Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
3. Для снижения размерности вектора управления поло-
x
x
D
жим
vru
=
,
где v – скалярная величина.
Снижаем размерность вектора управления с помощью соотношения (1.16):
2
rr
−
12
2
rr
−
2
v.
21
r
2
Полагаем
412
=
2
.
=
r
1
−
320
500
+
Управление, синтезирующее систему с заданным спектром
∗
= (−1 −1 −1), строится по формулам (1.16 − 1.20).
Λ
4−5. В данном случае коэффициенты характеристических
полиномов разомкнутой и замкнутой систем соответственно
равны
c = −20, 1c = 24, 2c = −9, 0c
0
∗
= 1,
∗
c
1
= 3,
c
∗
= 3.
2
6. По рекуррентным формулам (1.19) построим матрицу D:
22 8 0
−
.
и матрицу
=−
12 6 0
D
882
1
−
,
обратную матрице D,
340
−−
1
1
−
=−−
D
6110
18
−−
12 28 9
−
7. Теперь легко определить скалярное управление, синте-
зирующее систему с заданным спектром:
T
1D−
()CCD
Gv=
x
=
−
1
∗−
21
x
= 1,5 [3 7 −4]
x
.
8. Векторное управление
r
1
uv x
==
r
2
u
будет
92112
4,5 10,5 6
−
−
.
Ответ
u
= 9х1 + 21 х2 − 12 х
1
u
= 4,5х1 + 10,5 х2 − 6 х
2
,
3
.
3
Варианты заданий
123 2 1 1
==−Λ=−=
1. 0 1 2 , 2 1 , 2 , .
А Br
004 0 1 1
−−
∗
1
2
−
157 2 3 3
==Λ=−=
2. 0 3 5 , 1 2 , 1 , .
А Br
021 1 1 3
501 4 3 2
==−Λ=−=
3. 1 0 2 , 0 2 , 3 , .
А Br
634 1 1 1
243 1 2 3
==−Λ=−=
4. 0 6 1 , 2 1 , 2 , .
А Br
003 0 3 1
300 10 1
==Λ=−=
5. 1 0 2 , 2 3 , 3 , .
А Br
435 21 1
834 7 1 1
6. 0 5 2 , 1 3 , 1 , .
А Br
==−Λ=−=
003 0 5 3
−−
∗
−
−
∗
−
−−
∗
−
−−
∗
−−
−
∗
−
22
2
3
3
1
1
3
1
3
2
1
12 1 53 3
7. 5 1 2 , 1 2 , 1 , .
А Br
=− =− Λ=− =
030 21 2
−−
∗
−−
1
2
541 5 1 1
8. 1 3 2 , 3 2 , 2 , .
9. 5 1 3 , 0 2 , 2 , .
10. 1 3 2 , 1 3 , 2 , .
11. 2 1 2 , 1 3 , 3 , .
12. 2 1 3 , 2 1 , 2 , .
А Br
==−Λ=−=
004 1 0 2
40 2 1 3 1
−−−
А Br
=− − = Λ=− =
020 1 4 1
200 2 4 1
А Br
==Λ=−=
634 1 2 2
050 21 2
==Λ=−=
А Br
435 0 1 2
41 2 2 0 2
−−
А Br
=− − =− Λ=− =
100 50 3
−−
−−
−−
−−
−
1
∗
−
∗
∗
∗
−
∗
−
4
3
2
1
2
2
1
1
4
30 2 1 3 1
−−−
13. 5 8 3 , 4 2 , 5 , .
14. 0 8 0 , 1 3 , 1 , .
А Br
=−=−Λ=−=
20 1 0 1 1
−−
752 42 1
А Br
==Λ=−=
601 0 5 3
−−
−−
23
∗
∗
3
4
1
3
13 2 3 1 2
−− −− −
15. 1 5 1 , 1 3 , 1 , .
16. 1 4 5 , 2 1 , 1 , .
А Br
=− = Λ=−=
30 0 1 2 5
−−
910 12 5
−−−−
А Br
==Λ=−=
400 3 2 2
−−
∗
∗
2
4
1
2
07 2 28 2
17. 1 4 5 , 1 3 , 2 , .
