Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
−−
16 3 0
Ab
29. 5 1 9 ; 0 ;
30. 8 2 4 ; 0 ;
=−− =
25 1
−
−−
183 0
Ab
=− − =
51 6 1
−
Λ1 8 15.
Λ685.
С
=
010;
[]
*
=− − −
[]
С
=
010;
[]
*
=− −−
[]
141
4.2 Устройство для наблюдения линейного
x
p
x
x
функционала переменных состояния объекта
Постановка задачи
Для наблюдаемого объекта
() () (),
() ()
yt Сxt
tAxtBut
=+
=
синтезировать устройство вида
() () () ()zt Fzt Kyt TBut=++
с заданным распределением полюсов для наблюдения линейной функции неизмеряемых переменных состояния
ω.
xpx=+
kk ll
Главная задача модального управления состоит в реализации закона регулирования
,upx=−
вид и параметры которого в предположении наличия полной
информации о векторе состояния
Поэтому интерес представляет не столько оценка при помощи наблюдающего устройства отдельных переменных состояния объекта, сколько оценка сразу линейного функционала
этих переменных, выражающего весь закон регулирования
или его часть. В связи с этим возникает вопрос о возможности синтеза такого наблюдающего устройства и его сложности.
Рассмотрим объект
Ax Bu
=+
y Сx
=
142
могут быть установлены.
;
(4.18)
,
где
x
p
x
p
p
p
f
есть n-мерный вектор состояния,
входных сигналов,
u
– m-мерный вектор
y
– r-мерный вектор выходных сигналов,
A, B, C – матрицы (n
n), (n × m), (r × n).
×
Можно доказать, что любой линейный функционал переменных состояния объекта
T
xω=
может быть оценен наблюдающим устройством (v – 1)-го порядка, причем всем корням этого устройства можно придать
любые желаемые значения. Параметр v, называемый индек-
сом наблюдаемости, равен наименьшему целому числу, при
котором матрица
TTT T T Tv T
[ ( ) ... ( ) ]
CAC A C A C
21
−
(4.19)
имеет ранг n. Поскольку для любого полностью наблюдаемого объекта выполняется условие
1,vnr−≤ −
причем для
большинства объектов (v – 1) много меньше (n – r), наблюдение линейного функционала переменных состояния часто
оказывается значительно более простой задачей, чем наблюдение полного вектора состояния
или его части.
Итак, задача заключается в синтезе для объекта (4.18) такого наблюдающего устройства с желаемыми динамическими
свойствами, (v – 1)-мерный вектор состояния
соответствующей комбинации с r-мерным вектором
z
которого в
y
вы-
ходных сигналов объекта давал бы желаемый линейный
T
функционал
ω
x=
переменных состояния объекта, т.е.
TTT
() () (),
xt f yt l zt=+
(4.20)
где матрица–строка
T
задана, а матрицы-строки
T
и
T
l
подлежат определению.
В общем случае векторы состояния объекта и наблюдающего устройства связаны соотношением
zTx=
, где матрица
Т определяется из уравнения
143
p
f
f
ТА – FT = KC. (4.21)
Уравнение наблюдающего устройства
() () () ()zt Fzt Kyt TBut=++
Подставляя в уравнение (4.20)
следующему соотношению между матрицами
,yCx=
TT T
ClT p+=
(4.23)
.
. (4.22)
zTx=
, приходим к
T
T
,
и
:Tl
Дальнейшие выкладки, основанные на этом соотношении
и свободе выбора матриц Т и K наблюдающего устройства,
производятся с помощью следующего алгоритма.
Алгоритм решения задачи
1. Определение индекса наблюдаемости объекта v.
Параметр v равен наименьшему целому числу, при кото-
ром матрица (4.19) имеет ранг n.
2. Составление уравнения наблюдающего устройства
u
(4.22) в предположении, что входной сигнал
() () (),zt Fzt Kyt=+
отсутствует:
(4.24)
где F − диагональная матрица, содержащая желаемые корни
наблюдающего устройства.
3. Преобразование уравнения (4.24) путем ввода обозначе-
ния Н = KС. В результате получаем
− неизвестные переменные (или
h
j
(4.25)
Н = [0...
() () (),zt Fzt Hxt=+
...
i
...0], где
h
j
h
,
h
i
столбцы), количество которых определяется количеством измеряемых координат, а остальные − нули. Компоненты вектора состояния i, j измеряемы (i, j = 1,..., n).
144
4. Определение матрицы преобразования Т вектора
p
x
x
x
x
x
()zt
, содержащую искомый функционал
()xt
в
zTx=
.
Этому условию удовлетворяет матрица вида
Здесь
T
где
TT p=+
изм
,
tt
− неизвестные значения, количество которых
ij
,
T
изм
= [0...
t
t
...
...0].
i
j
определяется количеством измеряемых координат, а остальные − нули. Компоненты вектора состояния i, j измеряемы (i,
j = 1,..., n). Тогда T = [
5. Определение
hh tt
ijij
t
...
1
i
, , ,
...
p
...
].
j
n
с помощью уравнения (4.21).
t
Переходя к поэлементным уравнениям и решая их, находим
, , ,
hh tt
ijij
.
6. Составление уравнения наблюдающего устройства при
учете внешнего воздействия
() () () ();
zt Fzt Hxt TBut
=++
( ) ( ).
zt Txt
=
.u
Пример расчета
Рассмотрим объект
() () (),
() (),
yt Сxt
tAxtBut
=+
=
где
21 00
−
0210
====
ABCx
−
00 11
10 00
−
−
;; ;.
01
00 1000
00 0010
11
1
2
3
4
145
x
и
x
[
y
образуется измеряемыми переменными состоя-
,
что учтено структурой матрицы С. F = − 3 .
