Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
x
x
() ( ) ()
tAKCxKytBu=− + +
с требуемым спектром собственных значений
∗∗ ∗
( ,..., ).
Λ=λ λ
1
n
Это наблюдающее устройство должно характеризоваться
тем, что матрица преобразования Т, связывающая вектор состояния наблюдающего устройства с вектором состояния
наблюдаемого объекта, единичная. Тогда
() () () ()zt Txt Ixt xt===
,
т.е. наблюдающее устройство идентифицирует (определяет)
вектор состояния объекта. Требование
Т I=
может быть выполнено выбором параметров наблюдающего устройства, т.е.
его матриц F и H.
Уравнение и структурная схема
Подставляя
откуда следует, что наблюдающее устройство S
Т I=
в уравнение (4.9), находим
имеет в дан-
1
ном случае тот же порядок, что и наблюдаемый объект S
Легко увидеть, что свойства
наблюдающего устройства (мат-
,FAH=−
2
рица F) зависят от выбора матрицы H.
Матрица H определяется как порядком измеряемого вектора выходных сигналов объекта, так и структурой входа
наблюдающего устройства. Если объект с r-мерным выходом
y
описываетcя уравнениями
() ();
tAxt
=
() (),
yt Сxt
=
(4.13)
.
а наблюдающее устройство − уравнением
() () ()zt Fzt Kyt=+
131
, (4.14)
x
то
ности (r
При синтезе наблюдающего устройства размер-
.HKC=
n) матрица С фиксирована, а (n × r)-матрица K про-
×
извольна. Следовательно, наблюдающее устройство идентификации S
однозначно определяется выбором матрицы K и
2
описывается уравнением
() ( ) () () .
tAKCxtKytBu=− + +
(4.15)
Структурная схема этого наблюдающего устройства идентификации показана на рисунке 4.2.
Рисунок 4.2 − Структурная схема
наблюдающего устройства идентификации
При скалярном выходном сигнале объекта у уравнение
(4.15) переходит в уравнение (4.4).
Собственные колебания наблюдающего устройства S
висят от собственных значений матрицы
.AKC−
Следова-
за-
2
тельно, матрицу K необходимо выбрать так, чтобы придать
корням системы (4.15) заранее предписанные значения (в любом случае вещественные части корней должны быть отрицательные).
132
Можно доказать, что при действительных матрицах С и А
A
x
x
x
x
x
x
собственные значения матрицы
выбором K могут
KC−
быть сделаны равными собственным значениям любой наперед заданной (n
n)-матрицы тогда и только тогда, когда сво-
×
бодная система
() ();
yt Сxt
() ()
tAxt
=
=
полностью наблюдаема.
Разделение собственных значений
Пусть корни замкнутой системы, образованной объектом,
наблюдающим устройством идентификации (оно используется в качестве измерителя переменных состояния объекта) и
регулятором, разбиваются на две независимые группы. Одна
группа – это корни замкнутой системы «объект + регулятор»,
синтезированной в предположении непосредственного измерения всех переменных состояния объекта; другая группа −
корни наблюдающего устройства, представляющего собой
независимую динамическую систему. В данном случае уравнения всей системы:
=+
xAxbu а
=
y Сx б
=− + +
xAKCxKybu в
( ) ; ( )
=−
upx г
; ( )
; ( )
, ( )
(4.16)
где (4.16,а) и (4.16,б) − уравнения объекта с одним входом и
одним выходом, (4.16,в) и (4.16,г) − соответственно уравнения наблюдающего устройства идентификации и регулятора.
,
Вводя вместо переменных
,
xx=−
уравнения (4.16) легко преобразовать к виду
133
переменные
,
,
где
x
s
p
x
=− +
x A bp x bpx а
=−
xAKCx б
( ) ; ( )
( ) . ( )
(4.17)
Уравнение (4.17,б) получается вычитанием (4.16,а) из
(4.16,в) и заменой у на
подстановкой
заменой
upx=−
xx=+
. Система уравнений (4.17) имеет треуголь-
. Уравнение (4.17,а) получается
Сx
в уравнение (4.16,а) и последующей
ную матрицу.
−−
Abp bp
0
AKC
.
−
Отсюда следует, что характеристический полином этой системы
()sI A KC−+
det
()
IAbp−+
det
представляет собой произведение характеристического полинома упомянутой замкнутой системы «объект + регулятор» и
характеристического полинома наблюдающего устройства.
