Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
522 43 1
−−−
13. 2 2 5 , 3 3 , 5 , .
14. 2 2 2 , 3 1 , 4 , .
15. 2 5 3 , 3 4 , 2 , .
AB q
=− − =− − Λ=− =
012 14 3
−− −
121 21 4
−− − −
AB q
=−=−Λ=−=
210 0 3 3
−− − −
241 31 5
−−−
AB q
==Λ=−=
401 02 3
∗
∗
∗
−
3
1
2
3
5
3
524 43 1
16. 4 3 2 , 1 2 , 2 , .
17. 1 3 1 , 3 2 , 1 , .
18. 3 1 2 , 2 2 , 2 , .
19. 0 2 1 , 3 1 , 1 , .
20. 1 0 5 , 2 1 , 4 , .
21. 3 2 4 , 2 1 , 4 , .
AB q
=−=Λ=−=
134 3 3 1
−− − −
041 1 2 3
AB q
=− = Λ=− =
122 0 0 3
−−
034 14 3
AB q
=− − = − Λ=− =
100 31 1
144 0 1 3
AB q
=−= Λ=−=
10 1 3 2 1
−−−
212 10 3
−−
AB q
==−−Λ=−=
005 1 4 2
412 34 1
−−−
AB q
=− =− Λ=− =
11 1 1 3 2
−− −
−− −
−− −
−−
−
2
∗
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
5
1
3
4
2
2
3
3
5
2
1
41
152 04 3
22. 5 3 2 , 4 4 , 1 , .
AB q
=−−=−Λ=−=
115 1 3 3
−− − −
−
2
∗
6
541 41 1
23. 2 1 1 , 3 2 , 1 , .
24. 1 1 0 , 2 2 , 2 , .
25. 4 5 4 , 4 4 , 1 , .
26. 3 1 2 , 2 2 , 4 , .
27. 2 2 3 , 1 1 , 4 , .
28. 5 2 2 , 4 1 , 3 , .
AB q
=−−=−Λ=−=
331 02 3
−− − −
13 1 0 0 3
AB q
=− = −Λ=− =
33 0 2 1 4
252 13 3
AB q
==Λ=−=
110 13 2
113 24 4
−−− −− −
AB q
=− − − =− − Λ=− =
30 2 4 3 5
−−−−
303 2 1 2
AB q
==−Λ=−=
123 2 2 2
15 4 0 4 5
AB q
=−= Λ=−=
44 1 3 3 1
−−
−− −
∗
−−
∗
∗
−−−
−
1
∗
∗
−
∗
−
−
−
4
4
3
4
2
1
3
2
5
5
2
144 04 3
29. 3 1 3 , 3 2 , 2 , .
30. 0 0 1 , 4 1 , 5 , .
AB q
=− − = − Λ=− =
101 3 2 2
−−
530 4 1 1
−−−
AB q
=−=−−Λ=−=
112 12 4
−− −− −
−−
∗
∗
42
2
3
4
2
2. УПРАВЛЕНИЕ ПОЛЮСАМИ СИСТЕМЫ
x
y
x
ПРИ НАЛИЧИИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
О ВЕКТОРЕ СОСТОЯНИЯ
2.1 Метод Кожинской
Рассмотрим управляемый объект, описываемый линейной
стационарной системой дифференциальных уравнений вида
Ax Bu=+
Часто доступны непосредственному измерению лишь не-
которые компоненты вектора состояния или их линейные
комбинации. Эти измеряемые координаты образуют вектор
информации
размерности l, где ранг матрицы информации H определяет
фактическую размерность вектора информации.
Учитывая только линейно независимые компоненты вектора информации, можно считать, что
.
()yHxt=
(2.1)
rang =≤Hln
Системы, в которых размерность вектора информации
ln<
меньше порядка системы (
вать системами с неполной информацией. В таких системах
неполнота информации существенно ограничивает возможности управления даже для вполне управляемых систем. В
этом случае реализуемы лишь управления, зависящие от известных величин
где Q – постоянная матрица размерности
Исходная система, замкнутая управлением (2.3), имеет вид
,
()
), в дальнейшем будем назы-
uQy=
ABQHx=+
43
. (2.2)
, (2.3)
ml×
.
.
(2.4)
Постановка задачи
x
x
Для управляемой системы
=+
Ax Bu
=
yHx
,
(2.5)
построить управление вида
uQy=
таким образом, чтобы замкнутая этим управлением система
[1, 3−5], т.е.
n
.
