Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимальных решений. Учебное пособие-1
.pdf
6.7.3. Оптимизация стратегии использования оборудования
на предприятии
Основные производственные фонды – это средства труда, непосредствен-
но участвующие в процессе производства (станки, машины и другое оборудование), а также объекты, создающие условия для использования орудий труда
в процессе производства (здания, сооружения и т. п.). Для предприятий они
составляют основу их материально-технической базы. Качество основных
производственных фондов предприятия и, прежде всего, их активной части
(станки, машины) во многом определяет эффективность работы всего пред-
приятия.
Одним из важнейших направлений совершенствования структуры основ-
ных производственных фондов на предприятии и обеспечения ее необходимой
динамики является оптимизация стратегии замены оборудования.
В общем виде эта проблема может быть сформулирована так: для заданного горизонта планирования необходимо найти оптимальную (по критерию максимизации суммарной прибыли) политику замены (или сохранения)
того или иного вида оборудования. Другими словами, для каждого момента
времени в плановом периоде надо решить: сохранять имеющуюся в данный
момент времени технику или продать ее и купить новую с тем, чтобы суммар-
ная прибыль за весь плановый период была бы максимальной.
Для решения данной задачи целесообразно использовать аппарат дина-
мического программирования. Для обоснования целевой функции рассматриваемой модели введем следующие обозначения:
• в качестве единицы измерения времени выберем один год;
• t – «возраст» единицы оборудования (0, 1, 2, ...), где t = 0, соответствует
использованию нового оборудования;
• r(t) – прибыль, получаемая от реализации продукции, производимой за
один год на данной единице оборудования;
• u(t) – годовые эксплуатационные расходы предприятия по содержанию
единицы оборудования возраста t;
• s(t) – ликвидационная стоимость единицы оборудования возраста t;
• p – цена новой единицы оборудования.
Дискреты горизонта планирования обозначим в последовательности, поз-
воляющей записать целевую функцию данной модели, а также проанализиро-
вать логику ее последующего решения (рис. 6.3).
…
Рис. 6.3. Этапы реализации динамической модели
81
Через
)(tF
n
)(2tF
)(tF
N
ЗаменаFurpts
СохранениеtFtutr
tF
N
N
N
),1()0()0()(
),1()()(
max)(
1
1
Nt 0
)(tF
N
)(1tF
N
ЗаменаFurpts
СохранениеtFtutr
tF
N
N
N
),1()0()0()(
),1()()(
max)(
2
2
1
Nt 0
)(2tF
N
)(3tF
N
)(2tF
)(1tF
ЗаменаFurpts
СохранениеtFtutr
tF
),1()0()0()(
),1()()(
max)(
1
1
2
Nt 0
ЗаменаFurpts
СохранениеtFtutr
tF
),1()0()0()(
),1()()(
max)(
0
0
1
Nt 0
)1(0tF
)1(0F
)(1tF
)(),...,(),(
132
tFtFtF
N
)(tF
N
обозначим максимальную суммарную прибыль от использо-
вания данной единицы оборудования за последние n лет рассматриваемого
периода. Тогда, например,
будет означать максимальную прибыль от ис-
пользования единицы оборудования «возраста» t лет за последние два года.
Таким образом, для решения поставленной задачи нам необходимо рас-
считать
–максимальную прибыль от использования единицы оборудова-
ния «возраста» t лет за весь период планирования.
Очевидно, что она может быть рассчитана по следующей формуле:
при
.
В последних слагаемых приведённой формулы обозначениями (t + 1) и (1)
фиксируется, что оборудование «постарело» на один дискрет (год).
В записанной выше формуле расчета
ных) все элементы, кроме выражения
известны (из исходных дан-
, которое рассчитаем, используя
тот же принцип оптимальности Беллмана:
при
Аналогичным образом могут быть рассчитаны
до
и
.
,
и так далее
.
В частности,
при
.
при
.
