Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации и принятия решений. Курс лекций
.pdf
11
1.3 Операции над графами
В
В
Подграфом графа G(X, V) называется граф G(A,VA), определяемый следующим образом.
1. Вершины А подграфа G(A,VA) являются некоторым подмно-
жеством вершин графа G(X, V), т.е. А есть подмножество Х(А X).
2. Дугами (ребрами) подграфа G(A,VA) являются те же дуги
(ребра) графа G(X,V), которые инцидентны вершинам А. Например,
приведем граф G(X, V) с вершинами X={a,b,c,d,e}.
Подграф G(A,VA) с вершинами А = {d,e} имеет следующий вид
(рис. 1.11,б).
А А
С
D D Е
С
Е
а) граф G(X, V) б) G(A,VA) в) V+(А)=<В,VВ>
Рис. 1.11.
Подграфы эффективно применяются в многошаговых задачах,
которые имеют сложный разветвленный так называемый сетевой
граф. Верхним сечением V+(А) некоторого подмножества А вершин
графа <Х,V> называется подграф <В,VВ>, вершины которого являются непосредственными предшественницами вершин А. Например, на
рис. 1.11 для графа <Х,V> (а) и множества А (б) верхним сечением
является подграф <B1,VB> (в).
Удаление вершины или ребра - это операции, с помощью которых можно из имеющегося графа получить другие графы с меньшим
числом элементов.
Добавление ребра - если вершины х1 и х2 графа не смежны, то
можно определить граф G+L где L=(х1,х2). Он получается из графа G
добавлением ребра L.
Объединение - граф Н будет объединением (или наложением)
графов G и F, если VH=VG VF и XH=XG XF, то есть Н=G F
(рис. 1.12).
Произведение G1*G2 = G есть граф, для которого VG=V1*V
2
(рис. 1.13).
Отождествление (слияние) вершин. Пусть х1 и х2- вершины графа G. Тогда Н = G – х1 –х2. К графу Н присоединяем новую вершину
12
х , соединив ее с каждой из вершин, входящих в объединение окружений вершин х1 и х2,т.е. получаем граф из графа G отождествлением
вершин х1 и х2. Стягивание ребра означает отождествление смежных
вершин (рис. 1.14). Расщепление вершин - операция, двойственная
стягиванию ребра (рис. 1.15).
2 4
2 4
3 4 3 3
5
1 1 5
Рис. 1.12. Объединение графов
(1;А) (1;В) (1;С)
1
Х А В С =
2 (2;А) (2;В) (2;С)
Рис. 1.13. Произведение графов
4 5 4 5
1 2 3
1 3
Рис. 1.14. Стягивание ребра графа
13
2 2
1 3 1 3
4
4 4 5
5
Рис. 1.15. Расщепление вершин графа
1.4 Приложение графов
Рассматривая основные элементы понятия графов, их разновидности, приходим к выводу, что теория графов используется для определения торгово-экономических связей, при решении транспортных
задач, при размещении коммуникаций, при определении рациональных потоков товаров или покупателей, задачах о лучшем использовании транспортных средств, задачах назначения на должность, определении степени соответствия товара требованиям ГОСТа, задачи на
соответствие и другие.
В следующих лекциях будут рассмотрены древовидные графы и
сети, а также их приложение к моделированию экономических задач
в разных сферах человеческой деятельности.
Вопросы для самопроверки
1. Математическое определение графа.
2. Определение элементов графа: пути, контура, цепи, цикла.
3. Дать определение эйлерова графа.
4. Дать определение гамильтонова графа.
5. Назовите виды графов и их применение к решению экономи-
ческих задач.
6. Выделите ключевые слова в операциях над графами.
7. Дать определение объединению и произведению графов.
14
Лекция 2
1.5 Древовидные графы
Изучаемые вопросы
1. Понятие связности графа.
2. Понятие дерева, леса, прадерева.
3. Применение древовидных графов.
4. Матрицы и графы.
1.5.1 Понятие связности графа
В общем случае граф может быть представлен отдельными графами, не имеющими общих дуг. Например, граф G(X,V) может быть
задан в виде трех графов: G1(Xi,Vi), G2(Xj,Vj), G3(Xz,Vz), в которых
хiХ, хjX, xzX и ViV, VjV, VzV.
