Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
6. Построение матриц D и
H
D
ΤΤ
.
[]
==
db r
31
3253
rr rr r r
++−−
=+= − =−
dAbcb r r r
221 1 1
=+=+ +=
dAdcbAbcAbcb r
121 2 1 1
=−
Dr r r
22 2 2 10 22 2
rr r r rr r
++
ΤΤ
DH rr r r rr r
12 1 2 12 2
53 3 4 00 53 4
=− − − − =− − −
12 1 2 12 2
220122
rr r r rr r
++
12 1 2 12 2
7. Строим вектор
Назначим
11=n
12 12 1 2
42 4
rr r
22 2
2
22 532
rr rr rr
+−− +
12 1212
23
111
242
rrr
222
T
()
123
,nn
;
находим из условий ортогональ-
23
d|d|dD =
.
321
2
rr
+
12
,
2
r
2
43
,
−
22
rr
+
12
−
2
2
r
2
.
.
,,Nnnn=⊥
столбцам
ΤΤ
)(
HD
.
ности:
,
ΤΤ
=()
,
−
,
10nnDH
()
23
rrr
221
==
nn
23
++
rr rr
12 12
или (умножив все компоненты вектора на знаменатель
):rr+
12
()Nrrrrr=+ −
12 2 21
.
61
8. Спектральный инвариант, отвечающий неполноте ин-
r
{
}
формации:
25 4 0,
−− − −− =
()
***
() () 20.
crr crcrr r r
++ + −+− =
02 1 12 22 1 2 1
9. Выбор вектора
*T
)(
** *
cc cr
01 22
.r
0=− NСС
,
rr
+
21
rr
−
21
Подставляем в полученный инвариант значения вектора
*
:С
или
Положим
Условие
21 2 21 2 1
.
2rr =
21
Ωr ∈
33( ) 20rr r rr r r++ + − +− =
2
, тогда
12=r
.
=
1
выполняется, система вполне управляема,
и, так как не нарушаются условия теоремы 2, существует
управление, решающее поставленную задачу.
10. Определяем управление v.
Справедливо условие (2.8), которое в данном случае при-
мет вид
*
CC DH
−∈
362
−
2 , 13 4
−
752
где
*
−= =− −
CC DH
В силу выполнения этого условия вектор
линейной комбинацией столбцов матрицы
циенты этой линейной комбинации формируют управление
vqy qy=+
синтезирующее систему со спектром Λ
ΤΤ
ΤΤ
11 2 2
62
,
.
*
CC −
является
.DH
Коэффи-
,
∗
.
Составляем линейную комбинацию. Вектор v имеет раз-
[][][
[][][
мерность l = 2, поэтому в линейной комбинации участвуют
любые две строки матрицы
DH
(в данном случае взяты
ΤΤ
первая и вторая строки).
ΤΤ ΤΤ *
qD H qD H C C+=−;
12
ΤΤ ΤΤ *
qD H q D H C C+=−
12
11 12 ( ) 1
21 2 2 ( ) 2,
62 3;
qq
+=−
12
13 4 2,
qq
−−=
12
4 13,5q,q==−
12
]
]
или
.
5,134 yyv −=
21
11. Определяем результирующее управление, синтезиру-
∗
ющее систему с заданным спектром Λ
В соответствии с выражением
−=
−=
.
,urv=
,278
yyu
211
.5,134
yyu
212
находим
:u
Варианты заданий
488 0 7 6
−−− − −
1. 1 5 9 ; 9 5 ; 6 ; .
2. 6 7 5 ; 3 2 ; 1 ; .
3. 3 9 8 ; 5 1 ; 9 ; .
АВ Н
==Λ=−=
389 82 7
−−− −− −
9102 06 6
−− − − −
АВ Н
=− =−Λ=− =
421 01 8
−−−
578 52 9
−−−−
=−−=−Λ=− =
АВ Н
−−−
10 8 4 3 2 2
63
∗
∗
∗
100
001
100
001
110
010
225 1 2 4
4. 3 7 3 ; 3 0 ; 6 ; .
