Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимальных решений. Учебное пособие-1
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА»
Е. В. Гайлит
Методы оптимальных решений
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Санкт-Петербург
2018
УДК 519.816(075.8)
ББК 22.18я73
Г14
Р е ц е н з е н ты:
кандидат экономических наук, доцент кафедры физики Санкт-Петербургского
государственного университета промышленных технологий и дизайна
Д. К. Иванов;
социальный педагог ФГКОУ Санкт-Петербургского кадетского корпуса
Следственного комитета Российской Федерации
В. А. Корчуганов
Гайлит, Е. В.
Г14 Методы оптимальных решений: учеб. пособие / Е. В. Гайлит. –
СПб.: ФГБОУВО «СПбГПУТД», 2018. – 89 с.
ISBN 978-5-7937-1490-7
Пособие опирается на блок математических дисциплин (алгебра, аналити-
ческая геометрия, математический анализ), на общеэкономические и общепро-
фессиональные дисциплины.
Предназначено студентам, обучающимся по направлениям подготовки
38.03.01 – «Экономика», 38.03.02 – «Менеджмент», а также аспирантам и спе-
циалистам, ориентированным на деятельность в области прикладной математи-
ки и экономики.
УДК 519.816(075.8)
ББК 22.18я73
ISBN 978-5-7937-1490-7
© ФГБОУВО «СПбГУПТД», 2018
© Гайлит Е. В., 2018
2
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................... 5
Историческая справка ..................................................................................... 6
1. Система. Модель. Моделирование ............................................................ 8
1.1. Основные определения ............................................................................ 8
1.2. Схема управления ................................................................................... 12
1.3. Экономическая система ......................................................................... 13
2. Математический аппарат теории оптимального управления ........... 15
2.1. Постановка основной задачи оптимального управления ................... 15
2.2. Понятия и определения для задач оптимального управления ........... 20
2.3. Виды управлений .................................................................................... 24
2.4. Общая формулировка задачи оптимального управления……..…… 24
2.5. Основные типы функционалов .............................................................. 25
2.6. Необходимое условие оптимальности.................................................. 26
2.7. Свойства оптимальных управлений и траекторий .............................. 27
2.8. Варианты ограничений вдоль траектории ........................................... 29
2.9. Варианты краевых условий ................................................................... 29
3. Достаточные условия оптимальности .................................................... 29
3.1. Вспомогательные математические конструкции ................................ 30
3.2. Достаточные условия оптимальности для непрерывных процессов 33
3.3. Обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности…….34
4. Задача Эйлера .............................................................................................. 37
4.1. Постановка задачи и типы ее решения ................................................. 37
4.2. Постоянная индикатриса ........................................................................ 39
4.3. Индикатриса с ограниченной нелинейностью..................................... 40
4.4. Уравнение Эйлера ................................................................................... 41
4.5. Задача о линии наименьшей длины…………………………………..46
5. Метод Лагранжа-Понтрягина для непрерывных
управляемых процессов ......................................................................................... 50
5.1 Вывод уравнений метода Лагранжа-Понтрягина ................................. 50
5.2. Условие трансверсальности ................................................................... 54
5.3. Принцип максимума Понтрягина ......................................................... 57
5.4. Принцип максимума как достаточное условие оптимальности……62
6. Динамическое программирование .......................................................... 66
6.1. Условия применимости .......................................................................... 66
6.2. Задача динамического программирования .......................................... 66
6.3. Алгоритм решения многошаговых задач ............................................. 68
6.4. Принцип оптимальности Беллмана ...................................................... 71
6.5. Уравнения Беллмана ............................................................................... 72
6.6. Метод динамического программирования ........................................... 75
6.7. Модели динамического программирования ........................................ 78
6.7.1.Задача оптимального распределения ресурсов ................................. 78
6.7.2. Задача о распределении денежных ресурсов .................................... 80
3
6.7.3. Оптимизация стратегии использования оборудования
на предприятии ....................................................................................................... 81
6.7.4. Модель оптимального управления запасами .................................... 83
6.7.5 Классическая модель оптимального управления запасами……......86
Заключение…………………………………………………………………..88
Библиографический список ……………………………………………......89
4
Введение
Предлагаемое учебное пособие содержит специальные главы курса «Мето-
ды оптимальных решений», который читают на кафедре «Математики» для
студентов «Санкт-Петербургского государственного университета промышлен-
ных технологий и дизайна», обучающихся по направлению «Менеджмент»,
(профиль: Логистика).