(2.6)
имела заданный спектр
()
ABQHx=+
** *
( ,..., )
Λ=λ λ
Λ=Λ
1
∗∗
ABQH
+
2.1.1 Случай скалярного входа
Описание метода
Рассмотрим управляемую систему со скалярным управлением. Если вектор информации (2.1) имеет размерность l не
меньшую единицы, то управление (2.3) оказывается завися-
,,...,
щим от параметров
gg g
12
uGy gy gy== ++
l
11
:
...
ll
.
(2.7)
Когда размерность вектора информации
ln<
, этих параметров недостаточно, чтобы обеспечить наличие в спектре
замкнутой системы Λ
ных чисел λ
∗
, i=1, ..., k, даже при
i
∗
любых наперед заданных собствен-
kl≤
. В этом случае мож-
но добиться наличия в спектре системы чисел, сколь угодно
близких к λ
∗
, i=1, ..., k (
i
kl≤
), однако при этом ничего нель-
44
зя сказать об остальных
{
}
{
}
nl−
собственных числах замкнутой
системы, которые могут привести к неустойчивости системы.
Условия
возможности синтезировать систему с заданным
спектром при неполной информации определяются следующей теоремой.
Теорема 1. Для того чтобы существовало управление (2.7),
решающее задачу построения модального управления при
неполной информации о фазовых координатах системы,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
ΤΤ
где
DH
– l-мерное подпространство, порожденное столб-
цами матрицы
∗ΤΤ
CC DH
−∈
ΤΤ
;DH
D – матрица, определяемая по рекур-
, (2.8)
рентным формулам:
D = (d
… dn),
1
;
n
iii
11
−−
∗∗∗
( ... )
Ccc
= – векторы коэффициентов
01
, , , 2;
n
−
(2.9)
…
(... )
Cc c
=
01
n
−
d= B
d = Ad + c B i = n
и
характеристических полиномов разомкнутой и замкнутой си-
∗
стем соответственно;
CC
– вектор-столбец.
−
Доказательство. Управление, синтезирующее систему с
заданным спектром при полной информации, задается соотношением:
1
∗−
().uCCDx
=−
T
(2.10)
Для того чтобы это управление было реализуемо при неполной информации, необходимо и достаточно выполнение
тождества
1
∗−
() .uCCDxGyGHx
=− = =
T
Ввиду произвольности вектора
(2.11)
x
тождество (2.11) эквива-
лентно равенству
45
1
H
H
∗−
T
−=
T
∗
CC GHD
−=
(2.12)
или
()CC D GH
() ,
которое равносильно условию теоремы. Таким образом,
необходимость доказана.
Если выполнено условие теоремы (2.8), то в силу единственности разложения по базису из равенства (2.12) можно
G
определить единственный вектор
размерности l, реализу-
ющий управление (2.7) при неполной информации:
11
∗−−
()GCCDH
=−
T
, (2.13)
и затем построить управление
u
, решающее задачу синтеза
системы с заданным спектром:
T
(2.14)
где
==−
1−
– псевдообратная матрица для матрицы Н, которая
() ,uGy CC DHy
11
∗−−
определяется соотношением
1
−ΤΤ
()HHHH
=
. (2.15)
Таким образом, теорема доказана.
Пусть вектор информации (2.1) имеет размерность l,
().ln<
Тогда существует ровно
nl−
независимых функций,
заданных на спектре замкнутой системы, которые сохраняются при любом выборе управления (2.7) на основе информации
(2.1). Эти функции будем называть спектральными инвари-
антами системы, связанными с неполнотой информации.
Выделим эти спектральные инварианты.
Строки матрицы H порождают (задают базис) в n-мерном
Τ
{}.H
пространстве l-мерное подпространство, обозначим его
Ортогональное дополнение к l-мерному подпространству
Τ
{}
в n-мерном пространстве обозначим {N}. Построим это
ортогональное дополнение и выберем в нем базис N.
В силу ортогональности:
ΤΤ
= или
0NH
0=HN
.
46
1−
Умножая обе части уравнения (2.12) на
(det 0),D−≠
ется система
1
исключим из него вектор G. Тем самым получа-
nl−
линейно независимых спектральных инва-
ND
риантов:
*1
−
() 0СС DN
T
−=
. (2.16)
Система инвариантов (2.16) является максимальной и задает другой вид реализуемости спектра, соответствующего
∗
,С
характеристическому полиному
в системе с неполной
информацией, т.е. другой вид условий разрешимости задачи
синтеза.
