Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимальных решений. Учебное пособие-1
.pdf
0
0
( , , ) ( ( )) min.
T
F f t x u dt F x T
(5.4)
( ), ( )x t u t
0
1
δφ δφ
( , , ) * ( , , ) ( , , ), 0,
δδ
n
i
i
i
R t x u f t x u f t x u t T
tx
(5.5)
( ), ( )x t u t
( ) ( , ) ( )x T x F x
)(Txx
.
(5.6)
( ), ( )x t u t
)(Txx
2
( , )
ij
tx
xx
( , )
ψ ( )
i
i
tx
t
x
,
(5.7)
Если правый конец траектории процесса зафиксирован с помощью соот-
ношения (5.3*), то второе слагаемое в (5.4) является величиной постоянной и,
следовательно, не влияет на решение оптимизационной задачи.
Требуется определить процесс (
), удовлетворяющий ограничениям
((5.1)– (5.3*)) и минимизирующий функционал (5.4). Такой процесс будем
называть оптимальным.
Рассмотренная задача является частным случаем общей задачи оптимального
управления, сформулированной выше. В ней отсутствуют ограничения на со-
стояние системы.
Пусть оптимальный процесс удовлетворяет условиям теоремы 2. Это означает, что выражение
достигает максимума по переменным (х, u) в точке
, а функция
принимает минимальное значение при
Если заданы условия (5.3*) на правом конце траектории, то условие (5.6)
превращается в тривиальное, так как множество, на котором задана Φ(x), – это
единственная точка.
Так как рассматриваемый процесс
удовлетворяет перечисленным
условиям, то он называется оптимальным.
Следствия
Дополнительно предположим, что функция φ(t, x) имеет в точках
Непрерывные вторые производные:
.
.
Введем обозначения:
где i {1, …, n}.
51
Здесь вектор функция ψi(t) = (ψ1(t), …, ψn(t)) является при каждом фикси-
)(Txx
0
1
( , ,ψ, ) ψ ( , , ) ( , , )
n
i
i
i
H t x u f t x u f t x u
.
(5.8)
δφ δφ
( , , ) ( , , , )
δδ
R t x u H t x u
tx
.
(5.9)
( ), ( )x t u t
))(,( txtR
),,())(),(,( uxtRtutxtR
.
(5.10)
φx
φt
( , ( ), ( )) ( , ( ),ψ( ), )H t x t u t H t x t t u
.
(5.11)
( , ( ), ψ( ), )H t x t t u
)(tu
( , ( ),ψ( ), ( )) max ( , ( ), ψ( ), )H t x t t u t H t x t t u
.
(5.12)
)(txx
)(tuu
))(,,())(),(,( tuxtRtutxtR
рованном t значением градиента функции φ(t, x) в точках оптимальной траекто-
рии
.
Введём в рассмотрение вспомогательную формулу Гамильтона. Функция
Гамильтона (Гамильтона – Понтрягина), или гамильтониан, имеет вид
С её помощью запишем
Так как процесс
удовлетворяет достаточным условиям оптималь-
ности, то, согласно теореме 2, при любом t [0, T]
:
Отсюда вытекает, что неравенство (5.10) выполняется для всех допустимых значений управления u Ut.
Так как в (9)
и
не зависит от u, то
Это неравенство (5.11) говорит о том, что
, рассматриваемое
при каждом функциональном значении t [0, T] как функция от u достигает
своего максимального значения при u =
.
Это обстоятельство может быть выражено следующей формулой:
Таким образом, в качестве следствия из существования функции φ(t, x)
удовлетворяющей теореме 2, получено, что существуют такие функции Ψ(t) =
ψ
(t),ψ2(t), …, ψn(t), что выражение для H(t,x,ψ,u) при
1
ряет условию максимума (5.12).
Теперь воспользуемся справедливостью неравенства (5.10) при
произвольном значении x:
52
и ψ(t) удовлетво-
и
.
Из этого неравенства следует, что
( , , ( ))R t x u t
)(txx
)(txx
2
*
( ) .
22
Q S C O S
CO
QQ
0
))()(,())(),(,())(,(
))()),(,(
))(,())(,(
0
1
22
i
n
i
i
i
i
i
iii
x
tutxtf
x
tutxtf
x
txt
tutxtf
xx
txt
xt
txt
.
(5.13)
))(),(,(
))(,())(,(
0
1
22
1
tutxtf
xx
txt
xt
txt
S
n
i
iii
i
.