18. 1 3 2 , 4 7 , 3 , .
19. 1 3 4 , 1 4 , 4 , .
А Br
==−Λ=−=
02 1 5 2 5
390 5 1 1
А Br
=− − = − Λ=− =
210 21 2
107 3 2 4
=− − =− Λ=− =
А Br
−−
20. 0 0 4 , 1 2 , 3 , .
21. 3 3 0 , 2 0 , 2 , .
А Br
=−=−Λ=−=
−− − −
20 1 11 1
А Br
==Λ=−=
021 31 1
−− −
∗
−−
−−
∗
−−
−−
∗
20 0 1 3 2
621 50 1
−−
∗
11 5 24 4
−−
∗
−− − −
4
2
1
3
2
1
1
3
3
1
73 2 11 2
22. 0 1 0 , 2 0 , 4 , .
А Br
==Λ=−=
121 13 1
−− −− −
−− −
∗
24
2
5
01 1 1 2 2
23. 8 2 2 , 3 1 , 2 , .
А Br
=−=− Λ=−=
03 0 1 2 4
−−−
∗
−−
1
2
50 5 1 1 2
24. 0 7 4 , 2 3 , 1 , .
25. 0 1 2 , 1 7 , 4 , .
26. 2 5 0 , 1 2 , 1 , .
27. 1 0 0 , 2 3 , 4 , .
28. 4 2 1 , 2 2 , 2 , .
А Br
==Λ=−=
11 1 1 2 5
24 1 0 1 4
А Br
=−=−Λ=−=
31 0 5 3 1
−−
А Br
==−Λ=−=
311 31 2
−− −− −
=− =− Λ=− =
А Br
224 40 3
05 3 1 5 3
А Br
=− = Λ=− =
10 2 41 2
−−− −
∗
−−− −
−−
∗
−
301 1 1 2
∗
−
31 1 1 1 1
∗
−−
−−−
∗
−− −
2
1
1
3
2
3
3
2
1
2
21 6 4 2 2
29. 0 0 3 , 1 1 , 1 , .
30. 3 2 3 , 1 4 , 1 , .
А Br
==Λ=−=
211 37 3
115 2 3 2
А Br
==Λ=−=
440 3 0 5
−−−
∗
−−
−− −
∗
−
25
2
4
4
3
1.2 Метод Кузовкова
x
Постановка задачи
Для управляемой системы
Ax Bu
=+
построить управление вида
(1.21)
,uPx=−
(1.22)
таким образом, чтобы замкнутая система
xBPAx
)( −=
(1.23)
n
имела заданный спектр
** *
( ,..., )
Λ=λ λ [2−5].
1
1.2.1 Случай скалярного входа
Описание метода
В данном случае вместо вектора
дет скалярная величина
()nm×
– матрица
u, а вместо матрицы B размерности
b
размерности
u
в уравнении (1.21) бу-
(1),n ×
т.е. матрица-
столбец.
В законе регулирования (1.22) и в уравнении замкнутой
системы (1.23) прямоугольная матрица
цу-строку
, состоящую из n элементов.
p
P переходит в матри-
Передаточная функция имеет вид
Здесь
Ws sI A b
(s) – матрица-столбец (
g
()
Us
()
Xs
== =
() ( – )
1n×
1
−
), а
sg
. (1.24)
)()(sF
F(s) = det (sI – A) (1.25)
характеристический полином объекта.
Структурная схема замкнутой системы, образующейся в
результате присоединения к объекту регулятора, имеет вид
(рисунок 1.1).
26
p
v u
−
W(s) =
sg
)()(sF
p
Рисунок 1.1 − Структурная схема замкнутой системы
x
C
y
Характеристическое уравнение этой системы получается
приравниванием нулю суммы из произведения передаточных
функций звеньев контура, взятого со знаком минус, и единицы. В данном случае
()
где
( , , ...., )
pp p=
12
gs
p
Fs
− вектор-строка.
n
()
10
+=
,
Приводя левую часть этого уравнения к общему знаменателю, и учитывая, что получившийся числитель равен характеристическому полиному H(s) замкнутой системы, приходим
к важному соотношению:
H(s) – F(s). (1.26)
()pgs =
В этом соотношении неизвестной является только матрица-строка
. Матрица-столбец
p
вместе с полиномом F(s)
g
предопределены параметрами объекта. Полином H(s) предопределяется желаемым расположением корней замкнутой
системы.
