Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации в задачах автоматического управления. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУ
КИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
В. С. Купцов, Е. М. Васильев
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Воронеж 2025
2
УДК 519.6(075.8)
ББК 22.1я7
К926
(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. А. И. Шашкин);
В. В. Провоторов, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры уравнений
в частных производных и теории вероятности Воронежского
Купцов, В. С.
Методы оптимизации в задачах автоматического управления:
К926
учебное пособие [Электронный ресурс] / В. С. Купцов, Е. М. Васильев. —
Электрон. текстовые и граф. данные (3,3 Мб). — Воронеж: ФГБОУ ВО
«Воронежский государственный технический университет», 2025. — 1
электрон. опт. диск (DVD-ROM): цв. — Сиcтем. требования: ПК 500 и
выше; 256 Мб ОЗУ; Windows 10; SVGA c разрешением экрана 1024х768;
Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод; мышь. — Загл. с экрана.
Рецензенты:
кафедра математического и прикладного анализа
Воронежского государственного университета
государственного университета
ISBN 978-5-7731-1264-8
Изложены теоретические сведения и практические приёмы применения
методов оптимизации в задачах автоматического управления. Предназначено
для студентов направления 27.03.04 «Управление и информатика в технических системах» в качестве учебного пособия при изучении дисциплин «Математика», «Теория автоматического управления», «Теория экстремальных задач
и математическое программирование».
Ил. 20. Табл. 1. Библиогр.: 48 назв.
УДК 519.6(075.8)
ББК 22.1я7
Издаётся по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-1264-8
Купцов В. С., Васильев Е. М.,
ФГБОУ
«Воронежский
ВО
государственный технический
университет», 2025
2025
ВВЕДЕНИЕ
Многообразие методов поиска оптимальных решений предполагает использование соответствующих разделов математики, изучение которых методически целесообразно осуществлять на примерах решения прикладных задач
теории управления. Такой подход к изучению курсов «Математика» и «Теория
автоматического управления» отвечает современной концепции практической
направленности профессионального образования, и требует создания междисциплинарной учебной литературы.
Настоящее учебное пособие совмещает в себе изложение раздела математики, посвящённого методам оптимизации, с раскрытием способов и приё
мов
использования этих методов в конкретных разделах теории автоматического
управления и принятия решений.
В пособии рассматриваются теоретический материал и задачи практической оптимизации, возникающие при синтезе систем автоматического управления различными объектами:
— теория матриц;
— си
стемы алгебраических уравнений;
— процесс производства азотной кислоты;
— система управления с оптимальным быстродействием;
— газопровод в аварийном режиме;
— синтез робастных систем с модальным управлением;
— оптимальный модальный регулятор;
— синтез адаптивного регулятора.
Разделы пособия снабжены многочисленными примерами и иллюстра-
циями
Содержание пособия сформировано авторами в течение ряда лет в ре-
зультате чтения лекций в Воронежском государственном техническом университете.
3
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫ
УРАВНЕНИЙ. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
1.1. Определители, их свойства и вычисление
Рассмотрим квадратную матрицу, т.е. таблицу чисел, состоящую из n
строк и n столбцов
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ:
Х
aa a
aa a
А=
aa a
...
11 12 1
21 22 2
... ... ...
12
nn nn
...
...
...
n
n
.
Для этой матрицы можно ввести числовую характеристику, которая на-
зывается определителем n-го порядка и имеет вид:
...
...
...
n
n
Будем
aa a
11 12 1
aa a
∆ = det A=
называть элементами определителя (i = 1,2,...,n – номер строки,
a
ij
21 22 2
... ... ... ...
aa a
12
nn nn
j = 1,2,...,n – номер столбца).
aa
Если n=2 , то имеем матри
цу
A
11 12
aa
21 22
. И для нее можно записать опреде-
литель 2-го порядка, который вычисляется по формуле:
aa
11 12
aa
21 22
aa aa
11 22 12 21
.
И также можно записать и вычислить определитель 3-го порядка (n=3) для матрицы
aaa
11 12 13
aaa
А=
21 22 23
aaa
31 32 33
4
, но будем его вычислять по другой формуле:
aaa
11 12 13
∆=
aaa
21 22 23
aaa
31 32 33
=
aaa aaa aaa
11 22 33 13 21 32 31 12 23
aaa aaa aaa .