В этом случае граф G(X,V) называется несвязным, а каждый из
составляющих его графов G1, G2, G3 - компонентами связности. Другими словами, компонента связности графа G(X,V) - это граф, состоящий из вершин х Х и всех тех вершин, которые соединены с ней
(компонентой) некоторой цепью. Компоненты связности образуют
разбиение множества вершин х графа G(X,V) на отдельные, не связанные друг с другом подмножества.
Граф связан в том и только в том случае, если он состоит из
единственной компоненты связности.
Таким образом, если каждую вершину графа можно соединить с
любой другой вершиной некоторой цепью (путем), то граф называется связным (рис.2.1).
Несвязный граф, состоящий из четырех связных компонент, одна из которой изолированная вершина 15 (рис.2.2).
Х
Х
1
2 Х5
Х
4
Х
3
Х
6
Рис. 2.1
Х
2
.Х
Х
Х3 Х
1
5
Х
Х
6
Х
4
7 Х8
Рис. 2.2
Х
10
Х
Х
11 Х13
9
Х
12 Х14
15
15
1.5.2 Понятие дерева, леса, прадерева
Деревом называется неориентированный связный граф с числом
вершин не менее двух, не содержащий петель и циклов.
Вершины, инцидентные только одному ребру дерева, называются висячими. Каждое дерево имеет не менее двух висячих вершин, а
их степень равна единице (рис.2.3).
Х
0
Х
1
Х
2 Х3
Х
4
Х
5
Х6 Х7 Х
8
Х
9
Рис. 2.3
Из определения дерева вытекают следующие свойства:
дерево является связным графом;
дерево не содержит циклов и петель;
число ребер дерева Р на единицу меньше числа вершин b,
т.е. Р=b-1;
дерево перестает быть связным после удаления любого ре-
бра;
каждая пара смежных вершин соединена только одним
ребром;
всякая пара несмежных вершин соединена цепью, притом
только одной.
Лесом называется несвязный граф без петель и циклов. Лес можем получить, в частности, удалением одного или нескольких ребер
дерева. Очевидно, что компонентами леса являются деревья или висячие вершины. (В приведенном примере на рис.2.3 лес получается,
например, удалением ребер Х0-Х1,Х0-Х2,Х2-Х7,Х1-Х5 или любого ребра, инцидентного вершинам Х4, Х5,Х6,X7,Х8,Х9. В последнем случае
получим висячие вершины).
Если обозначим число компонент связности леса К число вершин - b, а число ребер - Р, то
p-b+k=0 или p=b-k.
Для того, чтобы любой связный граф превратить в дерево, необходимо удалить из него минимум n ребер:
n=p-b+1
16
Прадеревом называется ориентированное дерево. Из корня пра-
Наименование магазина-1
Дата-2
Наименование
товара-3
Потребность-4
Покрытие реализации-5
Ар-
ти-
кул
Сорт
Раз
мер
Ре-
али-
за-
ция
Товарн.
запа-
сы
Все-
го
Ос
та-
ток
Фонд
6 7 8 9 10
11
12
Вс
его
в т.ч. по кварта-
лам
13
V
14
15
16
17
дерева (вершина X0 с полустепенью захода Р+(х0) = 0) дуги только
выходят, но ни одна не заходит в корень.
1.5.3 Применение древовидных графов
Древовидные графы могут применяться для моделирования ши-
рокого круга коммерческих задач. С их помощью можно построить
информационную модель системы управления торговым предприятием, оптимизировать структуру управления торгового дома, фирмы,
смоделировать товарные потоки, транспортные системы и т.п. В качестве примеров рассмотрим древовидные модели взаимосвязи документов и реквизитов в документе.
Граф взаимосвязи документов, например, по ведомости занарядки (ВЗ), которая составляется на основании четырех документов:
заявки на товар (ЗТ), ведомости выделения фондов (ВФ), плана распределения фондов (ПР) и отчета об остатках товара (ОО) - может
быть представлен в следующем виде:
ВЗ
ЗТ ВФ ПР ОО
Рис. 2.4
Граф взаимосвязи реквизитов в документе рассмотрим на примере заявки на товар. Пронумеруем реквизиты этого документа, которым будут соответствовать номера вершин графа.
17
Граф взаимосвязи реквизитов в документе показывает их взаимосвязи и подчиненность рис.2.5.
ЗТ
2
1
5 13
3 4
6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17
Рис. 2.5. Граф взаимосвязи реквизитов в документе
Граф взаимосвязи реквизитов в задаче показывает взаимосвязь одноименных реквизитов документов, участвующих в процессе решения
задачи и образовании сводных, вторичных реквизитов. Граф взаимосвязи реквизитов при составлении ведомости занарядки показан на рис. 2.6.
