (табл. 5.2),
то можно сделать вывод, что ни одно свойство, характерное для матриц
планирования ПФЭ, не соблюдается:
1. Свойство симметричности для столбцов Х
i
2
:
1
0
N
ij
jX
. (5.8)
2. Свойство нормированности:
2
1
N
ij
j
XN
. (5.9)
3. Свойство ортогональности:
1
0
N
ij lj
j
XX
. (5.10)
Действительно,
22
1
2
N
k
ij lj
j
XX
. (5.11)
4. Свойство ротатабельности. Измерения не равноточны.
Использовать такую матрицу планирования сложно для определе-
ния коэффициентов регрессионной модели. Поэтому необходимо осуществить определенные преобразования, чтобы получить ортогональные планы второго порядка.
5.3. Центральное ортогональное композиционное планирование
(ЦОКП)
5.3.1. Матрицы ЦОКП
Чтобы матрицы планирования с учетом квадратичных членов (пла-
ны второго порядка) приобрели свойство ортогональности, применяют
два преобразования:
1. Замена квадратичных членов на их разность со средним ариф-
метическим:
* 2 2
ij ij ij
X X X
, (5.12)
где
22
1
1
N
ij ij
j
XX
N
. (5.13)
С учетом преобразованных значений математическая модель про-
цесса будет выглядеть следующим образом:
**
0 1 1 12 1 2
**
1, 1 11 1
.
nn
n n n n nn n
Y b b X b X b X X
b X X b X b X
(5.14)
67
2. Вычисление значения звездного плеча () исходя из свойства
равенства нулю недиагональных членов информационной матрицы
планирования, чтобы обеспечить ортогональность квадратичных столбцов матрицы планирования, по формуле
4 2 1
0
2 2 0,5 0
kk
kn
, (5.15)
где k – число факторов; n0 – число опытов в центре плана.
В табл. 5.4 приведены рассчитанные значения звездного плеча для
выборочного числа факторов.
Таблица 5.4
Значения звездного плеча для выборочного числа факторов
Число факторов, k
2 3 4
5* (ДФЭ)
Ядро плана
22 23 2
4
2
5–1
Х5 = Х1Х2Х3Х
4
1,000
1,215
1,414
1,547
Значения звездного плеча для любого количества факторов приве-
дены в статистических таблицах в литературе по планированию эксперимента (см. список литературы).
С учетом преобразований 1 и 2 построим ортогональную матрицу
планирования второго порядка для двух факторов (табл. 5.5):
2
2 2 2 1 9N
опытов. (5.16)
Предварительно произведем расчеты преобразованных значений
квадратичных членов по формулам (4.12), (4.13):
* * * * * *
11 12 13 14 15 16
61
1 0,33
9
X X X X X X
; (5.17)
* * *
17 18 19
61
0 0,67
9
X X X
. (5.18)
Аналогично рассчитываются преобразованные значения для Х
2j
*
.
Таблица 5.5
Матрица центрального ортогонального
композиционного планирования (ЦОКП) для двух факторов
№
Х1 Х2
Х1Х2
Х
1
*
Х
2
*
Y 1 + + +
0,33
0,33
Y1 2 – + – 0,33
0,33
Y2 3 + – –
0,33
0,33
Y3 4 – – +
0,33
0,33
Y4 5 +1 0 0
0,33
–0,67
Y5 6 –1 0 0
0,33
–0,67
Y6 7 0
+1
0
–0,67
0,33
Y7
68
Окончание табл. 5.5
№
Х1 Х2
Х1Х2
Х
1
*
Х
2
*
Y 8 0
–1
0
–0,67
0,33
Y8 9 0 0 0
–0,67
–0,67
Y9
Построим центральную ортогональную композиционную матрицу
планирования второго порядка для трех факторов (табл. 5.6). Число
опытов для такой матрицы:
3
2 2 3 1 15N
. (5.19)
Рассчитаем преобразованные значения для Х
1j
*
:
2
2
* * *
11 12 18
1 8 1,215 1,215
... 1 0,27
15
X X X
; (5.20)
2
2
* * 2
19 1,10
1 8 1,215 1,215
1,215 0,746
15
XX
; (5.21)
2
2
* * *
1,11 1,12 1,15
1 8 1,215 1,215
... 0 0,73
15
X X X
. (5.22)
Аналогично рассчитываются преобразованные значения для других
квадратичных столбцов матрицы планирования.