В последнем аналитическом выражении известны уже все его элементы.
В частности, поскольку горизонт планирования ограничен дискретом n = 1, то
величины
Определив таким образом
рассчитывать последовательно
82
и
можно не учитывать и считать условно нулевыми.
, можно, двигаясь в обратном направлении,
и, наконец,
.
6.7.4. Модель оптимального управления запасами
Задача управления запасами является одной из важнейших областей при-
ложения математических методов. Запасы – это любые денежные или матери-
альные ценности, которые периодически пополняются (производятся, достав-
ляются), некоторое время хранятся в целях расходования их в последующем
промежутке времени. Управление запасами – это управление соотношением
между основными факторами – пополнением и расходом запасов. Цель управ-
ления состоит в оптимизации некоторого критерия, зависящего от расходов на
хранение запасов, стоимости поставок и т. д.
Природа управления запасами определяется неоднократным размещением и получением запасов заданных объемом продукции (в дальнейшем хранимых запасов) в определенные моменты времени. С этой точки зрения страте-
гия управления запасами должна отвечать на два вопроса:
1. Какое количество хранимого запаса следует заказать?
2. Когда заказывать?
Ответ на первый вопрос определяет экономический размер заказа пу-
тем минимизации следующей функции затрат.
Суммарные затраты системы управления запасами = (затраты на при-
обретение) + (затраты на оформления заказа) + (затраты на хранения заказа) +
(потери от дефицита).
Все эти стоимости должны быть выражены как функции искомого объема заказа и интервала времени между заказами.
1. Затраты на приобретение определяются стоимостью единицы прио б-
ретаемой продукции (хранимого запаса). Эта стоимость может быть постоян-
ной или со скидкой, которая зависит от объема заказа.
2. Затраты на оформление заказа представляют собой постоянные расхо-
ды, связанные с его размещением (для изготовления продукции) на других
производствах. Эти затраты не зависят от объема заказа.
3. Затраты на хранение запаса представляют собой затраты на содержа-
ние запаса на складе. Этот вид затрат включает как процент на инвестирован-
ный капитал, так и стоимость хранения, содержания и ухода.
4. Потери от дефицита запаса — это расходы, обусловленные отсутстви-
ем запаса необходимой продукции. Они включают как потенциальные потери
прибыли, так и более субъективную стоимость, связанную с потерей доверия
клиентов.
Ответ на второй вопрос (когда заказывать?) зависит от типа системы
управления запасами, с которой мы имеем дело. Если система предусматривает периодический контроль состояния запаса (например, каждую неделю или
месяц), момент поступления нового заказа совпадает с началом периода. Если
же в системе предусмотрен непрерывный контроль состояния запаса, новые
заказы размещаются тогда, когда уровень запаса опускается до заранее опре-
деленного значения, называемого точкой возобновления заказа.
83
Модели управления запасами охватывают два типа детерминированных
моделей: статические и динамические. В статических моделях рассматриваются ситуации, когда объем спроса на хранимую продукцию (запас) является
постоянным во времени. В динамических моделях объем спроса является
функцией времени.
Обобщенная модель управления запасами выглядит довольно простой.
Чем же тогда объясняется столь большое разнообразие моделей этого класса и
методов решения соответствующих задач, базирующихся на различном математическом аппарате: от простых схем дифференциального и интегрального
исчисления до сложных алгоритмов динамического и других видов математического программирования? Ответ на этот вопрос определяется характером
спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или
вероятностным (задаваемым плотностью вероятности). Детерминированный
спрос может быть статическим, в том смысле, что интенсивность потребления
остаётся неизменной во времени, или динамическим, когда спрос известен достоверно, но изменяется в зависимости от времени. Вероятностный спрос может быть стационарным, когда функция плотности вероятности спроса неизменна во времени, и не стационарным, когда функция плотности вероятности
спроса изменяется во времени.