5. 7 5 8 ; 2 1 ; 1 ; .
6. 3 3 3 ; 3 5 ; 4 ; .
7. 3 2 1 ; 5 7 ; 1 ; .
8. 3 3 5 ; 7 9 ; 6 ; .
=−=−Λ=−=
АВ Н
−−− − −
828 17 3
10 7 5 7 0 3
−−−
АВ Н
=−= Λ=−=
61 3 93 8
−− −
4910 56 6
−−− − −
=−=Λ=−=
АВ Н
96 7 63 8
365 77 9
−− −
АВ Н
=− = − Λ=− =
76 7 24 6
72 2 93 4
−− − −
=−= Λ=−=
АВ Н
−−− − −
666 4 2 6
−− −
−−
∗
∗
∗
−−
∗
∗
110
010
100
110
100
001
101
001
001
101
842 6 3 4
−−− − − −
АВ Н
9. 1 8 4 ; 9 3 ; 2 ; .
=−=−−Λ=−=
85 7 10 6 5
−− −− −
10. 3 1 3 ; 4 9 ; 6 ; .
11. 0 2 8 ; 0 4 ; 3 ; .
40 3 5 9 5
−−−
==Λ=−=
АВ Н
40 2 2 9 3
−− − −
==−Λ=−=
АВ Н
−−
−−− −
10 5 9 1 4 9
738 3 9 7
64
∗
∗
∗
100
101
101
001
101
001
10 4 9 10 2
−− −− −
12. 9 8 4 ; 5 9 ; 8 ; .
=−− =−−Λ=− =
АВ Н
046 8 2 1
−−
∗
010
110
015 02 5
АВ Н
13. 5 6 3 ; 2 8 ; 8 ; .
=−−= Λ=−=
10 10 4 3 2 2
−− −− −
14. 2 2 8 ; 7 6 ; 8 ; .
15. 6 5 2 ; 1 2 ; 8 ; .
16. 8 9 1 ; 7 6 ; 6 ; .
17. 10 5 5 ; 1 10 ; 2 ; .
389 41 5
−− −
=−− = Λ=− =
АВ Н
67 8 85 4
387 24 7
−− − −
АВ Н
=−− =− Λ=− =
02 4 6 5 3
713 51 3
−−− − −
=− = Λ=− =
АВ Н
−− −− −
384 44 9
819 80 6
АВ Н
=− − =− − Λ=− =
715 6 4 5
−−− − −
−−
−−−
−− − −
−
∗
010
100
∗
001
101
∗
001
101
∗
011
001
∗
011
001
20 4 0 5 9
18. 3 3 0 ; 8 2 ; 9 ; .
19. 10 6 0 ; 4 4 ; 7 ; .
=− = Λ=− =
АВ Н
67 7 3 2 9
122 6 10 6
=− = − Λ=− =
АВ Н
−−−−
−−
∗
−− −
−−−
∗
411 2 3 3
65
011
010
011
010
227 06 7
−− −
20. 2 2 3 ; 4 2 ; 3 ; .
=− =− Λ=− =
АВ Н
−−
89 9 89 1
∗
001
100
29 8 5 8 7
АВ Н
21. 7 6 4 ; 4 1 ; 3 ; .
=−− =−−Λ=− =
345 87 9
−− − −
22. 9 9 4 ; 2 1 ; 5 ; .
23. 7 4 3 ; 5 4 ; 2 ; .
24. 5 6 8 ; 6 5 ; 7 ; .
25. 0 4 3 ; 7 5 ; 7 ; .
26. 8 3 7 ; 9 4 ; 3 ; .
27. 7 2 6 ; 3 2 ; 4 ; .
