Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
141 1 4
−− − −
3. 0 3 2 , 4 , Λ 6 .
4. 0 2 2 , 2 , Λ 5 .
5. 1 1 1 , 1 , Λ 2 .
6. 2 4 2 , 4 , Λ 4 .
7. 2 2 0 , 3 , Λ 6 .
8. 1 4 3 , 0 , Λ 3 .
Ab
=−− =− =−
121 1 2
−−
221 2 5
−−− − −
Ab
==−=−
122 1 4
−−−
21 2 2 5
−− − −
Ab
=−==−
122 2 5
−− − −
241 2 2
−− − −
Ab
=−−=− =−
211 1 2
−− −
032 0 3
−−
Ab
=− =− =−
112 2 2
20 4 2 5
−− − −
Ab
=− − − = =−
420 4 6
−− −
∗
∗
∗
∗
∗
−
∗
11 2 1 3
9. 2 2 1 , 1 , Λ 3 .
10. 2 3 4 , 1 , Λ 3 .
Ab
=−− = =−
132 2 4
−− − −
21 1 2 4
−− − −
Ab
=− − − = =−
01 2 1 4
−−
∗
∗
−− −
31
220 2 2
−−
11. 0 1 1 , 2 , Λ 3 .
12. 4 1 3 , 1 , Λ 3 .
13. 0 2 2 , 1 , Λ 2 .
14. 2 1 1 , 1 , Λ 4 .
15. 4 2 0 , 3 , Λ 4 .
16. 2 2 1 , 3 , Λ 3 .
Ab
=−−=− =−
414 0 3
−−− −
110 1 2
−−
Ab
=− − =− =−
221 0 3
21 4 2 3
−− − −
Ab
=−−= =−
32 3 4 4
−− − −
010 0 3
−−
Ab
=− − =− =−
222 0 3
−−
231 2 3
−− − −
Ab
=− − =− =−
22 1 1 2
232 2 2
−− − −
Ab
=− − =− =−
110 2 1
−−
∗
∗
−
∗
∗
∗
∗
−
144 2 2
−−− − −
17. 2 4 4 , 2 , Λ 1 .
18. 2 1 4 , 0 , Λ 2 .
Ab
=−−= =−
20 1 1 2
−−−
102 1 1
Ab
=− − = =−
423 2 1
−−− −
32
∗
∗
−
42 1 4 5
−−−
19. 1 4 3 , 2 , Λ 1 .
Ab
=− − − = =−
131 1 1
−−− −
∗
21 4 2 1
20. 3 4 4 , 1 , Λ 2 .
21. 0 3 2 , 1 , Λ 1 .
22. 10 2 0 , 10 , Λ 5 .
23. 1 0 1 , 1 , Λ 3 .
24. 1 1 2 , 3 , Λ 4 .
25. 2 2 0 , 3 , Λ 5 .
Ab
=− − − = =−
332 4 5
−−− − −
01 1 0 2
Ab
=−− = =−
212 1 3
−− − −
8810 2 5
Ab
=− = =−
842 3 5
−−− −
211 2 4
−−− − −
Ab
=−=−=−
013 1 3
130 1 2
Ab
=− − =− =−
121 0 3
−− −
132 1 2
Ab
=− =− =−
42 2 2 1
−− −
−−
−−
−−
∗
∗
∗
∗
−− − −
−−
−−
∗
∗
235 4 5
−−−
26. 1 2 5 , 1 , Λ 3 .
Ab
==−=−
023 2 3
∗
−−
33
105 1 3
27. 1 4 1 , 2 , Λ 4 .
28. 1 1 1 , 2 , Λ 1 .
Ab
==−=−
225 2 1
−− −
35 1 4 5
−− − −
Ab
===−
03 1 2 4
−− −
−−
∗
∗
43 1 1 1
29. 3 4 3 , 0 , Λ 2 .
30. 3 4 3 , 3 , Λ 4 .