Характеристический полином замкнутой системы имеет
вид
( ) ... 0,
Hs s +as a s a
nn
=+++= (1.27)
1
−
11
27
−
nn
**
p
x
= − + ..... +
1
** ** * *
λ λ λ λ λ λ
= + + ... +
12 13 1
*** ** * * * *
(λ λ λ λ λ λ ;
=− + + +
n
(1)λλ
= − ...
** *
1 2
);( λ λ
n
;
n
n
λλλ)
...
−−
nn
λ
n
.
n
21
где
a
1
a
2−
a
3123124
......................................................
a
n
Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (1.26) при одинаковых степенях s, получаем систему
алгебраических уравнений. Из этой системы можно найти все
элементы матрицы регулятора
, обеспечивающего заданное
p
расположение корней замкнутой системы.
Алгоритм решения задачи
1. Проверка управляемости системы.
Строится матрица управляемости
Если rang S
Вычисление передаточной функции объекта W(s) по
2.
= n, то система управляема.
упр
S = b Ab ... A b
упр
()
1
n
−
.
формуле (1.24).
Определение коэффициентов полинома замкнутой си-
3.
стемы по заданному спектру с помощью формулы (1.27).
Определение элементов матрицы регулятора
4.
ном случае
– вектор-строка) по формуле (1.26).
(в дан-
p
Пример расчета
Рассмотрим следующую систему управления:
Ax bu=+
,
−
где А =
001
−−
201
, В =
010
28
1
0
.
0
Требуется выбрать управление u так, чтобы замкнутая
x
этим управлением система имела заданный спектр Λ
= (−1 −1 −1).
Решение
1. Составим матрицу управляемости объекта и рассчитаем
ее ранг:
−
111
SbAb...Ab
( )
==
упр
n
−
1
−
110
.
−
100
∗
=
Матрица S
rang (S
имеет ранг, равный порядку объекта, следо-
упр
упр
) = 3.
вательно, система полностью управляема. Полная управляемость означает существование ограниченного входного сиг-
u
нала
из любого начального состояния
ное состояние
, переводящего объект за конечный интервал времени
в любое наперед задан-
x
0
.
2. Закон регулирования можно определить на основе
уравнения (1.26). Полином F(s) и матрицу-столбец
g
(s),
входящие в это уравнение, находим из матричной передаточной функции объекта (1.24).
1
s
00 10 0 1
1
−
Ws sI A b s
() ( – ) 0 0 1 0 2 0
=−−−=
00 0 1 0 0
=
1
ss
2
++
)2)(1(
−
s
2
+
2
s
−
s
−
1
=
−
)(
sg
.
)(
sF
3. Характеристический полином замкнутой системы
H(s) = s3 + a1s2 + a2s + a3,
29
где коэффициенты:
p
a
= – ( –1 –1 –1 ) = 3;
1
= (−1)(−1) + (−1)(−1) + (−1)(−1) = 3;
a
2
= – ((−1)( −1)( −1)) = 1.
a
3
4. Подставляя выражения
(1.26) и перемножая в левой части этого уравнения матрицы
(s), находим:
,
g
2322
(2)– – 3 31–(1)(2).ps ps p s s s s s+=+++++
12 3
(s), F(s), H(s) в уравнение
g
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s
левой и правой частей, приходим к системе уравнений
0
:
s
2– –1;
pp
1
:– 1 ;
sp
2
2,
p
:
s
из которой легко найти элементы p
=
13
=
2
=
1
1
, p2, p3 матрицы регуля-
тора:
= 2, p2 = −1, p3 = 5.
p
1
Результирующее управление имеет вид
(2x1 − x2 + 5x3).
u = −
Варианты заданий
331 3 6
−− − −
1. 1 1 1 , 3 , Λ 6 .
2. 2 1 1 , 3 , Λ 6 .
Ab
=− =− =−
42 2 1 2
−− −
231 2 2
−− −
Ab
==−=−
20 0 1 4
−−−
30
∗
∗
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]