Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации и принятия решений. Курс лекций
.pdf
С.Н. Волкова, Е.Е. Сивак, Т.В. Белова,
С.О. Новосельский
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Курс лекций
Курск
Издательство Курской государственной
сельскохозяйственной академии
2014
2
УДК 510(042.3/4)
ББК 22.11я7
М 54
Печатается по решению методического
совета ФГБОУ ВПО «Курская ГСХА»
М 54 Методы оптимизации и принятия решений: курс лекций /
С.Н. Волкова, Е.Е. Сивак, Т.В. Белова, С.О. Новосельский. Курск: Изд-во Курск. гос. с.-х. ак., 2014. - 190 с.
Курс лекций содержит теоретические основы и практические
задачи по теории графов, сетевым моделям, динамическому программированию, моделям управления запасами, задач о назначениях, приложений функций в экономике, статистической и динамической моделям обработки информации в социально-экологических системах.
Содержание материала имеет прикладную направленность и со-
ответствует программе и рабочему плану по методам оптимизации и
принятия решений для студентов сельскохозяйственных вузов.
Предназначен для студентов очной и заочной форм обучения
агроинженерных и экономических специальностей, для выполнения
курсовых и дипломных работ, а также аспирантов, осваивающих экономико-математическое моделирование. Может быть рекомендован
для второго высшего образования по инженерно-экономическим специальностям.
Рецензенты:
В.П. Шацкий – доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Высшей математики и теоретической механики»
В.С. Титов – доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой
вычислительной техники Юго-западного государственного университета
ФГБОУ ВПО «Курская ГСХА», 2014
3
Введение
Курс лекций «Методы оптимизации и принятия решений»
включает в себя восемь глав, изложенных в 17 лекциях, а также
пять приложений. Материалы приложений могут быть использованы для проведения практических, семинарских занятий, а также для
самостоятельного закрепления вопросов, основных понятий, рассмотренных на лекциях.
В лекционном материале названа цель, изучаемые вопросы, их
приложение к решению инженерно-экономических задач, а также
вопросы для самопроверки. Тема «Приложение функций в экономике» планируется как лекция-конференция с привлечением рефератов, их обсуждением и дальнейшей перспективы.
Наряду с традиционными вопросами программы «Основные
понятия теории графов», «Сети», «Динамическое программирование», «Некоторые модели управления запасами», «Задача о назначениях», «Приложение функций в экономике» впервые представлены «Статическая и динамическая модель обработки информации в
эколого-экономических системах», позволяющая произвести классификацию по устойчивости развития изучаемых экологоэкономических процессов системы и дальнейшему их преобразованию. В моделях применяется комплексный подход с неограниченным числом параметров, их взаимосвязей и отношений, что позволяет провести анализ по единой шкале, сравнивая устойчивость с
гармоническим значением золотого сечения.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, в том числе
студентов по освоению курса «Прикладная математика» для инженерно-экономических специальностей, для выполнения курсовых и
дипломных работ, а также аспирантов, осваивающих экономикоматематическое моделирование.
4
Лекция 1
1. Основные понятия теории графов
Цель. Изучить понятие графа и его элементы, разновидности
графов и операции над ними. Приложение этих понятий к решению
экономических задач.
Изучаемые вопросы.
1. Понятие графа и его элементы.
2. Разновидности графов.
3. Операции над графами.
4. Приложение графов.
1.1 Понятие графа и его элементы
Допустим, что участники торгово-экономических связей
(A,B,C,D,E,F) заключили между собой договор о взаимных поставках.
При этом А обязался поставить свои товары В,C,D,E,F; В - соответственно A,D,E; С, в свою очередь - А и D; D наладил связи с А, В, С; а
E-c A, B.
Представим участников торгового процесса точками и соединим
прямой линией (или дугой) те точки, которые соответствуют участникам, уже заключившим договоры. Это можно изобразить при помощи следующей геометрической схемы (рис. 1.1).
А В
С F
D E
Рис. 1.1. Участники торгового процесса, уже заключившие между собой
договоры
Схема такого вида называется графом. Математическое определение графа формулируется так:
граф G определяется непустым множеством вершин X(G), множеством рѐбер V(G) и отношением инцидентности, которое каждому
ребру сопоставляет одну или две вершины, называемые его концами.
Граф обозначается символом G(X,V). Элементы графа, изображенные точками на плоскости, называются вершинами графа.
5
Таким образом, субъектам торговых процессов будут соответствовать вершины графа. Вершина графа может обозначать и событие, и явление.