Таблица 5.6
Матрица ЦОКП для трех факторов
№
Х1 Х2 Х
3
Х1
Х
2
Х1
Х
3
Х
2
Х
3
Х
1
*
Х
2
*
Х
3
*
Y
1 + +
+
+ + +
0,27
0,27
0,27
Y1 2 – +
+
– – +
0,27
0,27
0,27
Y2 3 + – + – + –
0,27
0,27
0,27
Y3 4 – – + + – –
0,27
0,27
0,27
Y4 5 + +
–
+ – –
0,27
0,27
0,27
Y5 6 – +
–
– + –
0,27
0,27
0,27
Y6 7 + – –
– – +
0,27
0,27
0,27
Y7 8 – – –
+ + +
0,27
0,27
0,27
Y8
9
+1,215
0 0 0 0 0
0,746
–0,73
–0,73
Y9
10
–1,215
0 0 0 0 0
0,746
–0,73
–0,73
Y10
11
0
+1,215
0
0 0 0
–0,73
0,746
–0,73
Y11
12
0
–1,215
0
0 0 0
–0,73
0,746
–0,73
Y12
13 0
+1,215
0 0 0
–0,73
–0,73
0,746
Y13
14 0
–1,215
0 0 0
–0,73
–0,73
0,746
Y14
15 0 0 0 0
–0,73
–0,73
–0,73
Y15
2
1
N
ij
jX
10,95
10,95
10,95
8 8 8
4,36
4,36
4,36
69
Благодаря двум введенным преобразованиям матрица ЦОКП явля-
ется симметричной и ортогональной. Действительно,
* 2 2 2 2
1 1 1 1
1
0
N N N N
ij ij ij ij ij
j j j j
X X X X N X
N
; (5.23)
**
1
0
N
ij lj
j
XX
. (5.24)
Докажем, что свойство симметричности матрицы ЦОКП соблюда-
ется (для преобразованных столбцов в табл. 4.5):
*
1
0
N
ij
jX
; (5.25)
*
1
6 0,33 3 0,67 0
N
ij
jX
. (5.26)
Докажем свойство ортогональности матрицы ЦОКП (табл. 4.5):
* * 2 2
2
1
4 0,33 4 0,33 0,67 0,67 0
N
lj j
j
XX
. (5.27)
Свойства ротатабельности и нормированности для матрицы ЦОКП
не соблюдаются.
5.3.2. Расчет коэффициентов уравнения регрессии в ЦОКП
Благодаря свойству ортогональности матриц ЦОКП коэффициенты
регрессионной математической модели рассчитываются независимо
друг от друга по относительно простым формулам:
*
0
1
1
N
j
j
bY
N
; (5.28)
1
2
1
N
ij j
j
i
N
ij
j
XY
b
X
; (5.29)
1
2
1
N
ij lj j
j
li
N
ij lj
j
X X Y
b
XX
; (5.30)
*
1
2
*
1
N
ij j
j
ii
N
ij
j
XY
b
X
. (5.31)
70
Истинное значение коэффициента b0 можно определить по формуле
* 2 2
0 0 11 1
...
nn n
b b b X b X
. (5.32)
Рассчитав коэффициенты, от преобразованной математической мо-
дели переходят к истинной. Для этого в преобразованную математическую модель (5.1) необходимо подставить преобразованные члены:
**
0 1 1 12 1 2
**
1, 1 11 1
.. .
,
..
..
nn
n n n n nn n
Y b b X b X b X X
b X X b X b X
(5.33)
где
* 2 2
ij ij ij
X X X
. (5.34)
Пересчитав коэффициент b0 по формуле (5.32), получим истинную
регрессионную математическую модель процесса:
0 1 1 12 1 2
22
1, 1 11 1
.. ..
.. .
nn
n n n n nn n
Y b b X b X b X X
b X X b X b X
(5.35)
5.3.3. Статистическая обработка результатов ЦОКП
Так как свойство ротатабельности в ЦОКП не соблюдается, диспер-
сии коэффициентов не равны друг другу и определяются по формулам:
*
0
2
2
восп
b
S
SN
; (5.36)
*
0 11
0
2 2 2 2 2 2
1
..
nn
b b n b
b
S S X S X S
; (5.37)
2
2
восп
2
1
i
b
N
ij
j
S
S
X
; (5.38)
2
2
восп
2
1
li
b
N
ij lj
j
S
S
XX
; (5.39)
2
2
вос
2
*
1
ii
b
N
ij
j
S
S
X
. (5.40)
Значимость коэффициентов проверяется по критерию Стьюдента
аналогично ПФЭ. Находится табличное значение критерия Стьюдента
для доверительной вероятности Р и числа степеней свобод дисперсии
воспроизводимости:
1fn
, (5.41)
где n – число параллельных опытов для оценки дисперсии воспроизводимости.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]