Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
−− − −−
10 6 7 8 3 6
−− −
7292 74
=; ; 8.
AB F
15.
16.
8952 28
−− −−
4793 77
−−− −
8463 7 5
−−− −
10626 104
=; ; 6.
AB F
9926 61
−−
4785 44
−−
==−
−
==−
0010
=
C
0100
T
p
600 5;
=− −
[]
1000
=
C
0010
T
0506;
p
=−
[]
;
;
51 72 85
−− −−
21046 82
=; ; 2.
AB F
17.
18.
19.
20.
8920 49
5623 510
−− − −
2965 25
795 10 71
−− − −−
=; ; 7.
AB F
13 6 6 53
−−− −
7408 85
44 3 5 96
−−−
6198 6 4
=; ; 8.
AB F
4107 10 3 9
−− −
8913 104
−−−− − −
961010 79
83 2 6 6 5
=; ; 5.
AB F
96106 108
49 8 7 8 7
−−
−−
==−
−
==−
−−
==−
−− − −
−
−− −
==−
−
−−
=
C
T
p
=
C
=
T
p
=−
[]
C
=
T
p
C
=
T
=−−
p
0100
1000
0092;
[]
0001
1000
;
;
07 50;
1000
0010
0107;
=
[]
1000
0100
00 1 5;
[]
;
;
151
−−− −
7427 44
−−− −
7214 106
=; ; 3.
AB F
21.
5735 7 4
−− −
69 1 4 3 9
−− −
==−
0010
=
C
0100
T
700 1;
p
=−
[]
;
02 66 81
777 8 87
=; ; 8.
AB F
22.
23.
24.
25.
−− −
1694 78
−−− −
20 87 5 7
1815 75
=; ; 1.
AB F
25 71 16
91021 01
55 17 0 2
41053 8 5
−− − −
=; ; 3.
AB F
88 12 106
−−− −−
7744 04
1475 73
−−
=; ; 4.
AB F
7364 39
−− −
−− −
−
8134 52
==−
−− −
−−−
−−
==−
−− −
−−
==−
−
−−− −
5969 46
==−
−
85 71 6 1
0001
=
C
1000
T
0420;
p
=−−
[]
0010
=
C
1000
T
0905;
p
=− −
[]
1000
C
=
0001
T
01020;
p
=−
[]
0010
=
C
0100
T
4001;
p
=
[]
;
;
;
;
64 2 7 45
−−− − −−
221010 75
=; ; 5.
AB F
26.
43 55 105
7104 9 9 3
−− −
−− −−
−−
==−
152
=
C
T
p
=−
0010
1000
040 4;
[]
;
−−
99 2 7 73
−− − −
786 10 04
=; ; 2.
AB F
27.
28.
9380 64
−−
6479 30
−
8225 26
−− −−
7571 91
=; ; 6.
AB F
310710 83
−−− −
719 2 22
−− − −
==−
==−
1000
=
C
0100
T
007 2;
p
=−
[]
0010
=
C
0100
T
p
10 0 0 4 ;
=−
[]
;
;
34 68 96
82 93 4 10
=; ; 6.
AB F
29.
30.
−− −
9478 94
548 6 40
3487 76
=; ; 7.
AB F
−− − −
−−− −
−− −
−−
3620 6 10
==−
−−
−− − −
688 10 18
==−
54 6 8 51
1000
=
C
0010
T
020 8;
p
=−
[]
0001
=
C
0010
T
p
2300;
=− −
[]
;
;
153
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
J
x
f
x
x
f
x
f
x
С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
Постановка задачи
Требуется найти минимум функционала [6−11]
t
( , ( )) ( , ( )) ( , ( ), ( ))
txt Pt xt Ltxt ut dt=+
ff
f
t
0
для системы вида
() () () () (),
tAtxtBtut=+
при заданных начальных условиях
На управление наложено ограничение
(0).x
(*)
() .ut U∈
Общие положения
Рассмотрим класс динамических систем, которые на ин-
тервале
tt
описываются системой обыкновенных диф-
0
[, ]
ференциальных уравнений вида
где
вектор состояния системы;
()xt −
Задаются: область допустимых управлений
( , , ), 1, 2,..., ,
fxut i n==
()ut −
вектор управления.
