Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
Варианты заданий
А
А
А
А
А
А
А
135 2 2
−−
1 2 4 1 , 1 , Λ
.
=− − =− = −
021 4 4
135 2 2
−−
2 2 4 1 , 4 , Λ 3
.
=− − =− =−
021 7
b.
∗
−
b.
∗
−
138 2 6
3 2 5 1 , 1 , Λ 2
. А b.
=− − − =− =−
032 4
−−
392 3 6
−− − −
4 7 7 1 , 2 , Λ
.
=− = =−
902 5 1
392 3
−− − −
5 7 7 1 , 6 , Λ 4
. А b.
=− = =−
902 0 1
315 9 3
−− − −
6 8 4 2 , 4 , Λ 4
.
===−
31 0 1 1
−−
12 3 1 1
−−−
7 1 2 3 , 2 , Λ
.
=− =− =−
12 3 3 3
23 4 0 4
8 1 3 5 , 2 , Λ
.
=− = =−
32 7 1 1
863 2 7
9 2 11 7 , 0 , Λ
.
=− − = = −
317 7 1
b.
−−
−−
∗
∗
−−
∗
−
b.
b.
b.
∗
∗
∗
−
−
−−
b.
∗
−
81
362 1
А
А
А
А
А
А
А
10 1 8 6 , 10 , Λ 2
.
=− − = =−
064 0 5
36 8 0 2
−− −
11 3 12 0 , 21 , Λ
. А b.
===−
405 0 4
36 8 0
−− −
12 0 1 5 , 10 , Λ 1
.
==−=−
04 2 2 4
25 8 1
−− − −
13 9 0 2 , 0 , Λ 2
.
===−
321 10 4
b.
−−
−−
b.
∗
−
∗
−
b.
∗
∗
−
01 2 0 2
14 3 4 1 , 0 , Λ
.
===−
221 1 3
−− − −
213 2 1
−− − −
15 4 1 8 , 10 , Λ 7
.
=−−=− =−
70 1 0
−−
00 2 1 1
16 4 1 9 , 0 , Λ 7
.
=− = =−
75 1 9
00 2 7
17 4 1 9 , 0 , Λ 7
. А b.
=− = =−
75 1 9 1
−− − −
18 1 1 1 , 3 , Λ 7
.
=− =− =−
343 5
−− −
−− −
22 2 10 3
−−
b.
b.
b.
−−
−−
b.
82
−
∗
∗
∗
∗
∗
10 1 10 1 1
А
А
А
А
А
А
А
А
19 1 10 10 , 2 , Λ 2
.
=− − = =−
111 3
−−
b.
−
∗
135 2 23
−−−
20 2 4 1 , 1 , Λ 2 3
.
=− − =− =−+
021 4
10 1 10 1 1 2
21 1 10 10 , 2 , Λ 1 2
.
=− − = =−−
111 3
−−
212 2 12
−− − −+
22 2 1 3 , 2 , Λ 1 2
.
=−= =−−
42 0 10
−−−
298 1 3
23 6 7 1 8 , Λ 3
.
=− = =−−
10 0 2 7
221 2
24 10 1 2 , 1 , Λ 1 2
.
==−=−+
212 10 12
−− −−
220 4 2
−−+
25 3 1 1 , 8 , Λ 2
.
=− = =−−
433 1
−−
bi.
bi.
bi.
−−+
,b i.
−−
bi.
bi.
∗
∗
∗
∗
∗
∗
−
−+
i
−
i
i
i
i
i
396 7
−−
26 8 5 1 , 6 , Λ 4
. А bi.
==−=−−
264 4 4
−−+
783 5 14
27 3 3 9 , 1 , Λ 1 4
.
=− =− =−−
423 9
∗
i
i
bi.
−+
∗
−
83
742 2 22
А
А
28 5 9 9 , 8 , Λ 2 2
. А bi.
=− = =−−
232 7
−−
−−+
∗
i
952 7 13
−−+
29 0 7 8 , 5 , Λ 1 3
.
=−= =−−
64 7 3
736 9 32
−−−
30 4 5 3 , 2 , Λ 3 2
.
=− − =− =−+
949 4
−−−
bi.
bi.