(5.14)
n
i
ii
j
j
i
x
tutxtf
x
tutxtf
x
txt
S
1
0
2
))(),(,(
)
))(),(,())(,(
(
.
(5.15)
( , ( ))
()
i
d t x t
dt x
)(
))(,())(,(
)(
1
2
1
2
tx
xx
txt
xt
txt
t
j
ji
n
i
i
i
))(),(,()(
'
tutxtftx
i
j
( ), ( )x t u t
1'
()
ii
St
( , ( ))
i
t x t
x
i
i
x
tuttxtH
S
))(),(),(,(
2
i
i
x
tuttxtH
t
))(),(),(,(
)(
при
достигает своего
максимального значения. Так как в рассмотренной задаче оптимального управления ограничений на состояние системы не накладывается, то в точке макси-
мума
частные предельные функции R обращаются в ноль:
Преобразуем это выражение, подставив в него формулу (5.5):
Чтобы упростить преобразования, введём следующие обозначения:
Для преобразования выражения (5.14) вычислим производную:
ψ
'=
i
.
Пользуясь правилом вычисления сложной производной, получаем
.
Верно
, так как (
) удовлетворяет уравнению процесса.
Сопоставляя последние 2 равенства, получаем, что
выражении (5.15)
на ψj(t), получим
.
Теперь выражение (5.13) с учётом (5.14) и (5.15) и получаемых S
можно записать в виде
.. Заменяя в
1
и S
i
i
2
.
53
Воспользуемся теперь условием 2 теоремы 2, из которого следует, что в
( , ( )) ( ( )) ( , ) ( ),
t
x
T x T F x T T x F x x V
при t = T.
(5.16)
t
x
V
φ ( , ) φ( , ) ( )T x T x F x
nmi
x
TxT
i
,...,1,0
))(,(
,
φ( , ( ))
ψ ( ),
i
i
T x T
T
x
то
( ( ))
ψ ( )
i
i
F x T
T
x
,
(5.17)
n
dtttxtxIJ
t
t
tx
1
0
,,max
,00xtx
,11xtx
tx
tx
'
12
( ) ( ), ( ), ..., ( )
n
x t x t x t x t
'
12
( ) ( ), ( ), ..., ( )
n
x t x t x t x t
.0
x
I
dt
d
x
I
,00xtx
.11xtx
конечный момент времени для траектории x(t) справедливо неравенство
– множество, задающееся условием, согласно которому первые m коор-
динат x1, …, xm – вектора х(Т) заданы, остальные могут принимать произвольные значения. Тогда функция
будет зависеть от (n – m) пе-
ременных x
, …, xn, так как на эти переменные ограничения не накладывают-
m + 1
ся, а функция ф(T, x), согласно (5.16), принимает минимальное значение, то
имеют место следующие равенства:
это условие трансверсальности. На этом условии остановимся подробнее в
следующем разделе.
Перечисленные условия (5.1),(5.3),(5.4),(5.12),(*),(5.17) представляют собой состояние метода Лагранжа – Понтрягина, позволяющие получить решение
задачи оптимального управления.
5.2. Условие трансверсальности
Задача классического вариационного исчисления с
-фазовыми координа-
тами имеет вид
где
и
– это векторы-столбцы:
Приведем необходимые условия для этого случая.
Уравнение Эйлера:
Граничные условия:
54
,
,
.
Рассмотрим задачу, где конечный момент времени и конечное состояние
Tttx ),(
1
tt
1
t
11
xtx
0),( ttxT
1
tt
T
)(tx
)(tz
( ) ( ) ( ).z t x t t
ε
)(tx
)(tz
)()(lim
0
txtz
1
t
0),( ttxT
1
tt
1
(εt
0),( ttzT
1
ε,tt
11
0
lim εtt
tz
1
0
()
,,
t
t
J I x x t dt
()J
ε0
tx
1
1
0
1
(ε)
ε0
ε
(0) η η 0.
εε
t
t
t
dt
dJ I I
I dt
d d x
x
1
1
0
1
1
(ε)
ε0
(ε)
(ε)
ε μ 0.