В реальных условиях случай детерминированного статистического
спроса встречается редко. Такой случай можно рассматривать как простейший. Так, например, хотя спрос на такие продукты массового потребления,
как хлеб, может меняться от одного дня к другому, эти изменения могут быть
столь незначительными, что предположение статичности спроса несуще-
ственно искажает действительность.
Наиболее точно характер спроса может быть, возможно, описан посредством вероятностных нестационарных распределений. Однако с математической точки зрения модель значительно усложняется, особенно при увеличении
рассматриваемого периода времени.
На первом уровне предполагается, что распределение вероятности спроса
стационарно во времени. Это означает, что для описания спроса в течение
всех исследуемых периодов времени используется одна и та же функция распределения вероятностей. При таком предположении влияние сезонных коле-
баний спроса в модели не учитывается.
На втором уровне абстракции учитывается изменение спроса от одного
периода к другому. Однако при этом функции распределения не меняются, а
потребности в каждом периоде описываются средней величиной спроса. Это
упрощение означает, что элемент риска в управлении запасами не учитывае тся. Однако оно позволяет исследовать сезонные колебания спроса, которые
вследствие аналитических и вычислительных трудностей нельзя учесть вероятностной модели. Другими словами, здесь возникает определенный компромисс: можно использовать, с одной стороны, стационарные распределения ве-
роятностей, а с другой – переменную, но известную функцию спроса при допущении «определённости».
84
На третьем уровне упрощения исключаются как элементы риска, так и
изменения спроса. Тем самым спрос в течение любого периода предполагается
равным среднему значению известного (по предположению) спроса по всем
рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения спрос можно оц е-
нить его постоянной интенсивностью.
Хотя характер спроса является одним из основных факторов при по-
строении модели управления запасами, имеются другие факторы, влияющие
на выбор типа модели. К их числу относятся:
1. Запаздывание поставок или сроки выполнения заказов. После размеще-
ния заказов он может быть поставлен немедленно или потребуется некоторое
время на его выполнение. Интервал времени между моментом размещения заказа и его поставкой называется запаздыванием поставки, или сроком выполне-
ния заказа. Эта величина может быть детерминированной или случайной.
2. Пополнение запаса. Хотя система управления запасами может функци-
онировать при запаздывании поставок, процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно или равномерно во времени. Мгновенное пополнение
запаса может происходить при условии, когда заказы поступают от внешнего
источника. Равномерное пополнение может быть тогда, когда запасаемая продукция производится сомой организацией. В общем случае система может
функционировать при положительном запаздывании поставки и равномерном
пополнении запаса.
3. Период времени определяет интервал, в течение которого осуществля-
ется регулирование уровня запаса. В зависимости от отрезка времени, на кото-
ром можно надёжно прогнозировать, рассматриваемый период принимается
конечным или бесконечным.
4. Число пунктов накопления запаса. В систему управления запасами мо-
жет входить несколько пунктов хранения запаса. В некоторых случаях эти
пункты организованны таким образом, что один выступает в качестве постав-
щика для другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях, так что
пункт – потребитель одного уровня может стать пунктом – поставщиком на
другом. В таком случае принято говорить о системе управления запасами с раз-
ветвленной структурой.
5. Число видов продукции. В системе управления запасами может фигури-
ровать более одного вида продукции. Этот фактор учитывается при условии
наличия некоторой зависимости между различными видами продукции. Так,
для различных изделий может использоваться одно и то же складское помещение или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие
производственные фонды.
85
6.7.5. Классическая модель оптимального управления запасами
C
OS
Q
opt
**2
opt
Q
2
Q
2
Q
2
Q
С
S
O
Q
Q
S
Математические модели управления запасами позволяют найти опти-
мальный уровень запасов некоторого товара, минимизирующий суммарные
затраты на покупку, оформление и доставку заказа, хранение товара, а также
убытки от его дефицита.
