Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
Подставляя M = CL в уравнение (2.23), получим
L
p
β
β
TTT
Cp a d=−
После умножения этого уравнения слева на
TT
Ep I L a d
=−
где применено обозначение С
.
1
TL−
имеем
()
1
−
()( ),
Т
= Е и введен множитель в ви-
(2.27)
де единичной матрицы I. Матрицы Е и I имеют соответственно размеры
()nr×
и
()nn×
.
Выберем теперь из матрицы Е r линейно независимых
строк и сформируем из них
()rr×
− матрицу ЕB. Выбирая в
матрице I соответственные строки, формируем из них
()rn×
− матрицу IB. Уравнение (2.27) можно теперь разбить
на два уравнения:
1
−
TT
EIL dа
B В
EIL d
HH
,
p
=−
()
TT
p б
=−
()
()
a
1
−
()
,
a
()
(2.28)
()
где Е
()nr r−×
и IH − соответственно матрицы размерностей
Н
()nr n−×
и
, образованные из оставшихся строк
матриц Е и I.
T
Решая уравнение (2.28,а) относительно
и подставляя
результат в уравнение (2.28,б), получим следующее условие
совместимости уравнений (2.23):
(2.29)
.aα=
Здесь α − матрица размерности
()nr n−×
определяется
выражением
11
()(),
IEEIL
α= − (2.30)
HHBB
−−
a матрица
= α
d
представляет собой (
71
T
nr−
)-вектор.
Уравнение (2.29) накладывает
p
I
,...,
фициенты
aa
1
характеристического полинома замкнутой
n
nr−
ограничений на коэф-
системы, выполнение которых обеспечивает существование
регулятора с матрицей
ограничения сводятся к
раическим линейным уравнениям относительно
Если ограничения на вектор
(2.29), выполняются, то система уравнений (2.23) совместима
и матрица-строка
быть найдена из соотношения (2.28,а):
p
. Так как матрица α неособая, эти
()nr−
,
характеризующая регулятор, может
TT
pEIL ad
=−
линейно независимым алгеб-
a
i
,a
выражаемые уравнением
11
−−
()( )
BB
(2.31)
.
или
, (2.31)
где матрицы
TT Т
pCILad
=−
T
и
C
u
содержат только строки, соответству-
u
11
−−
() ()( )
uu
ющие измеряемым переменным вектора состояния.
Кроме условий совместимости (2.29), другие ограничения
на коэффициенты характеристического полинома H(s) замкнутой системы обуславливаются тем, что при синтезе его
корням придаются заранее выбранные значения. Рассмотрим
более подробно эти ограничения. Характеристический полином запишем в виде
(.)
Hs s as as a
nn
=+ +…+
1
−
n
21
В случае, если желаемый корень системы − действительный,
s =λ
, то необходимо потребовать
i
2
aa a+λ+λ++λ=
12 3
ii i
... 0
n
,
что можно также записать в виде
72
a
1
a
2
nn
λλ λ =−λ
1
21
ii i i
−
a
3
a
n
. (2.32)
Ограничения, вытекающие из назначения комплексных
сопряженных корней
δωsj=±
, выглядят следующим обра-
зом:
Hre a are
22φ 1 1 φ)φ
jnnjnnj
±−±−±
ar e ar e r e
++…+ +=
3
=+ +
12
n
(
0.
φφ
jj
±±
()
Приравнивая к нулям действительные и мнимые части,
находим
φ2
j
±
cos φ cos()
Re H re a a r a r
sin φ sin 2()
Im H r e a r a r
=+ + +…
12 3
1
nn
−
()φ
cos 1 cos φ 0.
ar n r n
+−+=
n
φ2
j
±
=+ +…
23
1
nn
−
()φ
sin 1 sin φ 0.
ar n r n
+−+=
n
φ
2φ
r =δ+ω,
22
ϕ=
arctg
ω
, ϕ ∈ [0,π].
δ
Эти два ограничения можно записать в виде
a
1
1cosφ cos(2φ) cos(1)φ
rr rn
0sinφ sin(2φ) sin(1)φ
rr rn
21
21
n
−
cos ( φ)
rn
=
n
−
sin ( φ)
rn
n
−
n
−
−
−
,
a
2
a
3
a
n
=
(2.33)
где r − модуль комплексных сопряженных корней, а ϕ − угол.
73
Нетрудно увидеть, что помещение р корней замкнутой си-
p
p
γ
β
ϕ
ϕγ
()
n<
стемы в предписанные положения
ограничений на коэффициенты
.ia
Эти ограничения можно
дает p линейных
выразить уравнением
=
θ
a
где θ − постоянная
сомножителей в левых частях уравнений вида (2.32) и (2.33);
− постоянная матрица-столбец размерности
ω
()
матрица, образованная из первых
n×
, (2.34)
ω
(1),p ×
обра-
зованная из правых частей этих уравнений.
Задача придания нескольким корням замкнутой системы
заранее выбранных значений сводится к нахождению вектора
*
,a
=
a
удовлетворяющего как условию совместимости (2.29), так и
условию помещения корней в заданные положения (2.34).
Оба эти условия можно объединить в уравнении
,aϕ=
(2.35)
γ=
ω
.
где
ϕ=
α
θ
и
Точное решение уравнения (2.35) возможно лишь для
квадратной матрицы
, т.е. при условии p = r, когда число r
выходных сигналов объекта, используемых в цепях обратной
связи, равно числу p корней, для которых заранее выбраны
желаемые значения.
При этом
a−=
*1
и согласно уравнению (2.31) искомая матрица обратной связи
TT T
pCILad
=−
11*
−−
() ()( )
uu
74
. (2.36)
Алгоритм решения задачи
1. Проверка управляемости системы.