Пособие представляет материал той части курса, которая посвящена зада-
чам оптимального управления. Изложен основной лекционный материал. Тра-
диционные разделы курса соответствуют типам математических моделей (модель управления запасами, модель замены оборудования, модель оптимального
распределения ресурсов и т. д.). Подробно формулируются условия примени-
мости каждой рассматриваемой модели. Точные формулировки необходимых
математических определений и результатов сопровождаются подробными геометрическими пояснениями и экономическими интерпретациями. На практических занятиях при анализе относительно реалистичных ситуаций обязательно
мотивируется выбор модели, и описываются необходимые упрощающие предположения.
Методы оптимального управления являются непосредственной математи-
ческой базой для постановки и исследования ряда практических и теоретических вопросов экономической науки. Экономические приложения теории оптимизации в литературе называются задачами рационального ведения хозяй-
ства. Теория оптимального управления изучает методы, которые используются
для исследования динамических задач рационального ведения хозяйства. Кроме
того, необходимо заметить, что наиболее важные и интересные методы прикладной математики, полученные во второй половине ХХ в., относятся именно
к теории оптимального управления. Этими важными результатами являются
динамическое программирование и принцип максимума Л. С. Понтрягина.
Основной целью изучения дисциплины «Методы оптимальных решений»
является получение базовых знаний, необходимых для создания и исследования
динамических моделей экономики для получения оптимальных решений. Данный курс научит студентов ставить и решать соответствующие прикладные
экономические задачи. Объединяя экономическую теорию с математическим
аппаратом, он должен дать слушателям методики и инструменты для анализа
реальных ситуаций и выбора целесообразных решений.
Пособие будет полезным студентам, аспирантам и специалистам, ориен-
тированным на деятельность в области прикладной математики и экономики.
5
Обозначения, принятые в теории оптимального управления
)(x
dx
df
),(1xf
)(xf
n
nk,
)(*sZ
k
nk,
f '(x) =
= (
…,
)T – производная вектор-функции f(x) = (f1(x),
…, fn(x))T из R в Rn в точке x R.
ψ
, ψ(t) = (ψ1(t), …, ψn(t)) – сопряженные (или двойственные) переменные.
0
H(x(t), u(t), t, ψ(t), ψ(0) – функция Гамильтона (Гамильтона – Понтрягина),
или гамильтониан.
Обозначения, принятые в динамическом программировании
sk = k(s
Xk(s
k –1
объекта управления s
, xk) – фазовое уравнение (уравнение перехода).
k – 1
) – множество допустимых управлений на шаге k при состоянии
в начале этого шага.
k–1
Sk – множество состояний, в которых может находиться объект управле-
ния в конце шага k.
Pn(s0, Sn) – задача поиска управления, которое с наибольшим эффектом за n
шагов переводит объект из состояния s0 в одно из состояний sSn.
Qk(s) – задача P
n – k + 1
(s, Sn).
x(k, s) – условно оптимальное управление для шагов с номерами i
Zk(s, xk) – максимальный эффект, достижимый на шагах k, …, n, если шаг k
начинается в состоянии s и на этом шаге применяется управление xk.
.
– условный максимум для шагов с номерами i
.
Историческая справка
На протяжении всей истории люди при необходимости принимать реше-
ния прибегали к сложным ритуалам. Они устраивали торжественные церемо-
нии, приносили в жертву животных, гадали по звездам и следили за полетом
птиц. Они полагались на народные приметы и старались следовать примитивным правилам, облегчающим им трудную задачу принятия решений. Поэтому
необходимость принятия решений так же стара, как и само человечество.
Задачи оптимального управления относятся к теории экстремальных задач,
т. е. задач определения максимальных и минимальных значений. О некоторых
таких задачах писали еще Аристотель (384–322 гг. до н. э.), Евклид (III в. до
н. э.) и Архимед (287–212 гг. до н. э.). Все мы знаем рассказ о том, как Дидона
(царица Тира) в обмен на ничтожные безделушки выторговала у вождей племен, населявших север Африки, право владеть клочком земли, который покроет
воловья шкура.
Дидона и не думала класть шкуру на землю — нет, она аккуратно разреза-
ла ее на тончайшие ремни и связала их вместе. Коварная финикийка окружила
ими огромный участок земли и основала на этом месте Бирсу (карфагенскую
цитадель), где впоследствии и царствовала.
При этом она решила так называемую изопериметрическую задачу; конеч-
но, ее решением оказался круг. Изопериметрические задачи были тщательно
6
изучены Эйлером, который сформулировал то, что теперь называют изопери-
метрическим правилом Эйлера.