ЗТ ВФ ПР ОО
1 2 3 …. n 1 2 3 …..n 1 2 3 ….. n 1 2 3 . . . . n
1 2 3 . . . . . n
ВЗ
Рис. 2.6. Граф взаимосвязи реквизитов
18
Графы взаимосвязей документов, реквизитов в документе и в
n
i 1
v
j 1
задачах позволяют: выявить документы, участвующие в образовании
вторичных и результативных документов; установить состав и взаимосвязь реквизитов при решении определенной задачи; определить
разновидность исходной и результативной информации, частоту использования различных видов информации;
составить перечень задач, решаемых с участием результативных
документов других задач; перечислить последовательность решения
задач; рассчитать объемы информации и трудоемкость ее обработки
по формуле
Т=Niti=t
i
m
i,j,
где Ni - число операций;
n - число видов операций;
v - число вершин графа;
m - число прохождения по данной дуге одной информа-
ционной совокупности внутри данного цикла;
- число выполняемых операций j-гo типа при одно-
i,j
кратном прохождении цикла;
ti - средняя трудоемкость выполнения операции.
Комплекс перечисленных графов позволяет построить граф информационной системы (рис.2.7).
И
Задачи Зn
(сводные З
1
документы, З
отчетность)
0
2
Документы Д1 Д
2
Д
n
Реквизиты
Р
1 Рi Pj Pn
Источники
информации i
…… …… ….. ….. ……….. i
1
n
Рис. 2.7. Граф информационной системы
19
Анализ информационной системы позволяет ее оптимизировать и по-
1 2 3
4 1 0 1 1
0
2
0 0 1
0
3
0 0 0
1 4 1 0 0
0
строить эффективные структуры управления коммерческих предприятий,
объединений, ассоциаций и т.п.
1.5.4 Матрицы и графы
При решении ряда задач с использованием теории графов удобно использовать формальные свойства матриц, что позволяет применить для них целей современную вычислительную технику. Дело облегчается тем, что в пакеты прикладных программ многих современных вычислительных средств входят программы операций с матрицами.
Матрицами, отражающими связь вершин и ребер, являются матрицы смежности и инциденций.
Матрица смежности графа G, состоящего из n вершин хi
(i=1,2,…n), будет квадратная матрица А= аij порядка (n х n). Ее
общий элемент аij представляет собой число дуг, соединяющих
точку хi, с точкой xj. Если граф простой, то матрица смежности
состоит из элементов 0 и 1. Для графа, изображенного на рис. 2.8,
матрица смежности будет иметь вид, представленный на рис. 2.9.
Рис. 2.8 Рис. 2.9
По матрице смежности легко определить полустепени захода и
исхода, а также степень любой вершины графа. В частности, полустепень исхода вершины хi численно равна сумме элементов i-й строки
матрицы P-(xi)= ai, а полустепень захода - сумме элементов j-го
столбца Р+(xi) = aj.
Если мы в графе G переменим направление дуг, то получим обратный граф G . При этом матрица смежности графа G-1 будет зеркальным отображением матрицы смежности графа G. Перемените
ориентацию дуг графа и убедитесь, что для него матрицей смежности
будет транспонированная матрица матрицы.
Если транспонированная матрица соответствует конфигурации
первоначального графа, то замена в первоначальной матрице всех
20
нулей единицами и всех значений цифр нулями (см. дополнительную
1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
1
1 2 3 4 5 6 7 8 1 -1 0 -1 0 0
-1 0 0 2 1
-1 0 -1 0 0 0 0
3 0 0 1 1 1 0
-1
0
4 0 0 0 0 0 0 1 1
5 0 1 0 0
-1 1 0
-1
матрицу на рис.2.10) приводит ее к новому графу (рис.2.11).
Рис. 2.10 Рис. 2.11
Матрицей инциденций для графа, состоящего из n вершин и m
дуг будет матрица порядка n x m с элементами aijj, равными -1,1 или
0, если вершина xi, соответственно начало, конец дуги yj или не
смежна с ней.
В качестве примера возьмем граф (рис.2.12), у которого n - 5 , m - 8 .
Х1 U6 X
5
U1 U
X
2
U3 U
U
X
Этому графу соответствует следующая матрица инциденций:
2 U8
5 X4
4
U
3
7
Рис. 2.12
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]