Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимальных решений. Учебное пособие-1
.pdf
R(t, x, u) =
00
0
( , , ) ( , ) .
x
g t x u h t d
t
(4.17)
Так как функция ф(t, x) уже задана формулой (4.16), далее в соответствии с
( ), ( )x t u t
,
( , ( ), ( )) max ( , , ,)
xu
R t x t u t R t x u
.
(4.18)
( ), ( )x t u t
)(),( tutx
M
20
2
( ) 0
f
x x t
u
f
;
)(tuu
.
(4.19)
20
2
0.
fu
f
)(),( tutx
,
( , ( ), ( )) max ( , , ,),
xu
R t x t u t R t x u
(4.20)
( ), ( )x t u t
0
0
( , , ) ,
T
F f t x u dt
0
φφ
( , , ) ( , , )R t x u u f t x u
xt
теоремой необходимо максимизировать R и найти
такие, что
Чтобы процесс (
) был допустимым, необходимо выполнить урав-
нение процесса (4.2) и граничные условия (4.3), хотя в общем случае эти требования не обязаны выполняться, если только исходить из (4.18).
4.4. Уравнение Эйлера
При исследовании этого варианта задачи Эйлера будем предполагать, что:
1) оптимальный процесс существует среди допустимых, т. е. (
)
;
2) индикатриса выпукла в точках оптимальной траектории, ему отвечает
условие
Последнее на практике, до получения оптимального решения, проверить
невозможно, поэтому обычно предполагается выполнение более сильного
условия
Как и выше, будем опираться на теорему, согласно которой если существу-
ет процесс (
) и функция ф(t, x)
то процесс (
) оптимальный. В условии (4.20) ограничений х и u не
предполагается.
Функция R(t, x, u), как уже было выше показано, для задачи Эйлера:
x'= u,
x(0) = x0,
x(T) = x1,
.
41
Если она непрерывна и дифференцируема, то необходимыми условиями
1)
()
()
0
x x t
u u t
R
x
; 2)
()
()
0
x x t
u u t
R
u
.
(4.21)
,xu
φφ
,
xt
ux,
δφ
ψ( )
δ
tx
()x x t
.
(4.22)
00
, , ,
δ δφ δ δ
ψ( ) 0
δ δ δ δ
x u x x u x u
R f f
t
u x u u
2 0 2
2
, , , ,
δ δ φ δ δ φ
δ δ δ δ δ
x u x u x u x u
Rf
u x x t x
.
(4.23)
ux,
22
2
()
δ φ δ φ δφ( , )
ψ( )
δ δ δ δ
x x t
d t x
xt
x t x dt x
.
(4.24)
0
,,
δδ
ψ( )
δδ
x u x u
Rf
t
xx
0
,,
δδ
ψ0
δδ
x u x u
Rf
xx
0
,,
δδ
ψ( ) 0
δδ
x u x u
Rf
t
uu
0
,
δ
ψ
δ
xu
f
x
;
(4.25)
максимума при отсутствии ограничений на х и u будут
Чтобы функция R была непрерывной и дифференцируемой в точке
надо, чтобы: а) функция f0(t, x, u) была непрерывной и дифференцируемой; б)
также были непрерывны и дифференцируемы. Это означает дважды
дифференцируемость функции ф(t, x) в точке
.
Введем в рассмотрение функцию
И, учитывая (4.22), представим второе условие (4.21) в следующем виде:
.
Первое необходимое условие (21) дает
Так как в процессе
допустимый, имеет место соотношение, в силу чего
первое и последнее слагаемые в правой части (4.23) представляют полную производную функции ф(t), т. е.
С учетом (4.24) выражение (4.23) примет следующий вид:
А необходимые условия оптимальности таковы:
или
42
.
;
,
0
,
δ
ψ
δ
xu
f
u
.
(4.26)
( ), ( ), ψ( )x t u t t
ux
00
δ ( , , ) δ ( , , )
0
δδ
x x x x
u x u x
d f t x u f t x u
dt u x
.
(4.27)
10
)(,)0( xTxxx
.
(4.28)
)(tx
xu
2 0 2 0 2 0 0
2
δ δ δ δ
( ) 0.