ε
t
t
t
t
dt I I d I
I t dt
d x dt
xx
,0.
x
I
dt
d
x
I
фиксированы. Если конечная точка лежит на заданной поверхности, то условие
при
определяет конечный момент времени
и конечное со-
стояние
. Пусть конечная поверхность задана с помощью условий
при
,
где
– вектор-функция фазовых координат и времени. Необходимые условия
можно получить, используя малые изменения решения. Предположим, что в задаче с одной фазовой координатой функция
есть траектория решения, а
– изменение траектория, т. е.
Параметр
варьированной траекторией
Траектория решения достигает конечной поверхности в момент
при
нечной поверхности в момент
Значение целевого функционала
измеряет «разность» между траекторией решения
, причем
.
, а проварьированная траектория решения достигает ко-
), т. е.
при
где
является функцией от ε
и про-
, т. е.
.
достигает максимума при
, что соответствует решению
Интегрируя по частям, получаем, что
Уравнение Эйлера должно выполняться, т. е.
.
, то
55
Следовательно,
1
1
1
(ε ) 1
ε0
(ε)
(ε)
η ε 0
ε
t
t
dt I
It
d
x
1
ε / εdt d
ε
1 1 1
ε εη ε , ε 0.T x t t t
11
1
1
11
εε
η ε ε 0
ε ε ε ε ε
dt dt
dt
T dx d T
t
x dt d dt d t d
0
11
1
1
T dx dt T dt
t
x dt d t d
.011
t
T
x
I
x
T
x
I
I
tt
.. 0
,
T
T dx T
x dt t
11
.. 0
0.
T
tt
I I dx
Ix
dt
xx
11
(..) 0
0,
T
tt
I I dx
Ix
dt
xx
(..) 0
/Tdx dt
. (5.18)
Выражение для производной
тельно
соотношение
найдем, дифференцируя относи-
В результате дифференцирования получаем
.
Переходя к пределу при
, получим
=0.
Составляя это выражение с (5.18), приходим к условию трансверсальности
Так как
то это условие можно представить как
В общем случае, когда в задачу входит вектор фазовых координат, условие
трансверсальности имеет следующий вид:
где
– это градиент, т. е. вектор-столбец, нормальный
к конечной поверхности.
56
5.3. Принцип максимума Понтрягина
)(),( tutx
)(tx
)(tx
)(tu
)(),( tutx
T
ii
ii
rtt
ii
TxFdtuxtfF
nmmixTx
nixx
RUUu
niuxtfx
0
0
1
0
min))((),,(
,.,1,)(
,1,)0(
,
,1),,,(
],0[)(uu значении на (t)и)( Ttttxx
ni
x
tuttxtH
i
i
,1,
))(),(),(,(
( ( ))
ψ ( ) , 1, ...,
i
i
F x t
T i m n
x
.
(5.19)
Соотношения x
’
= fi(t, x, u), i {1, …, n}, выполняющиеся на оптимальном
i
процессе, были введены как следствия теоремы 2. Эти результаты могли быть
получены и без предположений данной теоремы, а лишь исходя из оптимально-
сти процесса (
). Говоря иными словами, полученные соотношения яв-
ляются необходимыми условиями оптимальности процесса. Из этого следует,
что данное свойство, характеризующее оптимальный процесс, может быть ис-
пользовано для «сужения» исходного множества М допустимых процессов, вы-
делением из него только тех процессов, которые этим свойством обладают.
Здесь мы увидим, что совокупность приведенных условий позволяет, как правило, выделить единственную траекторию
из множества допустимых траек-
торий. Если при этом еще известно о существовании оптимальных траекторий,
то тем самым
и отвечающее ему оптимальное управление
и есть реше-
ние задачи оптимального управления.
Определение. Комплекс условий, которому должен удовлетворять опти-
мальный процесс, называется принципом максимума Понтрягина.
Теорема 2 (принцип максимума Понтрягина).
Пусть (
) – оптимальный процесс в задаче оптимального управле-
ния, удовлетворяющий условиям
Тогда существует вектор-функция Ψ(t) = (ψ1(t), ψ2(t), …, ψn(t)), удовлетворяющая вместе с данным процессом следующим условиям:
1) функция Гамильтона H(t, x, ψ, u) достигает максимального значения по
u при
2) переменная ψ(t) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений:
3) в конечный момент времени t = T оптимальная траектория удовлетворя-
ет следующим условиям:
;
;
57
Правые части уравнений fi (t, x, u), используя функцию Гамильтона, можно
( , , , )
( , , )
i
i
H t x u
f t x u
.