Ab
=− − = =−
522 3 4
214 4 5
−− − −
Ab
=− =− =−
135 1 1
−−
∗
−− − −
∗
−
34
1.2.2 Случай векторного входа
x
Pqp
x
На некоторые объекты подача внешних воздействий возможна в нескольких различных точках. Такие объекты называются многомерными или объектами с несколькими входа-
ми.
Описание метода
Будем предполагать, что объект полностью управляем, а
все составляющие его вектора состояния доступны прямому
измерению. Задача состоит в нахождении такой матрицы ре-
mn×
гулятора Р размерности
ма
()
ABPx=−
получает наперед заданное расположение
, при которой замкнутая систе-
корней характеристического полинома H(s).
Характеристический полином замкнутой системы имеет
вид
() 0,
H s = s + a s +...+ a s a
nn
1
−
11
+= (1.28)
nn
−
где
a
1
a
2−
a
3123124 2
......................................................
a
n
**
( λ λ
= − + ..... +
1
** ** * *
λ λ λ λ λ λ
= + + ... +
12 13 1
** * ** * * * *
(λ λ λ λ λ λ λ λ λ );
=− + + +
n
(1)
= − λ λ .......λ
*
12
);
n
n
...
**
n
.
;
n
nn
−
n
−
1
Задачу синтеза регулятора с несколькими входами (многомерного регулятора) можно свести к задаче синтеза одномерного (т.е. с одним входом) регулятора. Положим
– матрица-столбец
q
1 n×
сти
.
1m×
, а
– матрица-строка размерно-
p
, где
=
Тогда уравнение замкнутой системы будет иметь вид
ABqpx=−
35
(1.29)
(),
или
Pqp
Pqp
qBb
где
=
– матрица-столбец размерности
xpbAx
)( −=
, (1.30)
1n×
.
Уравнение (1.30) совпадает с уравнением замкнутой системы в скалярном случае. Корни замкнутой системы, образованной многомерным объектом с матрицами A, B и многомерным регулятором с матрицей P, совпадают с корнями замкнутой системы, которая образуется одномерным объектом,
имеющем ту же матрицу A и матрицу
регулятором с матрицей
, входящей в соотношение
p
bBq=
, и одномерным
.
=
Алгоритм решения задачи
1. Выбор матрицы
размерности
q
Этот выбор произволен. Матрица
1m×
.
является матрицей ве-
q
совых коэффициентов вектора управления.
qBb
2.
Расчeт вектора
3.
Проверка управляемости системы.
Строится матрица управляемости
Если rang S
Вычисление передаточной функции объекта
4.
5.
Определение коэффициентов характеристического по-
= n, то система управляема.
упр
=
.
SbAbAb
упр
() ( ) .Ws sI A b
=−
−
( ... )
=
1
1
n
−
.
линома замкнутой системы по заданному спектру с помощью формулы (1.28).
Определение элементов матрицы регулятора
6.
ном случае
– вектор-строка) по формуле
p
(в дан-
p
(s) = H(s) – F(s).
gp
7.
Определение матрицы многомерного регулятора по
формуле
.
=
36
Пример расчета
x
Рассмотрим следующую систему управления:
Ax Bu=+
,
−
01
−−
21
.
11
где А =
−
−
011
110
−
002
, В =
Требуется определить матрицу многомерного регулятора
P, при которой замкнутая система имеет заданный спектр
∗
Λ
= (−1 −1 −2).
Решение
1
1. Задаем матрицу
q
.
=
2
2. Рассчитываем вектор:
1
bBq
==−
−
5
.
3
3. Проверяем управляемость системы.
Для этого строим матрицу управляемости и рассчитываем
ее ранг:
14 4
−− −
SbAbAb
( ... )
=
упр
n
−
1
=
5810
−−−
32 8
упр
) = 3.
Матрица
rang (S
S
имеет ранг, равный порядку объекта, следова-
упр
тельно, система полностью управляема.