δ δ δ δ δ δ
xx
ux
f f f f
xx
u x u x t x
20
2
δ
0
δ
f
u
f
x(t, C
1, C2
) = x0,
x(T, C1, C2) = x1.
(4.30)
Выполнение необходимых условий оптимальности привело к системе из
двух уравнений (4.25) и (4.26) с тремя неизвестными функциями:
Добавляя уравнение процесса и граничные условия (4.2) и (4.3), получим си-
стему трех дифференциальных уравнений с тремя искомыми функциями и двумя граничными условиями. Исключим из указанной системы уравнений вспо-
могательную функцию ψ(t). Для этого продифференцируем по t уравнение
(4.26) и вычтем из него (4.25). Учитывая, кроме того, что
, получим урав-
нение второго порядка – необходимое условие
И граничные условия
Уравнение (4.27) впервые было получено Л. Эйлером в качестве необходимого условия, которому должна удовлетворять функция состояния процесса
для задачи (4.1)–(4.3). Уравнение условия (4.28). Действительно, пользуясь
.
правилом дифференцирования сложной функции и учитывая, что частная производная функции f0(t, x, u) по управлению u определяется при
, получим
При этом коэффициент при старшей, второй производной отличен от нуля,
так как, по условию,
Общее решение дифференциального уравнения (4.29) x = x(t,C1,C
.
) содер-
2
жит две произвольные постоянные и является двухпараметрическим семейством кривых. Среди этого семейства нужно выделить кривую, удовлетворяю-
щую граничным условиям (4.28).
Для определения постоянных интегрирования C1 и C2 имеем систему двух
алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
Если окажется, что найденное решение системы (4.30) единственное и,
кроме того, по предложению, оптимальный процесс существует, то найденное
решение оптимальное.
43
Можно получить более общие необходимые условия, сняв сделанное в
00
1
(,ψ, , ) ψ ( , , ) ψ ( , , )
n
kk
k
H t x u u f t x u u f t x u
,
(4.31)
0
1
δφ δφ
( , , ) ( , , )
δδ
n
k
k
k
R t x u u f t x u
xt
,
(4.32)
δφ δφ
( , , ) ( , , , )
δδ
R t x u H t x u
xt
.
(4.33)
(,ψ, ) argmax ( ,ψ, , ) argmax ( ,ψ, )
uu
u t x H t x u R t x
(4.34)
()
δφ
ψ
δ
x x tx
)(tx
(,ψ, , ) max ( , ψ, , )
u
H t x u H t x u
δ
0,
δ
j
R
x
2 0 2
()
δ δ φ δ ( , , ) δ φ
0
δ δ δ δ δ δ
n
k
x x t
kz
j j k j j
R f t x u
u
x x x x t x
начале главы предположение о том, что размерность вектора состояния х равна
единице (n =1). Будем рассматривать общий случай, когда n = r ≥1. В данном
случае требование n = r обусловлено векторным уравнением процесса (4.2).
Введем обозначение
где ψu обозначает скалярное произведение соответствующих векторов; ψkuk –
k-е компоненты этих векторов.
Функция H(t, ψ, x, u), определенная формулой (4.31), носит название функции Гамильтона.
Для задачи Эйлера при n ≥1 имеем
или, учитывая (4.31),
Для максимизации функции R(t, x, u) по х необходимо, чтобы достигался
ее максимум по u при x =x(t). А так как функция ф(t, x) не зависит от управле-
ния u, то, исходя из (4.33), получаем
(напомним, что
), т. е. в точках оптимальной траектории x =
функция Гамильтона должна иметь максимум по управлению u.
Условие (4.34), записанное в виде
, называется
необходимым условием Вейерштрасса.
Обратимся к необходимым условиям стационарности функции R(t, x, u) по
х:
j є {1, …, n}.
В соответствии с (4.32) получаем
44
, j {1, …, n}.