(5.20)
'
( , , , )
i
H t x u
x
;
(5.21)
( , , , )
( ) , 1,...,
i
i
H t x u
T i n
x
.
(5.22)
'
11
nr
i j r k
i j k
jk
x a x b u
,
(5.23)
rki
j
ba ,
rkbBaA
uuuxxxBuAxx
r
k
i
j
rn
,1;n1,ji, где,,
),...,();,...,( где,
11
0
, 1 1 1
( , , )
n n r
i l j k
j k lj
i l j k
H a x b u f t x u
.
(5.24)
0
'
1
( , , )
, 1,..., .
n
i
i j j
i
j
f t x u
a i n
x
(5.25)
0
),,(
0
i
x
uxtf
.
(5.26)
переписать в виде
Тогда система уравнений x
’
для x, ψ запишется в следующей форме:
i
Рассмотрим некоторые классы управляемых систем. Предположим, что
система уравнений процесса x
’
= fi(t, x, u) линейна, т. е. записывается в следу-
i
ющем виде:
где
– коэффициенты, зависящие от времени.
Соотношение (5.23) в векторной форме:
В этом случае функция Гамильтона будет иметь следующий вид:
А система уравнений (5.22) для сопряженных переменных будет иметь вид
В частности, если функция f0(t, x, u) не зависит от х, то соответственно выполняется
58
Рассмотрим матрицу A*={a
'*
11
nn
ij
i j j i j
jj
aa
.
(5.27)
'*
A
.
(5.28)
f0(t, x ,u) = (Cx, x) + (Du, u),
(5.29)
njidDcC
k
l
i
j
,1,;r1,kl, где,;
f0(t, x, u) =
, 1 , 1
nr
i i j k k l
jl
i j k l
c x x d u u
.
(5.30)
n
j
ji
j
i
xc
x
uxtf
1
0
2
),,(
n
j
n
j
ji
jjjii
xca
1 1
2
’
= –A + 2Cx.
(5.31)
, 1 1 1 , 1 , 1
( , , , )
n n r n r
j l j k i i j k k l
l j k j j l
l j j k i j k l
H t x u a x b u u c k x d u u
.
(5.32)
ветствия (5.25) и a
*j
= a
i
i
, получаем
j
*j
}, она является транспонированной, из соот-
i
В векторной форме
В задачах оптимального управления функция f0(t, x, u) – это часть бывшей
квадратичной функции по (х, u), т. е.:
где Сх, Du – квадратичная форма.
,
где С, D – матрицы этих форм.
В скалярном виде
i
Тогда, если c
j
= c
j
, то
i
.
Система уравнений для сопряженных переменных
.
В векторной форме
Функция Гамильтона с линейной системой (5.23) и квадратичным критерием оптимальности (5.30)
И зависит от управлений u = (u1, …, ur) квадратично.
59
Теперь рассмотрим случай, когда на управление не накладывается ограни-
( , , , )
0
i
H t x u
u
, i{1, …, r}.
(5.33)
n
j
r
i
ii
ljji
udb
1 1
02
B
*
– 2Du = 0,
(5.34)
1*
1
2
u D B
.
(5.35)
r1,lk, где,2
2
k
l
lk
d
uu
H
u
'
;x Ax Bu
1*
1
' ψ
2
x Ax BD B
.
(5.36)
),...,();,...,(
11 nn
xxx
чений, а матрица D и соответственно квадратичная форма (Du, u) положительно
определены.
Тогда (условие 1 теоремы) повлечет за собой равенство нулю ее производ-
ных в точке максимума:
Замечание. Отметим, что это является следствием отсутствия ограничений
на управление, в противном случае соотношение (5.33) в точке максимума
функции Гамильтона по управлению u выполняться не будет.
Исходя из (5.32) условие (5.33) можно переписать:
.
В векторной форме
где B*– матрица транспонированная.
Из (5.34) можно получить решение
Матрица вторых производных функции Гамильтона по u имеет элементы:
Подставим
в описывающую процесс систему:
Итак, получена система 2n уравнений для 2n переменных:
.
Таким образом, в данной задаче поиск оптимальной траектории сводится к
отысканию решения полученной системы. При этом искомое решение должно
удовлетворять начальным условиям, условиям трансверсальности и условиям
на правом конце траектории: xi(T) = xi1.
Рассмотрим задачу оптимального управления с неотрицательным време-
нем Т протекания процесса. Тогда значение Т не задано заранее и подлежит
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]