∗
∗
i
−
i
84
2.2.2 Случай векторного входа
x
y
Описание метода
Предположим, что объект n-го порядка имеет m входов и
что из n переменных состояния можно подавать в цепи об-
ратной связи r переменных.
Ax Bu
=+
y Сx
=
где A, B, C – матрицы размерностей
(2.37)
,
(),nn×
()nm×
и
()rn×
соответственно.
Задача заключается в синтезе многомерного регулятора,
обеспечивающего заданное расположение всех корней замкнутой системы.
Эту задачу можно решить сведением многомерной систе-
,q
мы (A, B, C) к эквивалентной одномерной (A, B
пользованием свободы выбора элементов вектора
C) и ис-
.q
Из уравнения (2.37) легко получить матричную передаточную функцию эквивалентного одномерного объекта:
() 1
() ( ) ()
Wsq С sI A Bq w s
Ys
==− = =
() ()
Us Fs
=
nn
(...)
sds d
1
1
−
+++
n
1
1
−
1
−
n
1
−
n
(2.38)
mms
...
++
11 1
n
... ... ... .
...
++
mms
1
rrn
Уравнение регулятора примем в виде
=−
p
где v – командный сигнал;
Тогда характеристический полином замкнутой системы
– матрица
85
,uvp
(1 ).r×
H(s) = det (sI – A + B
p
M
pq
C) =
nn
sas asa
++…++.
1
−
n
21
Известно, что
()pw s
= H(s) − F(s)
или
r
()
ws==
ii
1
i
Подставляя в это уравнение вместо H(s), F(s),
H(s) – F(s). (2.39)
()
ws
соот-
i
ветствующие полиномы и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях s в левой и правой частях уравнения,
получим
TT
pad=−
(2.40)
.
Здесь
mm
матрица (
полиномов
11 11n
M
rn×
), элементами которой служат коэффициенты
()
ws
;
i
a
a
=
a
=
mm
rrn
1
,
n
d
1
d
(2.41)
=
d
n
матрицы-столбцы, в которых роль элементов выполняют коэффициенты полиномов H(s) и F(s).
Матричное уравнение (2.40) соответствует переопределенной системе, т.е. системе из n уравнений с r неизвестными
,…, pr
p
1
().rn<
Эта система имеет решение лишь в случае совместимости
уравнений, т.е. когда решение подсистемы из r уравнений
удовлетворяет оставшимся
()nr−
уравнениям.
86
g
Обратимся к передаточной функции по состоянию:
Xs
Wsq
()
=
()
Us
()
()sI A Bq
=−
1
−
=
()
()
Fs
s
. (2.42)
Пусть входящая в эту функцию матрица-столбец
g
(s)
имеет вид
1
n
−
++
lls
()
gs
11 1
=
++
lls
1
nnn
Из уравнений (2.42) и (2.38) видно, что
n
. (2.43)
1
n
−
(s) = C
w
g
(s). От-
сюда следует M = CL, где
ll
неособая (
11 11n
L
=
ll
nnn
nn×
) матрица, составленная из коэффициентов по-
(2.44)
линомов, входящих в уравнение (2.43).
Подставляя M = CL в уравнение (2.40), получим
TTT
LC p a d=−
После умножения этого уравнения слева на
TT
Ep I L a d
=−
где для упрощения записи применено обозначение C
1
−
()( ),
.
(2.45)
1
T
−
()
L
имеем
T
=E и
введен множитель в виде единичной матрицы I. Матрицы E и
I имеют соответственно размеры
()nr×
и
().nn×
Выберем теперь из матрицы E r линейно независимых
строк и сформируем из них
()rr×
− матрицу EB. Выбирая в
матрице I соответственные строки, формируем из них
87
()rn×
E
I
p
β
β
β
– матрицу IB. Уравнение (2.45) можно теперь разбить
на два уравнения:
1
−
TT
=
EIL dа
pa
B В
TT
EIL dб
pa
HH
()
=−
()
−
,
()
1
−
, ()
()
(2.46)
()
где
и
H
– соответственно
H
()nr r−×
()nr n−×
и
– мат-
рицы, образованные из оставшихся строк матриц E и I.