Или, учитывая (4.2), преобразуем
0
( ) ( )
1
δ δφ δ δφ δ ( , , )
( ) ( )
δ δ δ δ δ
n
k
x x t x x t
k
k j j j
f t x u
x
x x t x x
,
(4.35)
0
()
δ ( , , )
ψ
δ
x x t
j
f t x u
x
(,ψ, , ) max ( , ψ, , )
u
H t x u H t x u
0
,,
δ δ ( , , )
ψ0
δδ
j
x u x u
jj
R f t x u
xx
, j{1, …, n};
(4.36)
jj
ux
01
(0) , ( )x x x T x
(,ψ, )u t x
0
, ( , ψ, )
δ
ψ
δ
j
x u t x
j
f
x
, j {1, …, n};
(,ψ, )
jj
x u t x
,
10
)(,)0( xTxxx
.
(4.37)
( ),ψ ( )
jj
x t t
01
(0) , ( )
j
x x x T x
( ),ψ ( ).
jj
x t t
)(tu
( ) ( ,ψ( ), ( ))u t u t t x t
( ), ( )x t u t M
откуда имеем
, j {1, …, n}.
Итак, кроме уравнения Эйлера (4.27) получены следующие условия оптимальности:
условие Вейерштрасса:
;
условие стационарности функции R по х:
уравнение процесса:
, j{1, …, n};
граничные условия:
.
Определение: соотношения (4.36) носят название необходимых условий
оптимальности для задачи Эйлера в форме принципа максимума Понтрягина.
Далее этот метод оптимизации управляемых систем будет изучаться подробнее.
Если из условия Вейерштрасса найти
, то необходимые условия
оптимальности примут вид
Таким образом получена система 2n дифференциальных уравнений первого порядка (4.37) с 2n неизвестными
и 2n граничными условиями (в
векторной форме)
нений (4.30), определить произвольные постоянные интегрирования. Решив си-
стему уравнений (4.37), найдем пару векторов-функций
управления
получим по формуле (4.34):
вектор-функций
, позволяющими, аналогично системе урав-
– допустимый процесс.
Вектор
. Причем пара
45
В заключении отметим, что необходимыми требованиями выполнения
20
2
,,
δδ
0, 0
δδ
x u x u
jj
Hf
uu
f
0 2 0
2
,
δδ
ψ 0, 0
δδ
j
xu
jj
ff
uu
f
20
2
,
δ
0
δ
xu
j
f
u
f
условия Вейерштрасса являются:
1)
2)
,
, j {1, …, n}.
Это соответственно дает при j {1, …, n} необходимые условия опти-
мальности Лежандра. Если условие Лежандра
, j {1, …, n}
не выполняется, полученная в результате решения системы уравнений (4.37)
траектория будет заведомо неоптимальной.
4.5. Задача о линии наименьшей длины
Гарантировать оптимальность процессов, полученных в результате решения уравнения Эйлера (4.27) или системы дифференциальных уравнений (4.29)
с граничными условиями (4.28) в обоих случаях, вообще говоря, нельзя, так как
при этом выполнены только необходимые условия. Чтобы ответить на вопрос,
является ли найденный процесс оптимальным, необходимо провести дальней-
шее исследование. При этом можно выделить два подхода.
Первый подход основан на доказательстве существования и единственно-
сти оптимального процесса. Однако факт единственности не всегда имеет
место.
Второй подход состоит в доопределении функции . При этом сле-
дует учитывать, что необходимые условия (в форме принципа максимума) за-
дают не всю функцию , а только в точках оптимальной
траектории. Во всем остальном функция свободна. В качестве примера,
иллюстрирующего процесс дальнейшего исследования на оптимальность, рас-
смотрим задачу о линии наименьшей длины.
Пусть на плоскости заданы точки и . Среди всех
линий на плоскости, соединяющих эти точки, требуется выбрать линию
наименьшей длины. Из элементарной геометрии известно, что это прямая. Покажем, как получить этот результат, обращаясь к изученным методам оптими-
зации.
Бесконечно малый элемент длины дуги некоторой линии равен
46
где
2
1 min,
B
t
A
t
F u dt
(4.38)
yu
(4.39)
( ) , ( ) .
A A B B
y t y y t y
(4.40)
2
argmax( 1 ;u u u
(4.43)
1
const .C
Соответственно для непрерывных и кусочно-дифференцируемых линий
можно записать
при условии
Непосредственная проверка показывает, что условие выпуклости индика-
трисы выполняется.
