Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
Определитель S
упр
= −1
ранг равен 3, следовательно,
0,≠
система управляема.
2. Построим характеристический полином разомкнутой
системы:
λ3 3 2
−
32
= −5.
2
λ5λ 7λ30−+−=
,
det
(λI−A) = det
следовательно,
3λ4 3
−+
34λ2
c
= −3,
0
−−=
c
= 7,
1
c
3. По формулам (1.11) определим коэффициенты характе-
ристического полинома замкнутой системы:
∗
c
= 18,
0
4. Строим вектор
T
Gggg=
g
c
–
=
0
1
g
c
=
–
1
2
g
c
=
2
3
5. Построим столбцы матрицы
∗
c
= 21,
1
( )
123
∗
c
= −3 −18 = −21;
0
∗
c
1
∗
c
–
= −5 – 8 = −13.
2
по формулам:
= 7 – 21 = −14;
D = (d
∗
c
= 8.
2
, d2, d3) по рекур-
1
рентным формулам (1.5):
d
3
= B =
1
−11
; d
= AB +
2
c
2
B =
−
1
1
;
0
1
2
=+ +=
dABcABcB
121
Таким образом, матрица
D будет иметь вид
0
.
0
111
−
=−
01 1
D
00 1
11
.
6. Находим матрицу D–1, обратную к D:
D
1
−
=
110
011
001
.
7. Следовательно, управление, решающее поставленную
задачу, будет иметь вид
011
x
1
110
x
= −21х
2
100
x
3
− 35х2 − 27х3,
1
u
= [−21 −14 −13]
P = [−21 −35 −27].
Варианты заданий
131 1 5
−− −
1.
AB
3 2 1 , 1 , Λ 1 .
=− − =− =−
354 1 2
∗
−
12 1 1 2
2.
3.
4.
5.
AB
AB
AB
AB
3 0 2 , 1 , Λ 1 .
=− − =− =−
230 1 3
13 1 2 1
5 5 2 , 0 , Λ 2 .
=−==−
230 1 3
132 2 1
7 3 1 , 2 , Λ 2 .
===−
232 1 3
−−− −
135 2 2
2 4 1 , 1 , Λ 1 .
=− − =− =−
021 4 4
−− −
∗
−
−− −
∗
−−
−−−
∗
−−
∗
−−
12
145 2 8
−−−
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2 3 1 , 1 , Λ 0 .
AB
=−=−=
422 3 2
−−− −
445 2 1
−−
5 1 0 , 10 , Λ 1 .
AB
=− = =−
421 3 5
−−− −
465 8 1
−− −
3 0 4 , 1 , Λ 3 .
AB
=−=−=−
12 7 3 5
−− − −
253 4 1
−− − −
4 6 6 , 2 , Λ 3 .
AB
= − =− =−
23 1 3 1
143 4 1
A 4 6 6 , 2 , Λ 1 .
==−=−
23 1 1 1
−− − −
AB
=− − =− =−
13 3 2 3 1
−−
−− −
B
−−
27 3 1 1
3 4 6 , 2 , Λ 7 .
−−
∗
∗
∗
∗
∗
∗
541 0 1
−− −
1 4 2 , 2 , Λ 2 .
AB
12.
13.
14.
=−−=− =−
93 2 6 6
−−−
28 3 4 1
3 6 6 , 5 , Λ 2 .
AB
=−=−=−
23 1 1 2
27 3 4 1
3 4 6 , 5 , Λ 2 .
AB
=−= =−
23 2 1 2
−− −
−−
−−
13
∗
∗
−
∗
324 2 2
11 2 0 , 8 , Λ 0 .
AB
15.
16.
17.
=− =− =
831 4 5
−−− − −
516 3 3 2
−−−
0 6 0 , 11 , Λ 0 .
AB
=− = =
40 1 4 1
4120 0 5
−−
1 3 5 , 9 , Λ 3 .
AB
=− = =−
621 4 1
−−−
−−
−
∗
∗
∗
412 7 2 5
18.
19. 1 4 7 , 4 , Λ 1 .
