Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Национальный исследовательский ядерный университет
«МИФИ»
В.М. Алюшин, Л.В. Колобашкина
МЕТОДЫ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Москва 2020
УДК 517.977.5(076.5)
ББК 32.965.8
А 59
Алюшин В.М., Колобашкина Л.В. Методы оптимального
управления: Учебное пособие. − М.: НИЯУ МИФИ, 2020. −
176 с.
В пособии рассмотрены методы решения задач оптимального управления на основе теории модального управления и
принципа максимума Понтрягина. Все методы сопровождаются пошаговыми алгоритмами расчета, примерами решения
задач и вариантами заданий для самоподготовки.
Рекомендовано для студентов магистратуры и старших
курсов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» как в очном,
так и дистанционном режимах.
Оформление подзаголовков, подрисуночных подписей, ссылок
на рисунки и таблицы в настоящей книге выполнено согласно
ГОСТ 7.32-2017 Система стандартов по информатизации, библиотечному и издательскому делу. Отчет о научно-исследовательской
работе. Структура и правила оформления.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор С.Ю. Мисюрин
ISBN 978-5-7262-2695-8
© Национальный исследовательский
ядерный университет «МИФИ», 2020
© Алюшин В.М.,
Колобашкина Л.В., 2020
2
Введение ................................................................................................. 4
1. Управление полюсами динамической системы
при наличии полной информации о векторе состояния ................ 7
1.1. Метод Кожинской ...................................................................... 7
1.1.1. Случай скалярного входа ............................................... 7
1.1.2. Случай векторного входа ............................................. 16
1.2. Метод Кузовкова ...................................................................... 26
1.2.1. Случай скалярного входа ............................................. 26
1.2.2. Случай векторного входа ............................................. 35
2. Управление полюсами системы при наличии
неполной информации о векторе состояния ................................ 43
2.1. Метод Кожинской .................................................................... 43
2.1.1. Случай скалярного входа ............................................. 44
2.1.2. Случай векторного входа ............................................. 56
2.2. Метод Кузовкова ...................................................................... 68
2.2.1. Случай скалярного входа ............................................. 68
2.2.2. Случай векторного входа ............................................. 85
3. Управление нулями и коэффициентами усиления
динамической системы ................................................................... 99
4. Синтез наблюдающих устройств................................................. 126
4.1. Наблюдающее устройство идентификации ......................... 130
4.2. Устройство для наблюдения линейного функционала
переменных состояния объекта ............................................ 142
5. Определение оптимального управления
с помощью принципа максимума Понтрягина ......................... 154
6. Программное обеспечение для контроля знаний учащихся ..... 165
6.1. Программный комплекс для проверки решения задач
методами модального управления ....................................... 165
6.1.1. Матричный калькулятор:
базовые операции с матрицами ................................. 166
6.1.2. Модули workspace/maxima/solver .............................. 167
6.2. Программный комплекс для проверки решения задач
оптимального управления с помощью принципа
максимума Понтрягина......................................................... 170
Список литературы ............................................................................ 173
СОДЕРЖАНИЕ
3
Введение
Современные подходы решения проблемы качества линейных систем управления, заключающейся в разработке математических методов анализа и синтеза систем, удовлетворяющих заранее заданным показателям качества процесса регулирования, основываются на использовании метода пространства состояний, который в отличие от традиционных
методов исследования (частотного, метода корневого годографа) позволяет судить о достижимости цели управления
(управляемость объекта), определить необходимый состав
измерителей (наблюдаемость объекта), синтезировать управление на все входы многомерного объекта и т.п.
Среди различных направлений теории систем, основанных
на методе пространства состояний, следует выделить два, получивших наибольшее распространение.
Первое направление (разделы 1−4) связано с методами модального управления, т.е. методами формирования цепей обратных связей, придающих замкнутой системе заранее выбранное распределение корней [1−5]. Название термина «модальное управление» связано с тем, что корням соответствуют составляющие свободного движения системы, называемые модами. Управляя собственными значениями системы,
можно управлять ее модами и, соответственно, динамикой
системы. Модальное управление является управлением модами системы, т.е. качеством ее переходного процесса.