Составим для задачи Эйлера с выпуклой индикатрисой уравнение прин-
ципа максимума. Роль состояния здесь играет . В соответствии с условием
стационарности функции получаем
Уравнение (4.44) сразу дает
Осуществляя максимизацию
по и согласно условию (4.43), видим, что ограничений на при этом нет.
Следовательно, максимум может достигаться в стационарной точке, чему отве-
чает требование . Это дает
, откуда
47
Обеспечивает ли полученное значение (4.45) максимум функции Гамиль-
тона по , определим из требования Непосредственное вычисление
приводит к положительному ответу, так как при любом значении .
Интегрирование уравнения (4.42) с учетом (4.45) дает
Отсюда видно, что искомая линия – прямая. Произвольные постоянные
определяются из граничных условий (4.44), что приводит к системе
двух алгебраических уравнений:
Решение этой системы имеет вид
Если и имеет место необходимая предпосылка , то , согласно формуле (4.45), принимает конечное значение.
Искомое уравнение прямой:
Согласно первому подходу, нетрудно видеть, что выражение (4.46) определяет оптимальное решение. Это вытекает из того, что только оно удовлетворяет необходимым условиям оптимальности в форме принципа максимума
Понтрягина, задавая прямую, а через две точки можно провести только одну
прямую.
Оптимальность найденного решения (4.46) можно доказать по-другому.
Это отвечает второму подходу.
48
Выше было показано, что если функцию задать так, чтобы имело
1
=const,C
место требование , то будут выполняться необходимые условия
максимума функции
Очевидно, этим условиям отвечает задание функции в виде
так как для исследуемой задачи о линии наименьшей длины функция состояния обозначена через . В данной задаче
, поэтому можем
записать в соответствии с (4.47)
Согласно теореме 5.2, должно иметь место соотношение
Выражение (4.49) для функции совпадает с функцией Гамильтона, так
как для принятой функции , согласно (4.48), различающее слагае-
мое обращается в нуль. Таким образом, . Заданное формулой (4.48) выражение для функции обеспечивает только условие стационарности . Но из формулы (4.49) видно, что функция вообще не за-
висит от (т. е. условие стационарности выполняется при любом значении );
следовательно, при любом при фиксированных значениях для будет
достигаться и максимум, и минимум. Тем самым выполняется условие (4.50).
Итак, для поставленной задачи найден оптимальный процесс (4.46) и двумя способами показано, что он действительно оптимальный.
49
5. МЕТОД ЛАГРАНЖА-ПОНТРЯГИНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ
x
i
'
= fi(t, x, u), i{1, …, n}.
(5.1)
u U
t
, U
t
R
r
,
(5.2)
xi(0) = xi0, i {1, …, n},
t = T xi(T) = xi1, i {1, …, m},
(5.3)
m ≤ n.
(5.3*)
УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ
5.1. Вывод уравнений метода Лагранжа-Понтрягина
Излагаемый ниже метод решения оптимизационных задач является одним
из наиболее эффективных в теории оптимального управления. В основе этого
метода лежат необходимые условия оптимальности. С математической точки
зрения данный метод состоит в сведении исходной задачи оптимального управления к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений.
Эта задача, по сравнению с исходной, значительно проще, что позволяет получать ее аналитическое или численное решение.
Метод Лагранжа-Понтрягина рассматривается для задач оптимального
управления, в которых отсутствуют ограничения на переменные, описывающие
состояние системы, исключения составляют начальные условия. Вывод данного метода приводится с помощью изложенных выше достаточных условий оп-
тимальности.
Рассмотрим задачу оптимального управления непрерывной системы.
Пусть модель системы задана соотношениями, представляющими собой систему дифференциальных уравнений:
x = (x1, x2, …, xn) – n-й вектор состояния системы.
u = (u1, u2, …, ur) – r-й вектор управления системой.
На управление может быть наложено ограничение:
где Rr – некоторая область возможных значений управления, которое может
меняться во времени.
Рассмотрим состояние системы в начальный момент времени:
Это дополнительное ограничение на процесс (x(t), u(t)), протекающий в
системе. Ограничения могут быть заданы не обязательно по всем переменным,
а лишь по исключительной их части. Качество рассматриваемого процесса бу-
дет описываться следующими функциями:
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]