20. 1 2 7 , 3 , Λ 1 .
21.
22.
23.
AB
AB
AB
AB
1 0 1 , 1 , Λ 1 .
1 5 3 , 8 , Λ 2 .
=− − = =−
93 1 14 1
−− −
16 4 4 6
=− = =−
146 8 5
−− −
723 1 4
−−− − −
AB
=− − − = =−
314 0 0 2
−−
112 1 1
3 0 1 , 2 , Λ 1 .
===−
220 0 4
312 0 2
−− −
2 2 1 , 2 , Λ 1 .
=− =− =−
031 3 1
421 1 1
−− −
AB
==−=−
234 0 5
−− −
∗
−− −
∗
∗
−−−
∗
−−
∗
−−
∗
−−
14
101 0 2
24.
25. 2 3 0 , 1 , Λ 2 .
2 1 2 , 4 , Λ 2 .
AB
=− − =− =−
031 1 1
−− −
113 1 1
−−
AB
=− = =−
441 2 1
−−−
−
∗
∗
12 2 2 1
26. 0 1 3 , 3 , Λ 2 .
27. 4 2 3 , 1 , Λ 5 .
28. 0 1 2 , 1 , Λ 1 .
29. 2 3 4 , 0 , Λ 1 .
30. 1 5 5 , 2 , Λ 4 .
AB
===−
411 1 4
015 5 2
AB
=−− = =−
11 0 0 1
23 4 1 2
AB
===−
32 4 4 3
−−
11 2 1 5
−− − −
AB
=−==−
010 4 1
70 1 1 2
AB
===−
20 2 1 2
−−
∗
−− − −
−−−
∗
−
−− −
∗
∗
−
−
∗
−− −
15
1.1.2 Случай векторного входа
s
r
r
r
r
x
Описание метода
Минимально допустимая размерность вектора управления,
при которой система вполне управляема, равна числу нетривиальных инвариантных полиномов
s матрицы А. В данной
задаче это возможно в том и только том случае, когда минимальный полином матрицы
является единственным нетривиальным полиномом, т.е.
и в жордановой форме матрицы
числу
Здесь
λ
соответствует единственный жорданов блок.
i
D
(λ) − наибольшие общие делители миноров матрицы
n
А соответствующего порядка, D
А
(λ)
D
(λ)
E
n
n
=
D
(1.13)
(λ)
1
−
n
s =1,
А каждому собственному
(λ) всегда равен 1.
0
Инвариантные полиномы имеют вид
r
m
l
m
(1.14)
где множители
1
l
(λ λ ) ... (λ λ ) ,
E −−
jm
l
(λ λ ) ,
k
−
k
1
1
не сводящиеся к постоянным вели-
чинам, являются элементарными делителями матрицы
s
(1).
l ≥
k
Все инвариантные полиномы матрицы
А, равные 1, − три-
виальны.
В этом случае существует вектор
размерности m, удо-
влетворяющий условию
rang (
B, AB, ...., A
1
n−
B) = rang
(B
, AB
, ...., A
n−
1
B
). (1.15)
A
Снижая размерность управления, положим в исходной си-
vru
стеме
=
и, обозначив B
v − скалярное управление.
где
br
=
, приведем ее к виду
Ax bv=+
16
,
(1.16)
Таким образом, возвращаемся к случаю скалярного управ-
r
ления
v. Для построения вектора
можно использовать
непосредственно соотношение (1.15).
Алгоритм решения задачи
1.
Проверка условия управляемости системы, т.е. построе-
ние матрицы управляемости:
Если rang
SBABABAB
упр
S
= n, то система управляема (n − размерность
упр
| | | ...| .
=
()
21
n
−
системы).
2.
Определение минимальной размерности управления, при
которой сохраняется свойство полной управляемости системы
.
Для этого необходимо найти число нетривиальных инвариантных полиномов матрицы
нимальный полином
ственным нетривиальным инвариантным полиномом, то существует вектор
Снижение размерности вектора управления с помощью
3.
E
(λ) матрицы А является ее един-
n
,r
при котором выполняется условие (1.15).