Строится матрица управляемости
Если rang
SbAbAb
упр
( | | .... | )
=
упр
,Sn=
то система управляема, где n – порядок
1
n
−
.
системы.
Определение коэффициентов передаточной функции
2.
объекта по состоянию, используя приведенный ниже алго-
.d
ритм. Формирование матрицы L и вектора
Обращение и транспонирование полученной матрицы
3.
1
–
L: → (L
4.
)T.
Определение ограничения на вектор коэффициентов
характеристического полинома, накладываемого условием
совместимости (2.29).
Определение ограничения на вектор коэффициентов
5.
характеристического полинома, накладываемого условием
*
помещения корней в положения, заданные спектром Λ
по
формуле (2.34).
Решение системы уравнений, полученной из совмеще-
6.
ния двух видов ограничений по формуле (2.35).
Приведение матриц С
7.
Т
и I к необходимому виду (вычеркивание строк, относящихся к неизмеряемой переменной
вектора состояния системы).
Расчет матрицы обратной связи по формуле (2.36).
8.
75
Расчет коэффициентов передаточной
f
f
f
f
функции объекта по состоянию
Передаточная функция системы по состоянию:
() 1
Ws sI A b gs
() ()
Us Fs
12
−−
nn
gs g s g s g
=
++++
12 1
nn
++++
sfs fsf
1
−
11
Xs
==− = =
() ( ) ()
1
−
...
...
−
nn
−
nn
.
Вспомогательная
матрица В
B0 = I
Коэффициенты
знаменателя
tr A=−
1
Коэффициенты
числителя
gb=
1
B1 = B0A + f1I
B2 = B1A + f2I
1
()
21
32
tr B A=−
2
1
tr B A=−
3
()
gBb=
gBb=
21
32
… … …
1
()
tr B A
n. B
Примечание. tr (…) − след матрицы (след матрицы равен сумме ее диаго-
нальных элементов).
n−1
= B
n−2
A + f
n−1
I
=−
nn
n
1
−
gBb
=
1nn
−
g
Матрицу из коэффициентов
коэффициентов f обозначим
обозначим L, а вектор из
d
.
76
Формирование матрицы L и вектора
f
fdf
x
d
(1) (1) (1)
gg g
nn
==
Lgg gg
[]
nn
121
−
gg g
(2) (2) (2)
nn
gn g n gn
() () ()
nn
11
−
11
−
11
−
Пример расчета
Пусть задана система:
:
n
n
1
−
=
;
1
.
01 0 0
10 1 0 .
=− +
00 10 10
Необходимо сместить два ее корня в положения
xu
−
1j−±
В качестве передаваемых в цепи обратной связи сигналов
возьмем х
и х2. Следовательно, матрица С будет иметь вид
1
100
yx
=
010
.
Решение
1. Проверка управляемости системы.
Составляем матрицу управляемости
Если
rang 3S =
упр
(или
det 0S ≠
упр
Sb|Ab|Ab=
упр
), то условие управляемо-
()
сти выполняется:
77
.
2
.
00 10
det det 0 10 100 1000 0
S
упр
=−=−≠
10 100 1000
−
система управляема.
Воспользуемся рассмотренным алгоритмом для опреде-
2.
ления коэффициентов передаточной функции объекта по состоянию:
Вспомогательная
матрица
IВ =
0
10 1 0
B =−
1
000
B =−
2
В
110 1
0101
1000
001
Следовательно, L и
d
=
Коэффициенты
знаменателя
10
=f
1
1101
−
1
ftr
=− − − =
2
1
ftr
=− − =
3
3
d
выглядят следующим образом:
10
;
1
10
10 1 0 1
2
000
10 0 0
−
010010
0010
10 0 0
L0100
=
10 0 10
Коэффи-
циенты
числителя
0
g =
1
g =
2
g =
3
−
.
10
10
10
10
0
0
0
0
78
3. Находим матрицу (L–1)T:
β
1
1
–
(L
)T =
10
101
−
.
010
100
4. Так как
.adα=α
Требуемое по условию (2.29) ограничение можно
найти из вектора ,d
,d
= α
уравнение совместимости имеет вид
взяв коэффициент F(s), соответствую-
щий неизмеряемой переменной вектора состояния. Так как
неизмеряемой является третья переменная, получаем ограничение:
= d3 = 10.
a
3
5. В условии (2.33)
r =δ+ω=2 и
22
ϕ=
arctg
ω
= arctg
δ
1
−
π
=−
.
14
Поскольку угол ϕ должен находиться в пределах [0, π], то,
прибавляя период π, получим
ϕ=
. Следовательно, огра-
34π
ничение имеет вид
a
110
−
01 2
−
1
a
2
a
3
−
=
−
2
.
2
В случае действительных желаемых корней для расчета
ограничений на коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы Н(s) вместо формулы (2.33) следует
пользоваться формулой (2.32).
6. Объединенная система условий представлена системой
уравнений:
110 2
−−
01 2 2
00 1 10
a
1
a
−=−
2
a
3
79
.
Решая эту систему, получим вектор коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы
16
*
a
.
18
=
10
Подставляем эти коэффициенты в полином H(s):
3
H(s) = s
+ 10s2 + 18s + 16.
7. Приводим матрицы С и I к виду, необходимому для
расчета управления. Ставим в соответствие транспонирован-
T
ной матрице
С единичную матрицу:
10
T
С
=
01
00
;
I
=
100
010
001
.
Оставив в этих матрицах только те строки, которые соответствуют измеряемым переменным, получим
10
T
С
=
u
01
;
I
=
u
100
010
.
8. Искомая матрица обратной связи рассчитывается согласно уравнению (2.36):
10 1 16 10
10 0,61
T
=−=
р
01 1,7
100
010
01 0 18 1
10
00 1 10 10
−
80
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]