Второе направление (раздел 5) связано с оптимизацией системы путем сведения к минимуму некоторого функционала,
характеризующего качество регулирования. В этом подходе
широко используется математический аппарат принципа максимума Понтрягина, позволяющий свести задачу оптимального управления к некоторой краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений [6−11].
Наиболее широкое применение для решения задач по анализу и обеспечению устойчивости и желаемого качества ав-
4
томатических систем и протекающих в них процессов имеют
линейные стационарные динамические объекты с обратной
связью, которые являются предметом рассмотрения в данном
учебном пособии.
В случае, когда все переменные вектора состояния доступны непосредственному измерению (полная информация о
векторе состояния), а сам объект полностью управляем, то
для закона управления, являющегося линейной функцией переменных состояния, получить требуемое расположение полюсов замкнутой системы можно с помощью методов управления корнями при полной информации, разработанных на
основе методик Кузовкова Н.Т. и Кожинской Л.И. (раздел 1).
В связи с тем, что в большинстве случаев вектор состояния
объекта трудно или невозможно измерить полностью, а также
для уменьшения количества измерительной аппаратуры (даже
при возможности измерения полного вектора состояния), целесообразно обеспечивать желаемое качество регулирования
подачей в цепи обратной связи лишь некоторых переменных
состояния. Для синтеза оптимальных законов управления в
подобных ситуациях применяются методы управления полюсами динамической системы в условиях неполной информации о векторе состояния (раздел 2).
Обратная связь, помещая полюса системы в заранее выбранные положения, может привести к расположению нулей
замкнутой системы, приводящему к нежелательному виду
реакций на внешние воздействия. Для устранения подобных
отрицательных явлений предложен метод управления нулями
и коэффициентами усиления замкнутой системы (раздел 3).
В случае, когда часть переменных состояния недоступна
для измерения, а требуется провести синтез корректирующих
цепей обратных связей для полного вектора состояния, целесообразно применение наблюдающего устройства, позволяющего восстановить весь вектор состояния, что сохраняет
возможность свободного управления корнями замкнутой системы (раздел 4).
5
Раздел 5 посвящен рассмотрению метода определения оптимального управления и соответствующей ему оптимальной
траектории движения системы путем минимизации функционала качества, состоящего из интегральной и терминальной
составляющих, при заданных начальных условиях и ограничениях, наложенных на управление, с помощью математического аппарата принципа максимума Понтрягина.
Последний раздел посвящен рассмотрению возможностей
программного обеспечения, предназначенного для проверки
решения задач методами, изложенными в этом пособии.
Все методы, рассматриваемые в данном пособии, сопровождаются пошаговыми вычислительными алгоритмами,
примерами расчета, а также индивидуальными заданиями для
всех студентов группы, результаты выполнения которых могут быть проверены с помощью программного комплекса,
выполняющего контролирующую функцию при изучении
студентами соответствующих разделов курса «Оптимальное
управление».
Данное учебное пособие может быть рекомендовано для
студентов магистратуры и старших курсов бакалавриата,
обучающихся по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика».
6
1. УПРАВЛЕНИЕ ПОЛЮСАМИ ДИНАМИЧЕСКОЙ
x
x
СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ ПОЛНОЙ
ИНФОРМАЦИИ О ВЕКТОРЕ СОСТОЯНИЯ
1.1 Метод Кожинской
Постановка задачи
Для управляемой системы:
Ax Bu=+
(1.1)
построить управление вида
uPx=
, (1.2)
таким образом, чтобы замкнутая система
xBPAx
)( +=
(1.3)
** *
( ,..., )
имела заданный спектр
Λ=λ λ
1
[1, 3−5].
n
1.1.1 Случай скалярного входа
Описание метода
Для решения поставленной задачи сделаем линейное невырожденное преобразование системы (1.1)
Dz=
, (1.4)
где столбцы матрицы D задаются следующими рекуррентными соотношениями:
d= B
d= Ad+ cB i=n
;
n
iii
11
−−
, , ..., 2.