Таким образом, регулятор
можно синтезировать, пред-
полагая идеально точное непосредственное измерение переменных состояния объекта, а параметры наблюдающего
устройства выбирать, руководствуясь только желаемыми динамическими свойствами этого устройства. Обычно матрица
K выбирается такой, чтобы корни наблюдающего устройства
были несколько более отрицательными, чем корни замкнутой
системы, состоящей из объекта S
и регулятора, формирую-
2
щего по выходному сигналу наблюдающего устройства закон
Алгоритм решения задачи
Рассмотрим объект
Ax bu
=+
y Сx
=
134
;
.
Желательные корни для наблюдающего устройства
A
** *
( ,..., )
Λ=λ λ
1
.
n
Поскольку выход объекта у − скалярная величина, матрица
K, характеризующая вход наблюдающего устройства иденти-
1
2
n
.
1), т.е.
×
фикации, должна быть размерности (n
K
K
=
K
...
K
1. Проверка условия наблюдаемости системы.
Если
TTT TnT
rang | | ... | ( )
CAC A C n
1
−
=
, то система
наблюдаема.
Вычисление матрицы наблюдающего устройства
2.
()
3.
.
KC−
Вычисление характеристического полинома наблюда-
ющего устройства
().sI A KC−+
det
Определение желаемого полинома этого устройства
4.
Ф( ) ( λ )( λ )...( λ ).
ss s s=− − −
Нахождение элементов матрицы
5.
** *
12
n
: , , ...,
KK K K
12
n
путем приравнивания коэффициентов полинома
det( )sI A KC−+
** *
(λ)(λ)...(λ)
ss s−− −
12
Наблюдающее устройство идентификации описывает-
6.
коэффициентам полинома
при соответствующих степенях s.
n
ся уравнением
135
() .zAKCzKybu=− + +
Пример расчета
x
Рассмотрим объект
где
Ax bu
=+
=
y Сx
21 0 0
−
0 1 1 ; 0 ; 1 0 0 .
AbС
=− = =
00 3 1
−
;
,
[]
Желательные корни для наблюдающего устройства
Λ* = [−4 −4 −4].
Поскольку выход объекта у − скалярная величина, матрица
K, характеризующая вход наблюдающего устройства иденти-
фикации, должна быть типа (3×1), т.е.
K
1
KK
=
1.
Проверка условия наблюдаемости системы.
.
2
K
3
Составляем матрицу наблюдаемости:
124
−
SCACAC
набл
Поскольку det
TTT T T
==−
||() 013.
TTT T T
||() 0
CAC AC
2
00 1
2
≠
rang 3S =
набл
система наблюдаема.
Вычисление матрицы наблюдающего устройства
2.
210
K
−−
−=− −
() 11.
AKC K
1
2
3
03
K
−−
136
3. Вычисление характеристического полинома наблюдаю-
щего устройства
210
sK
++ −
det ( ) 1 1
sI A KC K s
−+ = + − =
32
(6 ) (11 4 ) (6 3 3 ).
sKs KKsKKK
=++ + + + ++ + +
112123
1
2
Ks
3
03
+
4. Определение желаемого полинома этого устройства
Ф( ) ( 4)( 4)( 4) 12 48 64.ssss s s s=+++=+ ++
32
5. Нахождение элементов матрицы
: , , KK K K
приравнивания коэффициентов полинома
Ф( )s
коэффициентам полинома
при соответствующих степе-
123
det( )sI A KC−+
путем
нях s. В результате получаем систему
+++=
KKK
63 3 64;
11 4 48; 6, 13, 1
612,
123
KK K K K .
++= == =
12 1 2 3
K
+=
1
6. Наблюдающее устройство идентификации описывается
уравнением
−
810 6 0
zzyu
=− − + +
13 1 1 13 0 .
−−
10 3 1 1
Варианты заданий
649 0
−
1. 9 3 5 ; 0 ;
Ab
=− − =
51 3
−
1
=
100;
С
[]
*
−− −
=8 10 4.
Λ
[]
137
−
81 8 0
Ab
2.
2 5 4 ; 0 ;
=− =
0106 1
−−
639 0
Ab
3. 3 1 5 ; 0 ;
=− − − =
984
−
−−
−
39 4 0
Ab
4. 2 1 2 ;
=−=
08 5 1
−−
957 0
Ab
5. 7 10 3 ; 0 ;
=− − =
61 2 1
−−
−
10 8 2 0
Ab
6. 6 4 8 ; 0 ;
=− =
198 1
−
−
0 ;
С
*
Λ8
С
=
*
Λ= 9 518.