Самая простейшая модель – модель Уилсона – имеет вид:
,
где S – общая потребность в сырье за планируемый период времени;
O – стоимость выпуска одной партии заказа;
C – затраты на хранение единицы сырья;
– оптимальный объем партии заказа в единицах.
Для вывода данной формулы приведем графическую иллюстрацию по-
ставок и расхода сырья на предприятии при отсутствии резервного запаса и
его равномерного использования (рис. 6.4).
Q
t
Рис. 6.4. Средний объем запасов
При рассматриваемых на графике условиях, средний объем запасов на
предприятии будет равен
сов составят
(р.), а общая стоимость выпуска заказа будет равна
. Тогда затраты предприятия на содержание запа-
, где
– число поставок сырья. Общие затраты на выполнение запасов должны
быть минимизированы. Запишем целевую функцию, далее возьмем производ-
ную по Q и приравняем к нулю полученное уравнение.
86
2
2
( ) min;
2
*
( )' ;
22
*
;
2
2* *
.
QS
CO
Q
Q S C O S
CO
QQ
C Q S
Q
SO
Q
C
Полученное выражение для размера заказа обычно называют формулой
экономичного размера заказа Уилсона.
Для предприятий необходимо использовать более сложные модели дина-
мического программирования.
87
Заключение
В настоящее время методы оптимальных решений являются весьма вос-
требованным разделом математики, имеющим разнообразные приложения к за-
дачам техники, экономики, управления, естествознания и самой математики.
Данное пособие отражает многолетний опыт работы автора.
Курс «Методы оптимальных решений» имеет важное значение в подготовке экономистов-математиков, так как обеспечивает компетенции в области
анализа и решения задач управления динамическими процессами.
Теоретический материал содержит систематизированные сведения науч-
ного и прикладного характера, изложенные в форме, удобной для изучения и
преподавания. Практический материал предназначен для выработки умений и
навыков применения теоретических знаний с примерами выполнения заданий.
Представлены пошаговые решения типичных задач экономического содержания и упражнений.
Автор благодарит рецензентов за полезные рекомендации и пожелания,
способствующие улучшению учебного пособия.
При изучении дисциплины используется приведенная ниже литература.
88
Библиографический список
1. Беллман, Р. Процессы регулирования с адаптацией / Р. Беллман. – М. :
Наука, 1964. – 360 с.
2. Гайлит, Е. В. Теория оптимального управления: учеб. пособие/
Е. В. Гайлит – Новосибирск: Изд-во НГПУ, 2013.
3. Гайлит, Е. В. Математические модели и методы исследования опера-
ций: учеб. пособие/ Е. В. Гайлит, А. Б. Хуторецкий. – Новосибирск: Изд-во
НГПУ, 2015.
4. Гайлит, Е. В. Финансовые институты и рынки: учеб. пособие / Е. В.
Гайлит, Н. В. Колоскова. – Новосибирск: Изд-во НГПУ, 2015.
5. Лагоша, Б. А. Методы и задачи теории оптимального управления: учеб.
пособие / Б. А. Лагоша, Т. Д. Дегтярева. – М., 1995.
6. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин [и
др.]. – М. : Наука, 1993. – 392 с.
7. Шимко, П. Д. Оптимальное управление экономическими системами:
учеб. пособие / П. Д. Шимко. – 2-е изд, доп., перераб. – СПб. : Бизнес-пресса,
2004.
89
Гайлит Евгения Валерьевна
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Издательский редактор Н. А. Ерина
Учебное электронное издание сетевого распространения
Системные требования:
электронное устройство с программным обеспечением
для воспроизведения файлов формата PDF
Режим доступа: http://publish.sutd.ru/tp_get_file.php?id=20189, по паролю.
– Загл. с экрана.
Дата подписания к использованию 09.04.2018 г. Рег. № 9/18.
ФГБОУВО «СПбГУПТД»
Юридический и почтовый адрес:
191186, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, 18.
http://sutd.ru/
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]