T
Решая уравнение (2.46,а) относительно
и подставляя
результат в уравнение (2.46,б), получим следующее условие
совместимости уравнений (2.40):
.
=
α
a
Здесь матрица α размерности
(2.47)
()nr n−×
определяется вы-
ражением
11 1
()()= (),
IEEIL SL
α= − (2.48)
HHBB
−− −
TT
а матрица
= α
d
представляет собой
( )-вектор.nr−
В выражении (2.48) матрица
11
SI EEI I CC I
=− =−
HHBBHHBB
размерности
Поскольку в эквивалентной одномерной системе матрица
g
и, следовательно, матрица L являются функциями
m-вектора
()nr n−×
,q
уравнение совместимости (2.47) для этой си-
−−
зависит только от C.
стемы принимает вид
() ()qa qα=
Матрица-строка
p
, характеризующая регулятор согласно
TT
()
. (2.49)
выражению (2.46,а), определяется соотношением
88
TT
p
β
11
−−
()( ).
EI L a d
=−
BB
(2.50)
Элементы q
C) следует выбирать таким образом, чтобы уравнение совме-
стимости (2.49) удовлетворялось при
матрицы-столбца
в эквивалентной одномерной системе (A, B
i
,aa=
где элементами
ж
a
служат коэффициенты желаемого ха-
ж
рактеристического полинома замкнутой системы.
Чтобы значения
,,...λλ λ,
12
были корнями замкнутой си-
n
∗∗ ∗
стемы, коэффициенты желаемого полинома рассчитываются
по следующим формулам:
a
a
a
......................................................
a
Подставляя
Hs s
= − + ... +
n
= + + ... +
−
1
nn
=− + + +
−−−
2123124 21
n
( 1) λ λ λ .
= − ...
11
a
в это уравнение, получим в общем случае
ж
=−λ
ж
nn
sas s
=+ ++ +
∗∗
( λ λ
1
∗∗ ∗∗ ∗ ∗
λ λ λ λ λ λ
12 13 1
∗∗∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗
(λ λ λ λ λ λ λ λ λ );
n
∗∗ ∗
уравнение, нелинейное относительно элементов
∗∗
s
−
n
) ... ( )() λ
⋅⋅ − =
1
1
.,
..
aa
21
);
n
−
n
(
...
n
2
n
(2.51)
;
nn
n
q
:
,q
() ()qa qα=
ж
. (2.52)
Матричному уравнению (2.52) соответствует система из
()nr−
менных отношения
элемент матрицы-столбца
бы система была разрешима, общее число переменных
скалярных уравнений, содержащая в качестве пере-
/,
qq
im
где
q
, выбираемый произвольно. Что-
,mq
например, − последний
(1)m −
должно подчиняться условию
89
1mnr.−≥ −
P
Отсюда следует, что для обеспечения желаемого расположения всех корней замкнутой системы число m входных и
число r выходных сигналов объекта, привлекаемых для фор-
мирования обратных связей, должны подчиняться условию
,
1mr n+−≥
где n – порядок объекта.
Следует отметить, что изложенный здесь метод синтеза
многомерной системы не использует всех возможностей, так
как с самого начала предполагает
()mr×
-матрицу обратной
qp=
связи
с рангом, равным единице. Ранг матрицы P не
может превысить ранга отдельных сомножителей, каковыми
являются
(1)m ×
-матрица
q
(1 )r×
и
-матрица
,p
характери-
зующая регулятор одномерной эквивалентной системы.
Алгоритм решения задачи
1. Проверка управляемости системы.
1
n
(| |...| )
SBABAB
Строится матрица управляемости
,Sn=
Если rang
упр
то система управляема, где n – порядок
упр
=
системы.
Расчет коэффициентов передаточной функции эквива-
2.
лентной одномерной системы по вектору состояния:
−
.
Xs gs
Wsq sI A Bq
() ( )
3.
Определение элементов матрицы
() ()
==− =
Us Fs
() ()
отношений (2.43), (2.44) и вектора
Формирование матриц E
4.
Определение вектора α по формуле (2.48).
5.
, IB, EH, IH.
B
90
1
−
()Lq
d
по формуле (2.41).
.
с помощью со-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]