97 10 2 1 1
=− = − Λ=− =
АВ Н
63 5 14 7
95 4 37 2
АВ Н
=− − = Λ=− =
1101 80 8
164 92 5
−−− −
=− − − = − Λ=− =
АВ Н
566 33 2
014 71 6
АВ Н
=− =−Λ=− =
699 46 5
−−− − −
128 72 6
−−− −
АВ Н
=− − =− Λ=− =
597 65 9
786 85 2
−− − −
АВ Н
=− = Λ=− =
375 27 6
−−−
∗
001
100
−−−
∗
−−
−−
∗
−−−
∗
−− −
−
∗
101
100
101
100
100
001
100
001
∗
−−−
∗
−− −
100
010
001
010
66
865 25 3
−−− −− −
28. 2 6 8 ; 5 0 ; 9 ; .
АВ Н
=−− = Λ=− =
339 21 4
−− −
∗
001
010
78 8 4 6 4
29. 0 6 3 ; 7 1 ; 8 ; .
30. 2 9 9 ; 9 8 ; 8 ; .
АВ Н
=−=−Λ=−=
774 91 6
−− −
0101 69 4
−−−
АВ Н
=−−− = Λ=− =
61 5 03 4
−−−
−− −
∗
∗
100
110
100
110
67
2.2 Метод Кузовкова
x
x
Постановка задачи
Для управляемой и наблюдаемой системы
Ax Bu
=+
y Сx
=
,
построить управление вида
uPy=−
,
таким образом, чтобы замкнутая этим управлением система
*
)nλ
[2−5].
имела заданный спектр Λ
*
()xABPС x=−
(λ
=
*
…
1
2.2.1 Случай скалярного входа
Описание метода
Пусть имеется полностью управляемый и наблюдаемый
объект с одним входом
Ax bu
,
,
где
=+
y Сx
=
, xy
− векторы размерностей n и r; u − скалярная вели-
чина; А, С,
(),nn×
(),rn×
b
− матрицы размерностей соответственно
(1)n.×
Матричная передаточная функция объекта имеет вид
68
() 1
p
p
p
M
Ys
() ( ) ()
Ws С sI A b w s
==− = =
() ()
Us Fs
=
nn
sds d
1
1
−
+++
n
...
1
1
−
++
...
mms
11 1
...
++
mms
1
rrn
Уравнение регулятора примем в виде
,uvpy=−
1
−
n
1
n
−
.
n
(2.20)
где v − командный сигнал,
зи размерности
(1 ).r×
Тогда характеристический полином
− матрица-строка обратной свя-
замкнутой системы
1
H(s) =det
Поскольку
или
()sI A bpС−+
w
(s) = H(s) − F(s) (2.21)
r
w==
ii
1
i
= sn + ans
H(s) − F(s), (2.22)
то, подставив в это уравнение вместо
n-
+…+ a
(s), H(s) и F(s) соот-
w
.
1
ветствующие полиномы и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях s в левой и правой частях уравнения,
получим
TT
pad=−
.
(2.23)
Здесь
mm
11 1
M
=
mm
1
rrn
n
матрица (
полиномов
rn×
), элементами которой служат коэффициенты
(s);
w
i
69
a
1
a
,
=
a
n
d
1
d
(2.24)
=
d
n
матрицы-столбцы, в которых роль элементов выполняют коэффициенты полиномов H(s) и F(s).
Матричное уравнение (2.23) соответствует переопределен-
ной системе, т.е. системе из n уравнений с r неизвестными
,…, pr (
p
1
rn<
).
Эта система имеет решение лишь в случае совместимости
уравнений, т.е. когда решение подсистемы из r уравнений
удовлетворяет оставшимся nr− уравнениям.
Передаточная функция объекта по состоянию будет пред-
ставлена следующим выражением:
Ws sI A b gs
() ()
Us Fs
() 1
Xs
==− =
() ( ) ().
1
−
Пусть входящая в эту функцию матрица-столбец
g
(s)
имеет вид
1
n
−
lls
++
()
gs
Так как
неособая (
линомов, входящих в уравнение (2.25). Для нахождения L и
d
можно воспользоваться приведенным ниже алгоритмом.
(s) = C
w
nn×
) матрица, составленная из коэффициентов по-
11 1
=
++
lls
nnn
1
g
(s), то, следовательно, M = CL, где
ll
11 1
L
=
ll
1
nnn
70
n
. (2.25)
n
−
1
n
(2.26)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]