Линии, соединяющие любые пары вершин, называются дугами
графа или ребрами графа. Дуги графа должны иметь направления,
обозначаемые стрелкой от начала дуги к ее концу. Такие графы называются ориентированными. Ребра не имеют направления. Дуги показывают связь субъектов, последовательность работ, например, при
создании супермаркета: проектные, строительные, монтажные, пусконаладочные и другие работы или отношения участников в торговых
операциях. Например, А осуществил поставку товаров В (А В), В
рассчитался с А(А В).
Общее число дуг, инцидентных вершине х, является степенью
вершины х и обозначается Р(х). Для графа, представленного на рисунке l, имеем:
Р(А) = 5, Р(В) = 3, Р(С) = 2, P(D) = 2, Р(Е) = 3, P(F) = 1.
Вершина, степень которой Р(х)>2, называется узлом, а вершина,
степень которой Р(х) 2, - антиузлом. Таким образом, вершины
A,B,D - узлы, а вершины C,F,E - антиузлы.
Имеются понятия: полустепень захода вершины х - количество
дуг, заходящих в данную вершину, Р+(х) и полустепень исхода вершины х - количество дуг, исходящих из вершины х Р-(х).
В нашем примере степень каждой вершины графа, приведенного
на рисунке l, показывает количество партнеров, с которыми заключены договоры. Выделим из всех вершин "нестандартную", такую, в которую дуга только входит или выходит и причем только одна. Такая
вершина называется висячей, В нашем примере ею является вершина
F.
Такой же "нестандартной" дугой является петля. Это такая дуга,
которая выходит из вершины х и входит в нее же, т.е. связывает точку
х самой с собой. Пример петли дан на рис. 1.2.
Х
Рис. 1.2. Петля
Смысловое значение такой дуги можно представить в случае,
если отрасль производит какой-то продукт и сама же его потребляет
на собственные нужды. Тогда степень вершины х можно определять
как Р(х) = 1, когда рассматривается вопрос только производства, и
6
Р(х)=2, когда учитывается производство и потребление, т.е. степень
вершины с петлей учитывается в зависимости от условий поставленной задачи.
С точки зрения ориентации дуг различают: ориентированные
графы, в которых вершины соединяются стрелками (дугами), указывающими направления; неориентированные графы, в которых вершины соединяются линиями (ребрами); смешанные графы, состоящие из
дуг и ребер.
Ориентированные графы наиболее информативны. С их помощью можно показать не только взаимосвязь торговых партнеров, но и
характер сделки (купли, продажи, расчетов с поставщиком и т. п.). А
если каждой дуге присвоить определенное число, то можно отразить
количественную или стоимостную характеристику торговой операции. Например, граф А 20 В говорит о том, что А поставил В товаров на 20 тыс. руб.
Одним из составных элементов графа, получивших довольно
широкое применение и экономике, является путь. Под путем понимают последовательность дуг, в которой конец каждой предыдущей
дуги совпадает с началом следующей. Длина пути равна количеству
дуг (ребер) в нем, причем каждый элемент пути считается столько
раз, сколько встречается.
Путь называется простым, если в нем ни одна дуга не
встречается дважды, составным, если какая-либо из дуг встречается более одного раза, и элементарным, в котором никакая вершина
не встречается дважды.
Конечный путь, начинающийся и заканчивающийся в одной и
той же вершине, называется контуром. Так же, как и путь, контур
может быть простым, если в нем ни одна дуга не встречается дважды,
и сложным - в противном случае.
Следует иметь в виду, что в неориентированных графах вместо
пути принято употреблять слово цепь, а вместо контура - цикл.
Понятие пути используется наиболее часто при решении транспортных задач, при размещении коммуникаций, при определении рациональных потоков товаров или покупателей и т. п. Остановимся на
двух задачах, вошедших в классику теории графов. В первой задаче
используется понятие простого пути. Ее сформулировал известный
математик Леонард Эйлер (1707-1783) в первой работе о графах. Он
рассмотрел "задачу о кѐнигсбергских мостах" (части города были соединены семью мостами). Задача состояла в том, чтобы выйдя из дома вернуться обратно, пройдя только один раз по каждому мосту. Решение этой задачи привело к формулировке общей проблемы теории
графов: "На каких графах можно найти цикл, содержащий все ребра
7
графа, причем каждое ребро в точности по одному разу?" Такой цикл
А
D
получил название эйлеровой линии, а граф, обладающий эйлеровой
линией, - эйлеровым графом. Признаком наличия эйлеровой линии
является четность степеней всех вершин графа. На рисунке 1.3 приведен исходный граф, а на рисунке 1.4 - преобразованный граф задачи
Эйлера.
