Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
()
.
.
.
()
i
.
.
.
=
Hs
Ys
...
...
...
1
()
nm nm n M
... ( ... ) ...
...
...
...
+++
ij i j immj
11 2 2
Vs
1
.
.
Vs
()
j
.
.
Vs
()
m
*.
Перемножив матрицы в правой части, видим, что выде-
V
ленный скобками элемент будет умножен на
. Переходя к
j
поэлементным уравнениям и учитывая, что произведение
m
Vnm
jikkj
1
k
=
результирующей (r
представляет собой одно из слагаемых i-й строки
×1)-матрицы, получим
( ) ... ( ) ... .
Ys V s nm
ijikkj
1
=+ +
()
Hs
m
k
=
1
Отсюда искомая передаточная функция
()
Ys
i
=
() ()
Vs Hs
j
m
1
nsm
ik kj
k
1
=
() .
Если полиномы
( ) .....
ns s
=α + +α
ik ik nik
)(sn
записать в развернутой форме:
ik
1
n
−
1
, k = 1,…, m,
то после несложных преобразований передаточная функция
принимает вид
()
Ys
i
() ()
Vs Hs
j
1
=α++α ++α++α
( ... ) ... ( ... ) .
mms mm
11 1 1 1 1
i j im mj ni j nim mj
1
n
−
Коэффициенты полинома числителя представляют собой
,..., ,
линейные функции элементов
mm
1
jmj
101
образующих j-й
столбец матрицы М. Соответственным выбором этих элемен-
β
β
ββ
γ
γ
()/ ()
тов можно придать нулям передаточной функции
Ys V s
ij
желаемое расположение. Например, чтобы создать действительный нуль s = z, достаточно потребовать
1
n
( ... ) ... ( ... ) 0
mmz m m
α + +α + + α + +α = .
11 1 1 1 1
i j im mj ni j nim mj
−
Это уравнение можно записать в виде
11
nn
−−
( ... ) ... ( ... ) 0
zmz m
α + +α + + α + +α = . (3.5)
11 1 1 1
inijimnimmj
Или, после введения обозначений,
... 0
mm
++
11
jmmj
=
, (3.6)
где
1
,...,
− постоянные, связь которых с z ясна из сопо-
m
ставления (3.5) и (3.6).
Аналогично можно придать свободному члену числителя
передаточной функции, определяющему коэффициент усиления, желаемое значение L:
...
mmLα++α =
11
ni j nim mj
. (3.7)
Назначение нуля или свободного члена числителя функции
)(/)( sVsY
дает одно линейное уравнение относительно эле-
ji
ментов j-го столбца матрицы М. Если в передаточных функциях
Ys V s Y s V s
1
jrj
назначить нули и свободные
( ) / ( ),..., ( ) / ( )
члены числителей так, чтобы их общее число было m, то получим систему из m линейных уравнений относительно не-
известных
mm
1
jmj
Эту систему можно записать в матрич-
,..., .
ной форме:
Mϕ=
,
(3.8)
j
где ϕ − постоянная (m × m)-матрица, сформированная из коэффициентов уравнений вида (3.6) и (3.7), а
− m-мерный
102
вектор, составленный из правых частей этих уравнений. Из
ϕγ
ϕ
γ
0ϕ≠
этого уравнения, полагая det
, получим
Найденный вектор
M−=
M
представляет собой точное реше-
j
1
j
. (3.9)
ние уравнения (3.8), что гарантирует точное выполнение требований, предъявленных к числителям передаточных функ-
( ) / ( ), 1 ,..., .
Ys V s i r=
ций
ij
Если матрица ϕ получилась
особой, необходимо выбранные нули и свободные члены
числителей несколько изменить, чтобы обеспечить det
В дальнейшем будем предполагать матрицу
Чтобы передаточные функции
обращались в нуль, вектор
M
()/ (),..., ()/ ()
Ys V s Y s V s
1
должен быть отличен от нуля.
j
Согласно (3.9), это возможно, когда
чение какого-либо нуля приводит к появлению в матрице-
столбце
мых нулей должно быть m
нулевого элемента, максимальное число выбирае-
− 1.
неособой.
jrj
0γ≠
. Поскольку назна-
0ϕ≠
не
Имея в виду всю совокупность передаточных функций
, i =1,..., r, j = 1,..., m, приходим к выводу, что об-
)(/)( sVsY
ji
щее число заранее выбираемых нулей и коэффициентов усиления многомерной системы может быть rm. Однако входящее сюда число нулей не должно превышать r (m
− 1) .
Вычисляя по формуле (3.9) один столбец матрицы за другим (принимая j = 1,..., m), находим (m
m)-матрицу звена
×
разомкнутого цикла, обеспечивающего заданные значения
нулей и коэффициентов усиления синтезируемой системы.