37
4. Вычислим передаточную функцию объекта W(s):
p
pg
00 11 0 1
− −
s
1
−
() ( – ) 0 0 0 1 1 5
== −−−=
Ws sI A b s
=−−−=
ss
00 20 0 3
1()
3
−−
−− −
2
325
−
s
2
ss
43
2
ss
585 .
2
ss
++
gs
Fs
()
1
−
5. Определяем коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы по заданному спектру.
Характеристический полином замкнутой системы имеет
вид
() , Hs s as as a=+ + +
32
123
где коэффициенты определяются по следующим формулам:
a
= – (–1 –1 –2) = 4;
1
a
= (–1)(–1) + (–1)(–2) + (–1)(–2) = 5;
2
a
= – (–1)(–1)(–2) = 2.
3
6. Определяем элементы матрицы регулятора
Подставляя выражения
(s), F(s), H(s) в уравнение
g
() () ()
sHsFs=−
.
и, перемножив в левой части этого уравнения матрицы
находим:
(),gs
(43)(585)(325)
ps s p s s ps s
−− −+ − − −+ + + =
12 3
222
32 3
452( 2).
sss ss
=+ ++− −−
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s
левой и правой частей, приходим к системе уравнений
38
и
p
2
:
s
sppp
s
––5 3 4;
ppp
123
1
: – 4– 8 2 6;
0
– 3 – 5 5 4,
:
+=
12 3
ppp
123
+=
+=
из которой легко найти элементы p
p
= 0,0769, p
1
= − 0,7692, p
2
, p2, p3:
1
= 0,0769.
3
7. Находим матрицу многомерного регулятора:
==
Pqp
0,0769 0, 7692 0,0769
0,1538 1,5385 0,1538
−
−
.
Ответ
= 0,0769 x
u
1
= 0,1538 x1 – 1,5385 x3 + 0,1538 x3.
u
2
– 0,7692 x2 + 0,0769 x3;
1
Варианты заданий
413 34 1
−−
1. 5 2 1 , 2 1 , 4 , .
2. 1 1 3 , 1 0 , 3 , .
−−−
123 2 2 2
525 4 2 1
AB q
=− − = Λ=− =
22 3 4 4 1
−−−
−−
AB q
=−=−Λ=−=
∗
∗
1
2
2
1
15 5 01 3
3. 2 5 2 , 4 4 , 1 , .
AB q
=−= Λ=−=
432 43 1
−−−
39
−
3
∗
1
51 3 42 1
4. 3 3 3 , 0 2 , 3 , .
AB q
=−= Λ=−=
412 24 2
−− − −
−
3
∗
1
31 3 2 2 2
5. 3 0 1 , 0 1 , 3 , .
6. 0 1 3 , 2 2 , 4 , .
7. 3 5 1 , 3 4 , 5 , .
8. 1 2 4 , 3 1 , 5 , .
9. 2 2 2 , 3 2 , 1 , .
10. 0 1 4 , 1 2 , 4 , .
AB q
=−=−Λ=−=
212 42 5
315 2 1 2
AB q
= − =− − Λ=− =
354 4 2 1
220 34 5
−− −− −
AB q
=− − =− Λ=− =
411 12 4
222 30 5
−− − −
AB q
==−Λ=−=
124 13 2
−−
453 44 1
AB q
=− =− Λ=− =
420 23 2
40 3 3 1 1
AB q
=− =−−Λ=− =
121 43 5
−−
∗
−−−−
−−−
∗
−
∗
−− −− −
∗
−−
∗
−−
−−−
∗
−− − −
2
1
4
5
5
1
1
4
2
1
3
1
222 11 3
11. 2 1 5 , 1 0 , 2 , .
12. 4 3 0 , 4 2 , 1 , .
AB q
==Λ=−=
431 14 2
−−
05 2 1 3 3
AB q
==Λ=−=
53 1 1 1 2
−−−
−−
40
−
6
∗
∗
3
5
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]