13 22 31 11 32 23 33 12 21
Cхема вычисления его будет:
A
p
А
= + + –
–
–
– ,
где берется произведение элементов, стоящих на одной линии.
Пример вычисления
132
54 114325 2 3 10
023
2 4 0 1 1 2 3 5 3 35.
Определителем n-го порядка называется число,
матрицы
aa a
11 12 1
aa a
21 22 2
... ... ... ...
,
a
...
...
,1,ij n
ij
n
n
определителя 3-го порядка:
по формуле
k
aa a
1....
pp np
12
12
n
полученное из элементов
aa a
nn nn
12
Оно вычисляется, как су
Степень k — это число инверсий перестановок (р
...
мма элементов
aa a
...
12
pnp
12
…pn ). Если два числа в пере-
1,
, взятых со знаком
n
.
1k
становке имеют инверсию и если большее стоит левее меньшего, то перестановка (1,2,3,4,5) имеет две инверсии. Вычеркнем в определителе n-го порядка
элемент двумя перпендикулярными линиями, и получим определитель n-1
порядка, который будем называть минором Mij. Введем к элементу алгебраическое дополнение по формуле
a
ij
a
ij
ij
1
ij ij
. Тогда можно доказать, что
M
определитель равен:
aa a
11 12 1
aa a
21 22 2
... ... ... ...
aa a
nn nn
12
...
...
...
n
n
aA a A aA aM
i i i i in in ij ij
11 2 2
... 1
ij
для любого фиксированного i=1,2,…,
Здесь сумма берется по j.
n.
5
Пример 1. Найти минор M12 в определителе 4-го порядка.
M
1 2 3 4
5 6 7 0
9 10 11 12
13 14 15 1
.
Согласно определению, необходимо вычеркнуть из определителя первую
строку и вторую второй столбец, содержащие элемент a
12
.
Получим
5 7 0
9 11 12
M
12
13 15 1
.
Пример 2. Вычислить алгебраическое дополнение элемента
a в опреде-
21
лителе
5 7 0
9 11 12
13 15 1
.
Согласно определению, алгебраическое дополнение к элементу
a
равно
21
Пример 3. Найти з
0 1 4
1 2 1 = 0
3 4 5
∙(1)
Пример 4.
А
начение определителя:
21
1+1
1 ∙1
45
Вычислить:
21
=
21
1
21
0 1 4
1 2 1
3 4 5
Решение.
11
35
1 0 2 0
2 1 4 1
0 2 -2 3
= (–1)
70
15 1
.
4 ∙1
= -7.
12
34
2 4 6.
3 2 0 -1
6
Решение.
С помощью элементов первой строки и алгебраических дополнений к ним
имеем комбинацию в виде определителей третьего порядка и соответствующих
им элементов. Наличие нулей в строке позволит сократить вычисления.
1 0 2 0
2 -1 4 1 =1
0 2 -2 3
3 2 0 -1
∙1
1 41
∙
223
201
+2∙
1
2 11
∙
0 23
3 2 1
=(-2-24-4+8)+2(-4-9-6+12)= -36.
Основные свойства для определителей любого порядка
1. Если все cтроки и столбцы в определителе поменять местами, то значе-
ние данного определителя не изменится
2. Определитель, который содержит две равные строки
(столбца), равен
нулю.
3. Общий множитель элементов строки (столбца) может быть вынесен за
знак определителя
.
4. Если поменять местами две строки (столбца), то определитель меняет
знак на противоположный.
5. Значение определителя меняется, если к элементам одной строки
(столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), ум-
ноженные на одно и то же число.
Пример 5.
Найти определитель
aak
bbl
ccm
Реш
Запишем определитель как сумму;
1
2
3
aa
=
bb
cc
Так как
ak
bl
cm
aak
bbl
ccm
aa
bb
cc
1
2
3
1
2
=0 , а второй вычислим как:
3
=3al+bm+2kl–cl–2am–3k, то это значение и будет ответом.