Если матрица М звена разомкнутого цикла получилась неособой, можно от комбинированной системы (см. рисунок 3.1) перейти к эквивалентной замкнутой системе (рисунок 3.2).
.
103
x
ν
p
M
P
v
Σ
Рисунок 3.2 − Замкнутая система, эквивалентная системе,
M
изображенной на рисунке 3.1
u
(A, B, C)
1
–
−
y
Действительно, замкнутая система, представленная на рисунке 3.2, описывается уравнениями
( ),
Ax BM M Py
=+ ν−
.
yCx
=
1
−
Перегруппировывая члены, приводим эту систему к виду
(),x A BPC BM
=− +
Cx.
y
=
x
(3.10)
Уравнения (3.10) замкнутой системы, изображенной на рисунке 3.2, не отличаются от уравнений (3.3) комбинированной системы (см. рисунок 3.1), что и доказывает эквивалентность этих систем.
Для объекта с одним входом
, так что имеется воз-
1m =
можность назначить синтезируемой системе только какойлибо один коэффициент усиления. В этом случае уравнения
системы
,
xAb x
=− +ν
,
yCx
=
где M и v − скаляры. Подставляя
()
CbM
x
= 0, v = 1, что соответ-
(3.11)
ствует установившемуся состоянию, будем иметь
104
1
где
h
[,..., ]
hh=
1
=−+ =
уст
T
. Следовательно, для обеспечения ненуле-
r
−
,()yCAbpbCMhM
вого коэффициента усиления, например, в цепи, связывающей выходной сигнал y
с входным сигналом v, необходимо
i
выбирать коэффициент М согласно формуле
y
ycт
i
,
i
) при v =1.
где y
= соnst − желаемое значение выходного сигнала yi,
i уст
устанавливающееся (t
Mh=
→∞
Следует заметить, что и в данном случае (m =1) можно перейти от комбинированной системы к полностью замкнутой.
При этом, помимо введения перед объектом усилительного
звена М, необходимо реализовать матрицу цепи обратной
h
.p
связи
y
ycтii
Согласно изложенному, синтез звена разомкнутого цикла
М многомерной системы сводится к следующим трем шагам.
Алгоритм решения задачи
1. Рассчитываем матрицу обратной связи P, обеспечи-
вающую требуемое расположение полюсов системы, и определяем матричную передаточную функцию образующейся
замкнутой системы
W(s) = C
(sI − A + BPC)–1B.
Рассчитываем первый столбец матрицы М звена разо-
2.
мкнутого цикла, основываясь на m заданных значениях нулей
и свободных членов числителя передаточных функций
)(/)(),...,(/)(
sVsYsVsY
. Аналогично, принимая во внимание
r
111
требования к нулям и коэффициентам усиления функций
105
( ) / ( ),..., ( ) / ( ), 2,..., ,
x
x
Ys Vs Ys Vs i m=
1
iri
рассчитываем второй и
последующие столбцы матрицы М.
Если det M
3.
≠
0, то от комбинированной системы пере-
ходим к эквивалентной замкнутой системе. Для этого в пря-
мую цепь перед объектом вводим звено М, а матрицу P цепи
1−
обратной связи заменяем матрицей M
P.
Пример расчета
Для объекта
112
=
311
12 1
−
−−
121
+
112
−−
21 1
u
−
синтезировать цепь обратной связи, при которой полюсы замкнутой системы будут в точках
1,2
2sj=− ±
и
1s =−
3
, и
найти звено разомкнутого цикла, при котором система удовлетворяет следующим требованиям:
)(/)(
Передаточная функция
1.
Передаточная функция
2.
Числитель передаточной функции
3.
sVsX
имеет нуль
11
)(/)(
sVsX
имеет нуль
12
sVsX
13
2;s =−
4;s =−
)(/)(
имеет
свободный член −3;
)(/)(
Числитель передаточной функции
4.
sVsX
21
имеет
свободный член −0,5;
)(/)(
Передаточная функция
5.
6;s =−
Передаточная функция
6.
0, 2;s =−
sVsX
имеет нуль
22
)(/)(
sVsX
имеет нуль
23
)(/)(
Передаточная функция
7.
4, 5;s =−
106
sVsX
имеет нуль
31
)(/)(
[
x
x
s
s
s
p
p
8. Числитель передаточной функции
sVsX
32
имеет
свободный член 0,6;
)(/)(
Передаточная функция
9.
3, 2.s =−
sVsX
имеет нуль
33
Решение
Применим изложенный пошаговый процесс синтеза.