Дальнейшее развитие теории экстремальных задач привело в XX в. к со-
зданию линейного программирования, выпуклого анализа, математического
программирования, теории минимакса и некоторых иных разделов, одним из
которых является теория оптимального управления. Эта теория, подобно дру-
гим направлениям теории экстремальных задач, возникла в связи с актуальны-
ми задачами автоматического регулирования в конце 40-х годов (управление
лифтом в шахте с целью его наискорейшей остановки, управление движением
ракет, стабилизация мощности гидроэлектростанций и др.).
Заметим, что постановки отдельных задач, которые могут быть интерпре-
тированы как задачи оптимального управления, встречались и ранее, например,
в «Математических началах натуральной философии» И. Ньютона (1687 г.).
Сюда же относятся и задача Р. Годдарда (1919 г.) о подъеме ракеты на заданную высоту с минимальными затратами топлива, и двойственная ей задача о
подъеме ракеты на максимальную высоту при заданном количестве топлива.
За прошедшее время были установлены фундаментальные принципы тео-
рии оптимального управления: принцип максимума и метод динамического
программирования. Указанные принципы представляют собой развитие классического вариационного исчисления для исследования задач, содержащих
сложные ограничения на управление. Сейчас теория оптимального управления
переживает период бурного развития как в связи с наличием трудных и интересных математических проблем, так и в связи с обилием приложений, в том
числе и в таких областях, как экономика, биология, медицина, ядерная энергетика и др.
Выдающуюся роль в развитии теории оптимального управления сыграл Л.
С. Понтрягин, который сформулировал принцип максимума, позволяющий с
помощью множителей Лагранжа свести задачу оптимального управления к некоторой специальной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
После работ Л. С. Понтрягина и его школы в теории оптимального управ-
ления произошла та канонизация методов и языка, которая свидетельствует о
появлении новой дисциплины. Она получила название теории оптимального
управления.
7
1. СИСТЕМА. МОДЕЛЬ. МОДЕЛИРОВАНИЕ
1.1. Основные определения
Объектами управления МОР являются управляемые системы, описывае-
мые дифференциальными и конечно-разностными уравнениями соответственно
для непрерывных или дискретных (многошаговых) процессов. Понятия и опре-
деления: система, модель, обратная связь, внешняя среда, замкнутая и разо-
мкнутая системы, существенные или несущественные факторы, обусловленные целевой ориентацией при изучении объекта исследования, – это понятийный аппарат основ управления, в частности, МОР.
Наблюдение, анализ и моделирование являются средствами познания и
прогнозирования процессов, явлений и ситуаций во всех сферах объективной
деятельности.
Говоря, например, о системах застройки города или района, кровообращения, управления предприятием, о системе уравнений, прежде всего, имеют
ввиду некую совокупность. Но любая ли совокупность может быть названа си-
стемой? Вряд ли кто-то назовет системами совокупность выброшенных старых
вещей или луж на асфальте после дождя. Ни то, ни другое никак не упорядоченно, не отвечает определенной цели, в соответствии с которой эта совокупность сформирована. Первое свойство систематизации, системного представле-
ния о рассматриваемом объекте – это наличие цели, для реализации которой
предназначается данная совокупность предметов, явлений, логических представлений, формирующих объект. Цель функционирования системы редуцирует системные признаки, с помощью которых описываются и характеризуются
элементы системы.
Допустим, что целью является реструктуризация системы управления
предприятием (фирмой) на ординарном уровне. Нужно ли для этого знать фамилии и размеры зарплаты каждого работника? Нет, так как эти данные, хотя в
своей совокупности в большей или меньшей степени влияют на режим управления, но не являются наиболее важными на персональном уровне. Выделим
существенные системные признаки. К ним относятся: рыночный спрос на продукцию производителя и число наименований выпускаемой продукции, производственные мощности предприятия по выпуску продукции различных наиме-
нований и аналогичные показатели предприятий-конкурентов, обеспеченность
материалами, трудовыми ресурсами, общий фонд заработной платы и условия
ее использования и т. д. Особо следует выделить узкие места. К ним относятся
факторы и условия, сдерживающие повышение эффективности производства.
Сущностью системы управления предприятием относительно отражений условий управляемости последним является установление и описание взаимосвязей
и взаимозависимостей между наиболее существенными факторами и характеристиками предприятия. Еще раз подчеркнем, что речь идет о предприятии
(фирме) как производственно-экономической системе с позиции управляемости
8
им, т. е. предприятие рассматривается как объект управления. Именно исходя
из этого и определены существенные признаки объекта. При изменении цели
могут стать другими как существенные признаки, так и связи с внешней средой.
