Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
– –2,6
–2,7 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
12
11
–5 –
–1,5 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
13
21
– –0,3
– 2
–4 –
–0,4 –
)()(
)()(
sVsX
22
)()(
sVsX
sVsX
23
31
–2 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
32
33
–2,7 –
– –2,6
–1,5 –
–5 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
11
12
)()(
)()(
sVsX
sVsX
13
21
– –0,3
– 2
–4 –
–0,4 –
)()(
)()(
sVsX
)()(
sVsX
sVsX
23
22
31
–2 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
32
33
i
i
3
−
12
12
−−
−+
−
11 2
103
01 1
−
−
10 2
−−
42 1
020
21
121
i
i
3
−
22
22
−−
−+
−
13 2
103
01 1
−
−
20 2
42 1
034
−−
22
121
–2 –
)()(
sVsX
– –3
)()(
sVsX
12
11
–6 –
–4,5 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
13
21
– –0,5
–0,2 –
)()(
sVsX
22
– 2
)()(
)()(
sVsX
sVsX
23
31
–3 –
–4,5 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
33
32
– –3
–2 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
12
11
–6 –
–4,5 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
13
21
– –0,5
–0,2 –
)()(
sVsX
22
– 2
)()(
)()(
sVsX
sVsX
23
31
–3 –
–4,5 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
32
33
i
i
2
2
−−
−+
4
−
i
i
2
2
−−
−+
1
−
122
−
102
112
121
21 1
−−
124
−−
12 1
311
112
−
23
122
102
213
−
−
310
231
24
–2,5 –
)()(
sVsX
– –3
– –0,5
–1 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
12
11
13
–6 –
–4 –
)()(
sVsX
)()(
)()(
sVsX
sVsX
21
23
22
– 2
–2,3 –
–4,5 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
32
31
–2,5 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
33
11
– –3
–1 –
)()(
sVsX
12
– –0,5
–6 –
–4 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
13
)()(
)()(
sVsX
sVsX
23
22
21
– 2
–4,5 –
)()(
sVsX
31
–2,3 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
32
33
i
i
3
−
4
4
−−
−+
−
−
23 1
012
10 2
−−
10 2
311
−
022
25
123
i
i
2
−
42
42
−−
−+
−
−
412
10 3
26 1
−
152
−
022
110
26
123
–2,4 –
–5 –
– 3
– –2,6
–4,5 –
–0,2 –
–2 –
– 1,5
–3,2 –
–2,4 –
–5 –
– –2,6
– 3
–4,5 –
–0,2 –
–2 –
– 1,5
–3,2 –
)()(
)()(
)()(
sVsX
sVsX
12
11
)()(
sVsX
sVsX
13
)()(
)()(
sVsX
sVsX
22
21
)()(
)()(
sVsX
sVsX
23
32
31
1
3
−
4
−
−
)()(
sVsX
33
)()(
)()(
sVsX
sVsX
12
11
)()(
)()(
sVsX
sVsX
13
21
)()(
)()(
sVsX
22
)()(
sVsX
sVsX
23
)()(
)()(
sVsX
sVsX
32
31
33
i
i
4
−
1
1
−−
−+
124
−
−
22 0
−
23 1
012
−
527
230
012
−−
212
12 4
011
−
204
154−−
036
27
124
28
– –2,6
–4 –
–3,4 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
12
11
– 2
–4,5 –
–0,2 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
13
)()(
)()(
sVsX
sVsX
23
22
21
– 5
–2 –
)()(
sVsX
31
–3,2 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
32
33
–4 –
–3,4 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
12
11
– 2
– –2,6
)()(
)()(
sVsX
sVsX
13
21
–0,2 –
–4,5 –
)()(
)()(
sVsX
sVsX
23
22
– 5
–2 –
)()(
sVsX
31
–3,2 –
)()(
sVsX
32
3
−
1
5
−
−
30 2
12 1
23 1−
31 2
03 5
23 1−
i
i
3
−−
3
−+
1
−
125
−
112
−
10 4
32 1
160
29
125
10 5
72 1
−
−−
30
4. СИНТЕЗ НАБЛЮДАЮЩИХ УСТРОЙСТВ
x
Общая теория наблюдающих устройств
Если все переменные состояния объекта представляют собой измеримые физические сигналы, то синтез замкнутой системы с заданным распределением полюсов не представляет
какой–либо трудности. Однако в большинстве случаев доступны приборному измерению лишь некоторые составляющие вектора состояния. Кроме того, использование измерительных приборов не всегда целесообразно. Некоторые приборы описываются сложными уравнениями, существенно изменяющими структуру объекта управления.
Это, в свою очередь, порождает трудности решения задачи
о помещении полюсов замкнутой системы в заданные положения.
Все эти обстоятельства указывают на необходимость способов, которые позволили бы косвенно оценить переменные
состояния, малодоступные или вовсе недоступные прямому
измерению. Такие способы существуют и основаны на использовании уравнений движения объекта. При конструировании эти уравнения предполагаются известными.
Устройства для измерения координат объекта, в основу которых положены уравнения этого объекта, называются
наблюдающими устройствами [2, 5].
Рассмотрим принцип действия наблюдающего устройства.
Предположим, что в распоряжении имеются:
объект
1)
доступный измерению скалярный выходной сигнал объ-
2)
() () ()
tAxtBut=+
; (4.1)
екта
( ) ( ), [ ,..., ];
yt Cxt C C C==
1
n
3) доступный измерению матричный входной сигнал
(4.2)
().ut
126
x
x
x
x
x
x
x
x
x
K
А, В, С,
ров
()nn×, ()nm×
Опираясь на знание сигналов
,
обозначают матрицы соответственно разме-
u
,
(1 )n×, (1)n ×
и
(1)m.×
()yt
,
и матриц А, В,
()ut
необходимо оценить вектор состояния объекта
.