()ut U∈
– за-
мкнутое, выпуклое, ограниченное множество, которое не зависит от вектора состояния, начальное и конечное состояния
()
и
t
, T – интервал времени, в течение кото-
()
t
в ряде
()
системы
t
0
рого рассматривается процесс управления. Причем длительность процесса T и конечное состояние процесса
задач могут быть не заданы, к примеру, в задачах оптимального быстродействия.
154
Математической оценкой оптимальности является обоб-
J
L
x
x
f
H
ψ
ψ
ψ
щенный критерий качества, который в общем случае состоит
из терминальной и интегральной составляющей:
t
(, ()) ( , ( )) (, (), ())
txt Pt xt Lt xt ut dt=+
Терминальная оценка
ff
(,())
Pt xt
f
t
0
ff
характеризует стати-
.
ческие свойства системы, интегральная оценка
t
f
(, (), ())
txt ut dt
t
0
– динамические.
Для исследования систем рассматриваемого класса часто
применяется принцип максимума Понтрягина. Причем принцип максимума дает только необходимые условия для оптимальности процесса, но не достаточные. Чтобы условия стали
достаточными, необходимо, чтобы дифференциальные уравнения, описывающие поведение системы, были линейными:
() () () () (),
tAtxtBtut=+
а L – однозначной выпуклой функцией по
для
[, ]
ttt∀∈
.
0
Алгоритм решения задачи
1. Построение гамильтониана системы, учитывая, что
1.P =−
0
где
размерности, что и
(, , ,) (, ,)+ () (, ,)
xu t PLxut t f xut
− вектор состояния сопряженной системы той же
()t
Нахождение максимума гамильтониана по допусти-
2.
=
0
(, ,)+ () (, ,),
Lxu t t f xut=− ψ
.
()xt
T
T
=
мым управлениям при фиксированных значениях векторов
155
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
x
x
x
()xt
тора
обозначим
и
Составление дифференциальных уравнений для функций
3.
.
i
Решение дифференциальных уравнений и определение
4.
().it
в любой момент времени
()t
,u
при котором выполняется условие max
*
.u
d
dt x
H
∂
i
=− =
, 1,...., .
∂
i
in
Константы интегрирования определяются из условий
[0, ]tT∈
. Значение век-
(,, ,)Hxu t
трансверсальности:
∂
(,())
ψ=− =
( ) , 1,..., .
Tin
i
Определение момента переключения управления
5.
помощью найденных значений
Определение
6.
Замыкая найденным управлением
7.
PT xt
∂
x
i
().it
*
()ut
как функции времени.
*
()ut
систему диф-
ференциальных уравнений (*), т.е.
() () () () (),
tAtxtBtut=+
*
,
t
с
0
находим оптимальную траекторию движения системы.
Пример расчета
Требуется найти минимум функционала
3
()
для системы вида
xudt−−
12
0
() () ,
txtu
=+
11
()
xt u
=
2
156
(**)
при начальных условиях:
H
ψ
ψ
ψ
ψ+ψ
ψψ
ψ+ψ
ψ+ψ
ψ+ψ
(0) 1, (0) 1 / 2. xx==
12
На управление наложено ограничение
01.u≤≤
Решение
1. Строим гамильтониан системы, учитывая, что
(,, ,) (,,)+ () (, ,)
xu t PLxut t f xut
=− + + +ψ + +ψ
=
0
()()
xxu tx
=− − − +ψ =
12
xxu xu u
12 11 2
() .
T
T
Переписываем последнее выражение, выделяя коэффициенты, связанные с u. Перед u должен стоять знак плюс:
−+ +ψ+ψ+
11 1 2 1 2
Определяем точку экстремума гамильтониана H:
2.
∂
H
=
u
12
∂
( 1).Hxxxu=
10.
+=
0
=
(5.1)
1:P =−
При фиксированных значениях величин
,, ,xx
12 1 2
функ-
ция H будет принимать максимальное значение в следующих
случаях:
10
если
если
если
12
12
+>
+<
12
вольное значение из промежутка [0, 1]. Положим
10
10
+=
, то при
, то при
1;u =
0;u =
, управление может принимать произ-
0u =
для
определенности.