C С
А D
В
В
Рис. 1.3. Исходный граф Рис. 1.4. Преобразованный
с семью мостами граф задачи Эйлера
Вторую задачу поставил известный ирландский математик У.
Гамильтон. Его именем назван граф, содержащий цикл, включающий каждую вершину этого графа 1 раз. Такой цикл назвали гамильтоновым. Это понятие применяется в задаче о комивояжере.
Район, который должен посетить бродячий торговец, содержит какое-то количество городов. Расстояния между ними известны, и нужно найти кратчайшую дорогу, проходящую через все пункты и возвращающуюся в исходное положение. К этой формулировке сводятся
задачи о лучшем использовании транспортных средств.
Признаки наличия гамильтоновского цикла еще не сформулированы строго.
1.2 Разновидности графов
Граф G(X,V), состоящий только из изолированных вершин,
называется нуль-графом. Для него справедливо Р+(xi) = P-(xi) = 0 для
всех xi Х.
Однородный граф - это граф, в котором степени всех вершин
одинаковы. Симметрический граф - граф, в котором любые две смежные вершины соединены двумя противоположно ориентированными
дугами. Здесь справедливо: если (х
) V, то и (х
1, х2
) V. Антисим-
2, х1
метрический граф - это граф без петель, в котором каждая пара смежных вершин соединена только в одном направлении. Для него справедливо: если(х
) V, то (х
1, х2
2, х1
) V.
8
Полный граф - это граф, в котором любая пара вершин соедине-
С
В D Е
А
на дугой (многоугольник, у которого проведены все диагонали, а у
каждой вершины имеется петля).
Имея некоторый граф (рис.1.5), можно всегда превратить его в
полный с теми же вершинами, добавлением недостающих дуг и петель. Этот новый граф будем называть дополнением графа G (рис.
1.6) и обозначать его G . Объединение графов G и G дает полный
граф с теми же вершинами.
В
А Е
D
С
Рис. 1.5. Граф G Рис. 1.6. Дополнение графа G
Мультиграф - граф, в котором хотя бы две смежные вершины
соединены более чем одной дугой (ребром) в одном и том же направлении. Наибольшее число дуг (ребер), соединяющих смежные вершины, определяет его краткость.
Изоморфные графы. Любой граф G(X,V) можно изображать поразному: не обязательно изображать его ребра (дуги) прямыми линиями, можно произвольно располагать вершины на плоскости. Говорят, что графы изоморфны, если: они имеют одно и то же число вершин; две любые вершины одного графа соединены ребром, то и соответствующие им вершины другого графа тоже соединены.
Термин "изоморфный" иос - равный, одинаковый и морфии вид, форма часто используется в математике. В данном случае это
графы, равные по форме. На рис.1. 7 изображены изоморфные графы.
9
А
А А
В .
В В
С С
D E
D
Е D E С
Рис. 1.7. Изоморфные графы
Плоский граф - такой граф, который можно изобразить на плоскости так, чтобы никакие два ребра не пересекались в точках отличных от вершин. Необходимо помнить, что изоморфный ему граф тоже
будет плоским, хотя его ребра могут при изображении и пересекаться.
На рис. 1.8 показан плоский граф и граф, изоморфный ему.
А А
D D
B C
B C
Плоский граф Изоморфный граф
Рис. 1.8.
Плоские графы используются для моделирования непересекающихся потоков покупателей, товаров, транспортных магистралей и
т.п.
Двудольный граф - граф, представленный двумя множествами
М и Р, вершины которых внутри каждого множества не соединены
между собой ребрами (рис. 1.9).
10
n
i 1
n
j 1
1 2 3 . . .
r
1 2 3 . . . m
М
Рис. 1.9. Двудольный граф
С помощью двудольных графов решаются такие задачи, как назначение на должности, определение степени соответствия товара требованиям покупателей или ГОСТа и другие аналогичные задачи на соответствия.
Приведем математическую постановку задачи о назначении на
должность. Пусть каждый из хi претендентов будет назначен на одну из
вакантных должностей yj(i,j =1, 2,...,n). Обозначим через d
степень соот-
i,j
ветствия (в частном случае производительность труда) претендента хi
рабочее месте yj. Оптимальное назначение определяется максимизацией
i,j di,j
max,
где
= 1, когда претендент назначен на должность;
i,j
= 0, в остальных случаях.
i,j
Соответствующий граф приведен на рис. 1.10.
Х1 Y
Х
2 Y2
1
. . Y
Х
0
Х
. .
n-1
Y
n-1
Х
n
Yn
0
Рис. 1.10. Граф назначения на должность
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]