1. Выберем вектор относительной глубины обратных
связей
100.
q =
T
]
Тогда объект эквивалентной одномерной системы описывается уравнением
112
=
311
12 1
−
−−
1
1μ
−
+
2
и имеет передаточную функцию
()
Xs
μ( )
s
IA Bq
=− =
()
Матрицу регулятора
мерной системы легко находим из уравнения
1
−
ss
p
=[
()
gs
= H(s) − F(s),
1
32
−−
ppp
123
2
−+ +
9
23
] эквивалентной одно-
2
+
2
3
s
.
s
−
принимающего в данном случае вид
22 2
(3) ( 39) (23)
sspss pss
++−+++ −=
12 3
(2)(2)(1)( 9).
sjsjs ss
=++ +− +− −−
32
Отсюда
94
p
=
27
9
27
.
55
14
Регулятор многомерной системы имеет матрицу
107
94 14 55
X
X
X
X
==
Pqp
27 9 27
000
,
000
а замкнутая многомерная система характеризуется передаточной функцией
W(s) = (sI − A+BP)1−B
=×
sss
22 2
++ +−
3 2 5,56 1, 44 3,33
ss s s s s
22 2
×− + + − + + + +
3 9 8,44 18,33 2 16,56 24 .
ss s s s s
22 2
2 3 12,89 5 12,11 1, 67
ss s s s s
−−−−−−
1
32
+++
595
2. Пусть
mmm
11 12 13
Mmmm
=
21 22 23
mmm
31 32 33
звено, последовательно соединенное с замкнутой системой.
Тогда
X(s) = W(s) M V(s).
Поскольку звено М, как видно из соотношения (3.4), не
оказывает влияния на характеристический полином H(s) замкнутой системы, а влияет только на числитель передаточной
функции замкнутой части системы, то, чтобы удовлетворить
требованиям, предъявляемым к функциям
() (),
sYs
ij
где
i = 1,…, r, j = 1,…, m в отношении распределения нулей и ко-
эффициентов усиления, будем рассматривать только числители этих функций.
Чтобы удовлетворить первому, второму и третьему требо-
()/ (),
ваниям, предъявленным к функциям
()/ (),
sVs
31
необходимо положить
108
sVs
11
()/ (),
sVs
21
23,122,21 0;
mm m
−− − =
11 21 31
19 31, 43 10, 24 0;
mmm
−− − =
11 21 31
51,67 3.
mm
−− =−
21 31
Решив эту систему уравнений, находим первый столбец M
матрицы М:
0,992
−
0,567
0,098
.
m
11
Mm
==
121
m
31
Для удовлетворения четвертому, пятому и шестому требованиям полагаем
3, 33 0, 5;
m
−− − =
45 68,31 3,36 0;
0, 68 2, 38 0, 71 0,
−=−
mmm
12 22 32
mmm
−+=
12 22 32
32
откуда находим второй столбец матрицы М:
m
12
Mm
==
222
m
32
0, 055
−
0, 029
0,15
.
Для удовлетворения седьмому, восьмому и девятому требованиям полагаем
1
6,75 15,48 10,44 0;
mmm
30,08 46, 49 26,84 0,
++=
13 23 33
mmm
++=
9 18, 33 24 0, 6;
13 23 33
mmm
++=
13 23 33
откуда находим третий столбец матрицы М:
109
0, 022
0,043
0, 049
.
m
13
==−
Mm
323
m
33
Следовательно, звено разомкнутого цикла должно иметь
PMP
матрицу
0,992 0, 055 0,022
−−
[ ] 0, 567 0,029 0,043
MMMM
== −
123
0,098 0,15 0,049
.
3. Поскольку det M
≠
0, можно от комбинированной систе-
мы перейти к замкнутой системе. В этой замкнутой системе
матрица обратной связи должна быть
=
. В данном
* 1−
случае
1,87 1,44 0,41
−−−
1
M
−
7,68 12,19 7,13
=
19,57 34,1 0,59
−−−
так что
6,52 2,91 3,82
∗−
PMP
1
==
26,74 11, 95 15, 64
−− −
68,12 30,44 39,86
.
Правильность расчетов подтверждается матричной передаточной функцией синтезированной системы
−
1*
=++
sjsjs
(2)(2)(1)
++ +− +
1
0,2412( 0,7)( 2)
0,6212( 1, 5)( 4)
1, 5145 5,53 3
−−−
=+−=
)()()(
sBMVBMPAsIsX
ss
−+
ss
2
ss
2
−+−− ++
0,3263( 1, 9)( 6) 0,1197 0,52 0,6
0,2317( 8,5)( 0, 2) 0,0482( 3, 2)( 0,9)
−++−+−
ss ss
0,153 0, 21 0,5 0,0142( 4,5)( 2,6)
ss s s
++ ++
2
ss ss
110
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]