3
Вектор
ния
1
Требуется оценить функционал
ω [0 0 ] 0101.
xx p p p=+ ==
24 2 4
T
]
1. Первый элемент блочной матрицы (4.19)
10
C
T
=
01
00
00
представляет собой матрицу, ранг которой равен двум, т.е.
меньше n = 4.
Учитывая в матрице (4.19) два первых элемента, получим
10 2 0
TTT
CAC
00 1 0
=
01 0 1
00 0 1
−
.
(4.26)
−
Следовательно, ранг матрицы (4.26) равен порядку объек-
2.v =
та, а индекс наблюдаемости
устройства равен
(1).v −
Порядок наблюдающего
Таким образом, любой линейный функционал переменных
состояния можно наблюдать, используя устройства первого
порядка.
2. Запишем уравнение (4.22) наблюдающего устройства в
предположении, что входной сигнал
() 3() ().zt zt Kyt=− +
u
отсутствует:
(4.27)
3. Так как Н = KС,
(4.28)
где Н =
[0 0].hh
13
() 3() (),zt zt Hxt=− +
146
4. Найдем матрицу преобразования Т вектора
x
[][
x
x
x
x
(),zt
содержащую искомый функционал
1234 1 3
11,Ttptp t t==
x+
24
]
:
()xt
в скаляр
() .zt tx x tx x =++ +
5. Для определения
11 2 3 3 4
,, ,tt hh
13 1 3
воспользуемся уравне-
нием (4.21):
21 00
−
0210
11 311 0 0.
tt tt h h
[] [][ ]
13 13 1 3
−
00 11
10 00
−
−
+=
Переходя к поэлементным уравнениям и решая их, получим
1, 3, 2, 5.tt h h=− =− =− =−
13 1 3
6. Таким образом, уравнение (4.28) при учете внешнего
воздействия
С учетом вычисленных значений
u
принимает вид
() 3() 2 5 .zt zt x x TBu=− − − +
() 3 .zt x x x x=− + − +
12 34
13
, tt
:
13
()zt
Выходной сигнал
искомого функционала
и 3xx−−
13
и
1
, зависящие от измеряемых переменных состояния
.
Поэтому для оценки функционала
3
наблюдающего устройства помимо
x+
содержит составляющие
24
x+
необходи-
24
мо указанные составляющие добавить с противоположным
().zt
знаком к сигналу
Следовательно, наблюдающее устрой-
147
ство функционала
x
ной на рисунке 4.3.
Рисунок 4.3 – Устройство для наблюдения линейного функционала
x+
представляется схемой, изображен-
24
Варианты заданий
−−− −−
18 95 94
33 83 92
=; ; 2.
AB F
1.
2.
61001 20
98 90 22
−−−
3102 25
57 33 1 10
=; ; 4.
AB F
71 69 6 5
647 5 92
−− − −
−− −
−−
==−
−−
−−
−− − −
==−
0001
=
C
0010
T
p
C
p
8500;
=− −
[]
0010
=
1000
T
01007;
=− −
[]
;
;
148
−−
42 58 8 2
145 9 107
=; ; 6.
AB F
3.
4.
1486 20
−−−
9816 1 7
6298 34
−−−− −
10 1 8 5 7 9
=; ; 7.
AB F
1959 51
−−−−
4456 55
−−−
==−
−−
−−
==−
0010
=
C
1000
T
0908;
p
=−
[]
0010
=
C
1000
T
040 5;
p
=−
[]
;
;
78 1 4 8 5
−− −
=; ; 5.
AB F
5.
6.
7.
8.
−−−−
6211 104
86 3 7 22
−−−
56102 19
=; ; 1.
AB F
34 8 8 2 6
−−
06 40 0 6
09 24 17
713 8 93
=; ; 8.
AB F
995 2 26
−− − −−
25 9 10 3 8
−−− −−
−− − −
−−− −
=; ; 1.
AB F
8860 92
5114 03
−− −
211 5 0 5
43310 0 1
==−
−−
−− −−
==−
−−
p
−−−
−−
==−
10 5 0 3 4 6
62 48 7 7
−−
==−
−
1000
=
C
0010
T
p
=−
[]
0001
=
C
0010
T
10 8 0 0 ;
=− −
[]
0001
=
C
0010
T
p
=− −
[]
0001
=
C
1000
T
0140;
p
=
[]
;
010 9;
;
;
8500;
;
149
−
13 4 1 4 2
−−
1618 45
=; ; 3.
AB F
9.
10.
11.
12.
54 55 7 7
−− −−
9284 47
−
4324 84
−−−− −
10 7 9 2 5 8
=; ; 1.
AB F
4274 01
−−−−
3523 90
−− − −
−− − − −
7326 104
−− −
770 1 9 4
=; ; 1.
AB F
24310 51
−− −−
98 2 0 4 8
−−
5992 45
−− −
42 85 50
−−−
=; ; 1.
AB F
9333 05
−−−−
31017 56
−−
−−
==−
==−
==−
==−
0100
=
C
0010
T
p
C
9006;
=−
[]
0100
=
0010
T
6009;
p
=
[]
0100
=
C
0001
T
8020;
p
=
[]
0001
C
=
0010
T
11000;
p
=−
[]
;
;
;
;
−− −−
41094 19
−−
10 7 1 8 2 6
=; ; 6.
AB F
13.
14.
35104 44
99 81 48
−− −−
7341 2 8
−−−
−− −
978 4 2 10
AB F
=; ; 6.
−−−
553 2 7 8
6936 110
−− −
−−
==−
==−
150
0100
=
C
1000
T
00 53;
p
=−
[]
0010
C
=
1000
T
=− −
p
0509;
[]
;
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]