Если через
то оценочное значение выходного сигнала у будет С
содержит ошибку, если С
ка
полученного реальным измерением сигнала у. Задача состоит
в том, чтобы ошибку
Зная А, В,
, если подвести сигнал
()xt
обозначить оценочное значение вектора
отличается от результата,
()y Сx−
и начальное значение
()ut
свести к нулю.
()xt
, можно оценить
0
к электронной модели объ-
()ut
.
Оцен-
екта:
где
Ax Bu=+
()xt
задано. Недостаток оценивающего устройства (4.3)
0
(4.3)
,
состоит в том, что оно действует по разомкнутому циклу и,
()ut
поскольку данные об А, В,
неточны, после некоторого
времени работы это устройство будет давать слишком неточную оценку вектора
данного устройства устранить отмеченный недостаток, было
предложено ввести ошибку
стемы (4.3), т.е. перейти к оценивающему устройству
. Чтобы при сохранении линейности
y С x−
в каждое уравнение си-
()xAxBuKyС x=++ −
, (4.4)
где
,
1
K
2
127
.
...
K
n
=
K
x
x
x
x
x
Устройство, описываемое уравнением (4.4), оценивает век-
тор
по замкнутому циклу и в дальнейшем называется
наблюдающим.
Если ошибку оценивания определить как
xx=−
(4.5)
,
то ее можно найти из уравнения
()
AKCx=−
, (4.6)
получаемого вычитанием уравнения (4.1) из (4.4).
,...,
Выбрав коэффициенты усиления
KK
1
так, чтобы си-
n
стема (4.6) была устойчивой, получим
Другими словами, с ростом t оценка
.
мому вектору
Если по измеренному сигналу
стремится к оценивае-
0x →
при
t →∞
объект
()yt
(4.1) полностью наблюдаем, то выбором коэффициентов
,...,
KK
1
замкнутой системе (4.4) можно придать любое же-
n
лаемое распределение корней.
Рассмотрим сначала задачу наблюдения свободного объек-
, т.е. объекта, входной сигнал
та S
1
u
которого равен нулю.
Если имеющиеся в распоряжении выходы этого объекта используются в качестве входов линейной системы S
стема S
щего устройств объекта S
почти всегда может служить в качестве наблюдаю-
2
в том смысле, что ее состояние от-
1
, то си-
2
слеживает линейное преобразование вектора состояния объекта (рисунок 4.1).
Рисунок 4.1 – Объект и наблюдающее устройство
.
128
Математически это описывается следующим образом.
x
Пусть S
− свободный объект
1
() (),
tAxt=
(4.7)
воздействующий на систему S
() () ().zt Fzt Hxt=+
:
2
(4.8)
Предположим, что существует матрица преобразования Т,
удовлетворяющая уравнению
.TA FT H−=
(4.9)
Тогда при
(0) (0)zTx≠
() ()zt Txt=
гда
для всех
(0) (0)zTx=
справедливо соотношение
0t ≥
или в более общем случае, ко-
,
() () [ (0) (0)].
zt Txt e z Tx=+ −
Ft
(4.10)
При отрицательных собственных значениях матрицы F
свободные колебания наблюдающего устройства, выражаемые вторым членом (4.10), затухают, и вектор состояния
этого устройства сходится к вектору
()Tx t
. Справедливость
()zt
соотношений (4.8) − (4.10) доказывается следующим образом.
Умножая слева уравнение (4.7) на Т и вычитая полученное
уравнение из уравнения (4.8), находим
() () () () ()zt Тxt Fzt Hxt ТAx t−= + −
.
Подставляя вместо Н выражение (4.9), приходим к уравнению
() () [ () ()],zt Тxt Fzt Txt−= −
решением которого является соотношение (4.10).
Можно доказать, что уравнение (4.9) имеет единственное
решение Т, если у матриц А и F нет общих собственных значений. Таким образом, некоторая система S2, корни которой
отличны от корней объекта S1, может служить для этого объ-
129
екта наблюдающим устройством в том смысле, что ее вектор
x
x
состояния
шением
z
связан с вектором состояния объекта S1 соотно-
() ()zt Txt=
, где матрица T, определяемая из уравне-
ния (4.9), зависит от параметров систем S1 и S2. Следует отметить, что порядок систем S1 и S2 не обязательно должен быть
одинаковым.
Нетрудно получить наблюдающее устройство и для возмущенного объекта, т.е. объекта с ненулевым входным сигналом
Для этого необходимо входной сигнал
(),ut
если только этот сигнал поддается измерению.
()ut
подвести также к
наблюдающему устройству. Действительно, если объект S
описывается уравнением
() () ()
tAxtBut=+
, (4.11)
то уравнение дополненного указанным образом наблюдающего устройства
() () () ()zt Fzt Hxt ТBu t=+ +
(4.12)
будет по-прежнему иметь решением выражение (4.10). В этом
можно убедиться с помощью преобразований, аналогичных
проведенным для уравнений (4.8)−(4.10). Отсюда следует, что
наблюдающее устройство для возмущенного объекта можно
синтезировать, полагая сначала объект свободным, а затем
добавляя входной сигнал, как это указано в (4.12).
1
4.1 Наблюдающее устройство идентификации
Для объекта вида
провести синтез наблюдающего устройства идентификации
Постановка задачи
() (),
() ()
yt Сxt
tAxt
=
=
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]