А по формуле (1.13). Если ми-
соотношения (1.16).
4.
Нахождение вектора коэффициентов характеристи-
*
n
n
−
−
(1.17)
ческого полинома разомкнутой системы
1
n
ψ(λ) = det (λE − A) =
5.
Определение вектора коэффициентов характеристи-
+c c c
ческого полинома замкнутой системы
−
λ++λ+λ .
110
nn
−
Cc c
( ,... ) :,
С = с c
01
...
∗∗
( ,..., ) :
=
01
∗
=ic
(−1)
17
n – i
,
σ
ni−
D
x
где
6.
Построение матрицы
n
σλ λ λ
1
σ λλ λλ λλ λ λ
2−
** *
= + ... +
= + + ... +
=
1
i
=
n
,1
=
ij
≠
ij
1,
i п
** ** ** * *
=
ij пп
12 13 1 ,
......................................................
n
σ λ λ λ λ
=.
ni п
****
=..
∏
=
i
1
1 2 .
D = d ... d
1
по рекуррентным
)(
n
формулам
d= ;
b
n
d = Ad + c
11
−−
iii
и обратной к ней матрицы
7.
Построение управления, синтезирующего систему с за-
данным спектром (λ
*
... λ
1
().vCCDx
=−
bi=n
,,, 2
1
−
.
*
), по формуле
n
1
∗−
(1.19)
…
(1.20)
8. Нахождение векторного управления в виде
(1.18)
r
1
uv
=
.
r
2
Пример расчета
Рассмотрим систему управления, описываемую следующими уравнениями:
2 4 2
x
=++−+
2 3
x
=−+
2
5 2.
=
3
xxuu
12 31 2
xxuxu
23112
x
u
+
32
18
2 ,
−
,
u
Требуется построить управление
u
1
=
в виде линейной
u
2
формы фазовых координат так, чтобы замкнутая этим управлением система имела заданный спектр
Λ∗=(−1 −1 −1).
Решение
1. Перейдем к векторно-матричному описанию исходной
системы:
uBxAx
+=
,
где
21 4 1 2
=− −
0 2 3 ; = 1 2 .
AB
00 5 0 2
−
Построим матрицу управляемости
12 110 050
−−
S
= (B AB A2B) =
упр
−−−
12210450
02010050
.
Так как минор третьего порядка, составленный из первого,
второго и третьего столбцов матрицы S
12 1
−−
det 1 2 2 2,
−=
020
rang (S
, не равен нулю, то
упр
) = 3.
упр
Следовательно, рассматриваемая система вполне управля-
ема управлением
u
u
1
=
.
u
2
2. Определим минимальную размерность управления, при
котором сохраняется свойство полной управляемости системы. Для этого найдем число нетривиальных инвариантных
полиномов матрицы A.
19
Построим матрицу
r
r
r
λ2 1 4
−− −
F(λ) = λI – A =
0λ23
−
00λ5
−
и определим наибольшие общие делители ее миноров соответствующего порядка:
D
D
(λ) = det F(λ) = (λ−2)2(λ−5);
3
(λ) = 1 (для всех определителей второго порядка
2
найден наибольший общий делитель);
D
(λ) = 1 (для всех элементов матрицы F(λ) найден
1
наибольший общий делитель);
D
(λ) = 1.
0
Вычислим инвариантные полиномы матрицы A:
(λ)
D
E
3
E
2
E
1
(λ) =
(λ) =
(λ) =
3
= (λ−2)2(λ−5);
(λ)
D
2
(λ)
D
2
= 1;
(λ)
D
1
(λ)
D
1
= 1.
(λ)
D
0
Таким образом, система имеет единственный нетривиальный инвариантный полином (
s = 1), и, следовательно, мини-
мальная размерность управления, при которой может быть
сохранено свойство полной управляемости системы, равна
единице, т.е. система допускает скалярное управление. В
этом случае существует вектор
r
, при котором выпол-
r
2
r
1
=
няется равенство
B AB A2B ) = rang (B
rang (
AB
A
2
B
).
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]