(1.5)
В результате преобразования исходная система (1.1) приводится к следующему виду:
7
z=z
z=z
.............
z=z
z= cz cz ... c z+u
,
12
,
23
(1.6)
n- n
nnn
,
1
−− −−
01 12 1
−
,
где
− коэффициенты характеристического полинома ψ(λ)
c
i
разомкнутой системы
ψ(λ) = det (λI − A) =
nn
ccc
λ+ λ + + λ+ =
1
−
110
n
−
... 0.
(1.7)
Управление (1.2) с помощью преобразования (1.4) можно
привести к следующему виду:
где
T
Gg g=
u = Px = PDz = G z = g z + ...+ g z
[ ,..., ]
1
.
n
T
11
nn
,
(1.8)
Характеристический полином замкнутой системы имеет
следующий вид:
1
∗− ∗
cc
10
n
−
... ,
(1.9)
где
*
ψ
(λ) = det (λI – A – BP) =
*
c с g
=−
, i = 0,…, n –1.
11ii
+
nn
λ+ λ + +
По условию задачи управление следует выбирать таким
образом, чтобы характеристический полином замкнутой системы имел наперед заданный спектр.
Вычисляются значения элементарных симметричных мно-
∗
Λ:
гочленов на заданном спектре
n
σλ λ λ,
= + ... +
1
σ λλ λλ λλ λ λ
2−
∗∗ ∗
=
1
i
=
n
= + + ... +
,1
ij
=
ij
≠
1
in
∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗ ∗
=
ij n n
..................................................
n
σ λ λ λ λ ,.
=...
ni n
∗∗∗ ∗
∏
=
1
i
=
12
12 13 1
(1.10)
....
8
∗
Коэффициенты
той системы, имеющей заданные корни
c
характеристического полинома замкну-
i
∗∗
( ,..., )
λλ
1
, выража-
n
ются по формулам Виетта, которые с учетом соотношений
(1.10) можно записать в виде:
∗−
c
in
ni
(1)
=− σ
, i = 0, 1,…, n –1. (1.11)
−
1
Таким образом, из приведенных соотношений следует, что
управление, синтезирующее систему с заданным спектром,
строится с помощью следующих соотношений:
1T
uGDx
=
T
Gg g=
gccc
=− =−− σ
iiii n
+−
11
∗−
(1)
−
,
( , ..., )
1
ni
n
, i = 0,1,…, n –1. (1.12)
,
Поскольку между корнями и коэффициентами характеристического уравнения замкнутой системы установлено взаимно-однозначное соответствие, определяемое соотношениями (1.10) и (1.11), то задачу управления спектром замкнутой
системы можно рассматривать как задачу управления вектором коэффициентов ее характеристического полинома.
Алгоритм решения задачи
1. Проверка управляемости системы.
Строится матрица управляемости
1
S
упр =
( B AB … A
n−
B).
S
Если rang
Определение коэффициентов характеристического по-
2.
линома разомкнутой системы
Определение коэффициентов полинома замкнутой си-
3.
= n, то система управляема.
упр
по формуле (1.7).
стемы по заданному спектру.
По формулам (1.10) рассчитываются значения элементарных симметричных многочленов. По этим значениям с по-
9
мощью соотношений (1.11) вычисляются коэффициенты ха-
x
x
x
x
рактеристического полинома замкнутой системы.
T
Построение вектора
4.
Построение матрицы D.
5.
Столбцы матрицы
D определяются рекуррентными соотно-
G
по формуле (1.12).
шениями (1.5).
Вычисление матрицы D-1, обратной к D.
6.
7. Определение вектора коэффициентов управления
1
T
−
PGD
=
.
Пример расчета
Рассмотрим систему управления вида
33 2 ;
=x x x+u
1123
2123
3123
−−
343 ;
=x+x+xu
−−
342
=x x x+u.
−−
Требуется выбрать управление
u так, чтобы замкнутая
этим управлением система имела заданный спектр
∗
Λ
= (−2 −3 − 3).
Решение
1. Перейдем к векторно-матричному описанию исходной
системы:
где
Ax Bu=+
332 1
−−
AB
3 4 3 ; = 1
=− −
−−
342 1
,
.
Построим матрицу управляемости:
1414
1413
S
= (B AB A2B) =
упр
−−−
1518
10
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]