С
=
*
Λ=
[]
С
*
Λ= 2 3 6.
С
*
Λ= 2 10 6.
=
010;
[]
=− −−
[]
100;
[]
−−
[]
010;
[]
−
10 10 3 .
=
−−
[]
=
[]
−−
[]
2 7 .
−
−
010;
[]
010;
−
−
−
05 10 0
Ab
7. 5 2 7 ;
==
35 6 1
26 2 0
Ab
8. 8 4 5 ; 0 ;
=− =
780 1
−−
77 4 0
Ab
9. 10 4 3 ; 0 ;
=− =
580 1
139 0
Ab
10. 3 4 6 ;Λ 0 ;
=− =
114 1
−
−−
−
−
−
0 ;
138
С
=
010;
[]
*
Λ= 7
−−−
[]
С
=
010;
[]
*
Λ= 10 2 5.
−−
[]
С
=
100;
С
*
[]
*
Λ= 3
−−−
[]
=
100;
[]
=1 9 2.
−
−−
[]
5 4
6 3 .
.
−
−
139 0
Ab
11. 3 4 6 ; 0 ;
12. 5 8 1 ; 0
=− =
114 1
−
61 0 0
Ab
=− =
0
03 1
−
С
*
Λ= 8 4 2.
;
=
100;
[]
−
−−
[]
С
=
100;
[]
*
5 5 7
−−
Λ=
[]
.
−
42 4 0
Ab
13. 1 3 5 ; 0 ;
14. 0 1 2 ; 0 ;
15. 6 8 7 ; Λ 0 ; 10
16. 8 4 5 ; 0 ;
17. 10 6 3 ; 0 ;
18. 3 1 0 ; 0 ;
=−− =
98 7
−−−
717 0
Ab
=−− =
647
718 0
Ab
=−=
−−
369 1
−
753 0
Ab
=− =
684
−−
140 0
Ab
=− − =
482 1
09 1 0
Ab
=− − =
265 1
−
−
−
−−
−
−
−
1
С
Λ= 1 2 2.
Λ9 9 110 .
Λ9 7 15.
Λ3
Λ2 9 10.
=
010;
[]
*
−−
[]
С
=
010;
[]
*
=− −
[]
=
010;
С
[]
*
−−
=.
[]
С
=
010;
[]
*
=− −
[]
С
=
001;
[]
*
=− −
[]
С
=
100;
[]
*
=− −
−
[]
−
−
4 10
−
7 3 .
−
−−
63 8 0
Ab
19. 1 6 1 ; 0 ;
=−− =
989
−
139
1
С
=
100;
[]
*
Λ2 3
=− −
[]
−
10 .
674 0
Ab
20.
9 0 1 ; 0 ;
=−=
10 3 1 1
−−
125 0
Ab
21. 9 1 0 ; 0 ;
22. 9 8 6 ; 0 ;
=− =
18 2 1
−−
−−
11 2 0
Ab
=− − =
529 1
−
−
−
−−
Λ5
Λ3
Λ7 5 6.
С
=
100;
[]
*
=
[]
С
=
*
=−
[]
С
=
*
=− −
[]
5 9 .
−−
001;
[]
5 5 .
−−
010;
[]
−
−
15 8 0
Ab
23. 2 2 5 ; 0 ;
24. 9 10 7 ;
25. 5 3 4 ; 0 ;
26. 6 5 10 ; 0 ;
27. 7 5 7 ; 0 ;
28. 1 8 3 ; 0 ;
=−=
65 9 1
−
360 0
Ab
=− − − =
528 1
−−
9510 0
Ab
=−− =
483 1
−−
−−
180 0
Ab
=−− =
11 8 1
−− −
86 5 0
Ab
==
332 1
29 6 0
Ab
=−=
70 7 1
−
−
−−
−
−−
−
С
*
Λ9 7 5.
=− −
0 ;
Λ458.
С
*
Λ8 7 4.
*
Λ9 8 10.
С
=
*
Λ1
=−
С
=
*
Λ1 4 7.
=− −−
[]
=
010;
[]
[]
С
=
100;
[]
*
=− − −
[]
=
100;
[]
=− −
[]
С
=
001;
[]
=− −−
[]
010;
[]
3 1 .
−−
[]
100;
[]
−
−
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]