157
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
Тогда искомое управление будет определяться следующим
выражением:
1, если 1 0
*
u
=
0, если 1 0.
ψ+ψ+ >
12
ψ+ψ+ <
12
(5.2)
3. Составим дифференциальные уравнения для функций
:
i
d
i
dt x
Решим систему (5.3). Для этого приведем первое урав-
4.
нение к форме с разделяющимися переменными:
d
1
dt
=−
1
ψ−
1
1 1
ψ−=
11
ψ− = ψ= +
()
Ce Ce
1 1.
11 11
H
∂
=− =
,
tt
−−
Ce Ce
, 1, 2.
∂
i
1,
=−
11
ψ=−
2
ln 1 ln ,tCψ− =−+
1
()
tt
−−
i
(5.3)
1.
−=±
(5.4)
Решим второе уравнение:
d
2
dt
=− +
22
=−
1,
.tC
(5.5)
Константы интегрирования будем определять из условий
трансверсальности:
∂
(, ())
ψ=− =
( ) , 1, 2.
Ti
i
PT xt
∂
x
i
Поскольку терминальная составляющая функционала в
данной задаче отсутствует (или равна нулю), мы имеем
(2) 0,
=
1
(2) 0.
=
2
158
Подставляя в формулы (5.4) и (5.5) значение t = 2, получим
ψ
ψ
ψ+ψ
ψ
ψ+ψ
ψ+ψ
ψ+ψ
ψ+ψ
2
(2) 1 0,
=+ =
11
=− + =
(2) 2 0.
22
12
−
Ce
C
2
, 2.Ce C =− =
(5.6)
Подставляем найденные константы интегрирования в
формулы (5.4) и (5.5):
2
t
t
0
t =
0
−
(5.7)
*
u
скачком меняет
t
, при котором
0
0
0
(5.8)
0,854
1)( )t+
представлен на ри-
() 1 ,
te
ψ=−
Определим момент переключения управления.
5.
1
ψ=−
() 2 .
tt
2
Обратимся к формуле (5.2). Функция
свое значение в момент времени
10
+=
12
ется из следующего уравнения:
или
. С учетом формул (5.7) этот момент определя-
2
t
−
1210
0
et
−+−+=
2
−
40.
et
−−=
Решение уравнения (5.8) дает
6. График зависимости
(ψ+
12
сунке 5.1.
Функция
(1)
12
+
на отрезке
пересекает ось времени в точке
При
при
0
012
012
[0,2]t ∈
только один раз
0,854.t =
0,854 1 0,tt>=
0,854 1 0.tt<=
+>
+<
Таким образом, как следует из
формул (5.2), управление примет вид
Рисунок 5.1 – График
зависимости функции
(1)
12
от времени
+
*
()
ut
0, при 0
=
1, при 2.
≤≤
tt
<≤
0
tt
0
(5.9)
159
7. Подставим значение управления (5.9) на интервале
x
x
x
x
x
[0, ]t
в систему уравнений (**):
0
()
tx
=
11
() 0.
xt
2
(5.10)
=
В результате интегрирования этой системы получаем
()
tCe
11
tC
() .
22
t
′
=
′
=
Найдем константы интегрирования, используя заданные
начальные условия:
0
(0) 1
xCe
11
(0) 1 / 2,
xC
22
′′
==
12
′
==
′
==
1, 1 / 2.CC
Таким образом, траектория движения системы на интерва-
0 tt≤≤
ле
Рассмотрим движение системы на интервале
окончательно определяется следующим образом:
0
xt
1
2
t
()
te
=
=
() 1/2.
(5.11)
[,2].t
0
Для этого подставим значение управления (5.9) на данном
интервале в исходную систему (**):
() 1,
xt x
=+
11
() 1.
xt
=
2
(5.12)
В результате интегрирования системы (5.12) имеем
t
() 1,
xt Ce
11
() .
22
′
=−
ttC
=+
160
′′
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]