Теорема 2. Управление (2.3), синтезирующее систему (2.4)
*
,Λ
с заданным спектром
существует в том и только том
случае, если выполняется условие (2.16). (Без доказательства.)
Система инвариантов (2.16) выделяет максимальное число
линейно независимых функций спектра, которые не могут
быть изменены на основе доступной информации.
В случае разрешимости (2.6) синтезирующий вектор
управления строится по формуле (2.14).
Алгоритм решения задачи
1. Проверка управляемости системы.
Строится матрица управляемости
S B|AB|AB|...|A B
()
упр
21
−=n
.
Если
rang S =
упр
n или
det 0S ≠
упр
, то система управляема,
где n – порядок системы.
2. Нахождение вектора коэффициентов характеристи-
ческого полинома разомкнутой системы
47
C= c ...c
01
n
−
)(:
1
H
n
ψ(λ) = det
IA +c c c
nn
−
...()
λ++=λ λ+λ−
110
−
3. Построение матрицы D по формулам (2.9) и
.
ΤΤ
.DH
4. Построение вектора
ΤΤ
столбцам
Назначим
D
.
1n =
;
1
T
Nnn=
, ,...nn
23
...,
()
12
ортогонального
находим из условий ортого-
нальности:
1 ... ( ) 0nn DH
()
23
ΤΤ
=
.
5. Получение спектрального инварианта, отвечающего
неполноте информации:
*
()0.СС N−=
T
6. Определение вектора коэффициентов характеристиче-
∗∗∗
( ... )
Ccc
ского полинома замкнутой системы
данному спектру
σλ λ λ,
1
σλλ λλλλλλ,
2−
где
.................................................
σ λ λ λ λ .
ni n
:∗Λ
*
c
ini
n
** *
= + ..... +
= + + ... +
=..
=
1
i
=
n
,1
ij
ij
≠
∏
i
=
n
=
1
in
** ** ** * *
=
ij n n
1
12 13 1
*** *
=
12
ni
−
(1)
=− σ
.
=
01
,
−
−
n
по за-
.....
7. Проверка существования решения задачи синтеза.
Если условие п. 5 выполняется, то решение существует.
8. Определение вектора
CC.−
*
9. Определение вектора G, реализующего управление.
48
Вектор CC
x
матрицы
∗
− является линейной комбинацией столбцов
ΤΤ
.DH
Коэффициенты этой линейной комбинации
формируют управление.
10. Определение результирующего управления, синтези-
:∗Λ
рующего систему с заданным спектром
.uGy=
Пример расчета
Рассмотрим следующую систему управления:
Ax Bu
=+
yHx
=
;
,
где
31 0
03 0
A
=
00 2
−
,
0
,
2
B
=
1
H
=
100
010
.
Требуется выбрать управление u так, чтобы замкнутая
этим управлением система имела заданный спектр
∗
Λ
3 3 2=− − −
()
.
Решение
1. Проверка управляемости системы.
Составляем матрицу управляемости
Если
rang 3=S
упр
(или
det 0S ≠
упр
|| .SBABAB=
()
упр
), то условие управляемо-
2
сти выполняется:
0212
det det 2 6 18 100 0
S
упр
==−≠
124
−
49
система управляема.
2. Построим характеристический полином разомкнутой
D
[
D
D
системы:
ψλ detλ λ λ λccc=−=+++
()
ΙΑ
32
210
,
ψλ λ 4λ 3λ 18=− −+
()
3. Построение матриц
3
=+=−− =−
dAdcB
121
32
0
==
2
Bd
1
ΤΤ
DH
ΤΤ
и
DH
||
ddd=
123
,
dABcB
=+ = − =−
22
404
632 12
12 1 9
412910 412
−−
=−− =−
22601 22
02 100 02
4. Строим вектор
Назначим
=n ;
1
T
1
, nn
23
,,Nnnn=⊥
()
123
находим из условий ортогонально-
сти.
Составляем систему уравнений:
18, 3, 4ссс==−=−
01 2
.
.
]
202
642 2
216
−−
.
,
420
=− −
D
12 2 2
961
−
.
ΤΤ
()
столбцам
1()0
nnDH=
()
23
ΤΤ
H
.
.
.
42 0 0;
nn
++=
−− + =
23
12 2 2 0,
nn
23
2, 4nn=− =
23
,
N
1
=−
2.
4
5. Спектральный инвариант, отвечающий неполноте ин-
формации, имеет вид
∗
()0СС N
T
−=
50
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]