ние.
е
1
2
3
1
2
3
ak
+
bl
cm
1
2
.
3
7
Пример 6. Путем преобразованием определителя вычислить
12 34
10 12
.
3110
12 05
Решение.
Согласно свойствам определителя, приведем его к виду:
12 3 4
10 1 2
3110
12 0 5
1234
= – 6 ·
0111
0035
0013
12 3 4
02 2 2
=
0 7 10 12
00 3 9
= – 6 ·
=(–2)·(–3)·(–1)·
123 4
011 1
003 5
0004/3
12 3 4
01 1 1
0 7 10 12
00 1 3
12 3 4
= – 6 ·
01 1 1
0 7 10 12
00 1 3
=
= – 6·3·(4/3) = – 24.
=
Замечание. Этот определитель вычислим еще по-другому:
∆ = – 6 ·
= – 6·(–1)
12 3 4
01 1 1
071012
00 1 3
35
1+1
13
= – 6·(–1)
– 6·(9–5) = – 24.
11 1
1+1
71012
·
01 3
= (–6)·
111
035
013
=
1.2. Системы линейных уравнений. Правило Крамера
1.2.1. Системы двух- и трехлинейных уравнений
Пусть имеем систему двух неоднородных линейных уравнений с двумя
неизвестными:
ax ay b
11 12 1
ax a y b
21 22 2
,
.
(1)
Значения неизвестных х и у вычислим по формулам Крамера:
8
x
y
, (2)
.
aa ba ab
где
aa ba ab
21 22 2 22 21 2
11 12 1 12 11 1
0
xy
x
xx
12
,
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид
ax ax ax b
11 1 12 2 13 3 1
ax ax ax b
21 1 22 2 23 3 2
ax ax ax b
31 1 32 2 33 1 3
Решение системы следующее:
здесь
aaa
11 12 13
aaa
21 22 23
aaa
31 32 33
0
ba a
11213
,
ba a
122223
ba a
33233
123
,,xx x
12 3
aba
11 1 13
;
aba
221223
aba
31 3 33
, (**)
aab
11 12 1
;
aab
321222
aab
31 32 3
(3)
.
Правило Крамера.
1. Если определитель
2. Если определитель
0
, то система имеет единственное решение.
0, а один из остальных определителей не равен
нулю, то система не имеет решения.
3. Если же все определители равны нулю, то система имеет бесконечное
множество решений.
1.2.2. Системы 2-х и 3-х линейных однородных уравнений
Пусть имеем систему линейных однородных уравнений (системы 2-х
уравнений решаются также):
0
.
0
1. Если
ax by cz
111
ax by cz
222
///aa bb cc, то система сводится к одному уравнению (на-
1 2 12 12
пример, первому), из которого одно из неизвестных выражается через два других, значения которых остаются произвольными.
2. Если условие
///aa bb cc не выполнено, то решение системы на-
1 2 12 12
ходится по формулам
bc ac ab
11 11 11
bc ac ab
22 22 22
,,
ty tz t
, (***)
9
где t принимает любые произвольные значения. Решения запишем в виде:
x
A
xyz
bc ac ab
11 11 11
bc ac ab
22 22 22
t
Пример 1. Вычислить x,y,z в системе уравнений:
3450
xyz
230
xyz
.
Решение.
При неизвестных x,y,z матрица коэффициентов
Тогда из формулы (***) имеем:
45 35 34
23 13 12
tty ttz tt
22 , 14 , 2
,
.
34 5
A
12 3
.
где t принимает любые значения,
Для системы трех линейных однородных уравнений:
где
abc
111
abc
222
abc
333
– матрица коэффициентов.
Если ее определитель
ax by cz
111
ax by cz
222
ax by cz
333
0
, то система имеет единственное нулевое ре-
0
0
,
0
шение: х = 0, у = 0, z = 0.
Если же
0
, то система сводится либо к двум независимым уравнени-
ям, либо к одному уравнению, тогда данная система имеет бесконечное множество решений.
1.3. Матрицы и действия над ними
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел из m строк и n столбцов.
Размерностью матрицы будет
mn
.
Пусть имеем:
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]