Например, если на том же предприятии будут анализироваться уровень квали-
фикации работников и организация оплаты их труда, то ведомость на получе-
ние заработной платы, ранее не предоставлявшая первостепенного значения,
станет теперь основным документом.
Таким образом, для выделения системы требуется наличие:
а) цели, для реализации которой формируется система;
б) объекта исследования, состоящего из множества элементов, связанных
в единое целое важными относительно цели системными признаками;
в) субъекта исследования («наблюдателя»), формирующего систему;
г) характеристик внешней среды по отношению к системе.
Наличие субъекта исследования и возможная неоднозначность, субъективность при выделении существенных системных признаков вызывают значительные трудности в процессе выделения системы и соответственно ее универсального определения. Поэтому необходим более подробный системный ана-
лиз.
Изложенный выше вербальный подход дает возможность определить си-
стему как упорядоченное представление об объекте исследования относитель-
но поставленной цели. Упорядоченность заключается в целенаправленном вы-
делении системообразующих элементов, установлении их существенных признаков, характеристик взаимосвязей между собой и с внешней средой. Системный подход, формирование систем позволяют выделить главное, наиболее существенное в исследуемых объектах и явлениях; игнорирование второстепенного упрощает, упорядочивает в целом изучаемые процессы. Для анализа многих сложных ситуаций такой подход важен сам по себе, однако, как правило,
построение системы служит предпосылкой для разработки или реализации мо-
дели конкретной ситуации.
Описанный подход предполагает ясность цели исследования и детерми-
нированное к ней отношение всех элементов системы, взаимосвязей между ни-
ми и с внешней средой. Такие системы называют детерминированными. Это не
означает, что все предпосылки, лежащие в основе их построения, на практике
выполняются. Однако во многих случаях, и это характерно для экономики, цель
исследований – изучение и анализ природы усредненных и устойчивых в сред-
нем показателей. Это определяет детерминированный подход к построению
системы.
Перейдем к рассмотрению сущности понятий модель и моделирование.
Слово «модель» (фр. modele) имеет несколько значений – образцовый экземпляр какого-либо изделия; вид, тип конструкции (например, автомобиля); мате-
риал, натура для художественного произведения; копия, воспроизведение
предмета, обычно в уменьшенном размере; исследуемый объект, представлен-
ный в наиболее общем виде.
9
Следовательно, модель – формализованное представление об объекте ис-
1
1
следования относительно поставленной цели.
Модели можно различать по характеру моделируемых объектов, сферам
приложения, глубине моделирования. В зависимости от средств моделирования
выделяют материальное (предметное) и идеальное моделирование.
Моделирование – это исследование объекта посредством изучения его
модели. Модель объекта – искусственная или естественная система, которая
находится в объективном соответствии с исследуемым объектом, способна замещать его в интересующих исследователя отношениях и в результате исследо-
вания дает информацию о моделируемом объекте
. В экономических исследо-
ваниях, как правило, невозможно провести натурный эксперимент или найти
материальный аналог исследуемого объекта, поэтому используют идеальные
модели, т. е. умозрительные подобия реальных систем, процессов, явлений.
Идеальная модель может быть интуитивной или знаковой.
Интуитивная модель – это неформализованная совокупность индивиду-
альных или групповых представлений об объекте. Даже решение, принятое без
осознанного использования какой-либо модели, обосновано, как правило, мыс-
ленным экспериментом с некоторой интуитивной моделью.
Знаковая модель описывается выражениями некоторого формального языка с указанием правил их преобразования и интерпретации. Интерпретация
устанавливает соответствие между моделью и реальностью, образом и прообра-
зом.
Математическая модель – это знаковая модель, которая описана на языке
математики и может быть исследована средствами математики. Такая модель
использует формализации постулируемых свойств моделируемого объекта в
качестве исходных предположений. Она сопоставляет элементам объекта, ха-
рактеристикам внешней среды и связям между ними некоторые абстракции (па-
раметры, переменные, функции и пр.) и связывающие их математические соот-
ношения. Результаты анализа математической модели соответствуют реальности в той же степени, в какой реалистичны исходные предположения. Следова-
тельно, проблема адекватности модели сводится к обоснованию исходных
предположений, которые должны быть скорректированы, если выводы из модели не согласуются с наблюдаемыми свойствами объекта. Для уточнения
предположений модели применяют обычно статистические и эконометрические
методы.
Формулировка А. А. Ляпунова, см.: Беллман, Р. Процессы регулирования с адапта-
цией / Р. Беллман. – М. : Наука, 1964. – С. 24.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]