Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации и принятия решений. Курс лекций
.pdf
51
Согласно уравнению прямой, проходящей через 2 точки, полу-
Опера-
ция
Нормальный режим
работы
Максимальный режим работы
Продолжи-
тельность,
дн.
Затраты,
тыс. р.
Продолжи-
тельность,
дн.
Затраты, тыс. р.
1,2
а11b11а12b
12
2,3
а21
b21
а22
b22
2,4
а31
b31
а32
b32
2,5
а41
b41
а42
b42
3,5
а51
b51
а52
b52
4,5
а61
b61
а62
b62
5,6
а71
b71
а72
b72
чим
(у - у С)/(уD - уС) = (х- хС)/(хD - хС),
(у - 160)/(1160 - 160) = (х - 157)/(257 - 157), (3)
10x - у - 1410 = 0.
Решая совместно уравнения (1) и (3), определим время, когда
кредит может быть возвращен в банк:
10x - 9у +18000 = 0,
10x - у - 1410 = 0,
у = 2426,25, х = 383,6 384 дн.
Таким образом, через 384 дн. предприятие может вернуть кре-
дит в банк. По сравнению с предыдущим случаем (см. п. 2.5.2) предприятие вернет в банк деньги раньше на 424—384 = 40 дн.
При нормальном режиме работ критический путь составляет 200
дн., стоимость работ — 265 тыс. р.
Критический путь уменьшен до 157 дн., минимальная стоимость
работ составляет 265+75 = 340 тыс. р. при максимальном режиме.
2.5.4 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Постройте график работ, определите критический
путь и стоимость работ до сжатия. Найдите критический путь и минимальную стоимость работ после сжатия.
Таблица 6.3
52
Значение коэффициентов условия задачи
№ вари-
анта
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
Значение а
11
20
18
22
15
17
19
23
16
21
24
а21
28
29
31
36
28
31
30
25
29
32
а31
19
17
20
17
16
20
22
17
20
23
а41
21
23
22
24
20
25
30
27
29
28
а51
25
24
21
20
22
23
26
25
26
27
а61
13
15
10
12
13
16
17
16
18
16
а71
12
16 9 11 9 14
19
14
15
19
b
11
14
17
13
13
11
18
18
19
17
20
b21
12
18
14
16
15
17
15
18
14
21
b31
24
21
20
18
17
16
19
16
22
23
b41
21
19
20
21
22
18
23
17
18
19
b51
20
22
19
23
18
17
24
16
20
21
b61
22
21
18
22
21
19
20
18
19
18
b71
23
23
21
20
19
16
22
15
21
20
а
12
17
15
18
13
14
15
18
13
16
18
а22
23
24
24
30
22
26
24
21
25
27
а32
16
14
15
16
13
17
18
22
16
19
а42
17
20
18
21
16
21
25
22
24
24
а52
20
21
18
17
18
19
21
21
22
23
а62
11
13 8 10
11
12
14
15
14
13
а72
10
13 8 9 7 11
15
12
12
16
b
12
17
21
15
16
14
23
24
25
22
25
b22
15
22
17
20
19
22
21
23
18
27
b32
30
26
25
23
24
20
25
21
27
29
b42
26
25
24
27
28
23
29
22
23
24
b52
25
28
14
29
22
23
30
20
27
29
b62
28
27
15
29
26
15
26
24
23
22
b72
29
30
26
25
24
21
29
20
27
26
53
2.5.5 Математический диктант
1. Делает проект более привлекательным включение в проект …
2. Для построения графика необходимы данные …
3. График можно улучшить …
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид …
5. График выполнения работ может быть сжат за счет …
6. Наклоны кривой «затраты - продолжительность» для каждой
операции вычисляются …
7. Для определения времени, когда кредит может быть возвра-
щен в банк, следует … .
Вопросы для самопроверки
1. Что делает проект наиболее привлекательным для инвесторов.
2. За счет чего происходит сжатие графика.
3. Может ли график после сжатия иметь несколько критических
путей.
54
Лекция 7
3. Динамическое программирование
3.1 Постановка задачи
Динамическое программирование — один из разделов оп-
тимального программирования, в котором процесс принятия решения
и управления может быть разбит на отдельные этапы (шаги).
Экономический процесс является управляемым, если можно
влиять на ход его развития. Под управлением понимается совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход
развития процесса. Например, выпуск продукции предприятием —
управляемый процесс. Совокупность решений, принимаемых в начале года (квартала и т.д.) по обеспечению предприятия сырьем, замене
оборудования, финансированию и т.д., является управлением. Необходимо организовать выпуск продукции так, чтобы принятые решения на отдельных этапах способствовали получению максимально
возможного объема продукции или прибыли.
Динамическое программирование позволяет свести одну слож-
ную задачу со многими переменными ко многим задачам с малым
числом переменных. Это значительно сокращает объем вычислений и
ускоряет процесс принятия управленческого решения.
В отличие от линейного программирования, в котором сим-
плексный метод является универсальным методом решения, в динамическом программировании такого универсального метода не существует. Одним из основных методов динамического программирования является метод рекуррентных соотношений, который основывается на использовании принципа оптимальности, разработанного
американским математиком Р. Беллманом. Принцип состоит в том,
что, каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны
выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце данного шага. Использование данного принципа
гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, не локально
лучше, а лучше с точки зрения процесса в целом. В некоторых задачах, решаемых методом динамического программирования, процесс
управления разбивается на шаги. При распределении на несколько
лет ресурсов деятельности предприятия шагом целесообразно считать
временной период; при распределении средств между предприятиями
— номер очередного предприятия. В других задачах разбиение на
шаги вводится искусственно. Например, непрерывный управляемый
процесс можно рассматривать как дискретный, условно разбив его на
55
временные отрезки (шаги). Исходя из условий каждой конкретной задачи, длину шага выбирают таким образом, чтобы на каждом шаге
получить простую задачу оптимизации и обеспечить требуемую точность вычислений.
3.2 Некоторые экономические задачи, решаемые методами
динамического программирования
Оптимальная стратегия замены оборудования
Одной из важных экономических проблем является определение
оптимальной стратегии в замене старых станков, агрегатов, машин на
новые.
Старение оборудования включает его физический и моральный
износ, в результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на его
ремонт и обслуживание, снижаются производительность и ликвидная
стоимость.
Наступает время, когда старое оборудование выгоднее продать,
заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат; причем
его можно заменить новым оборудованием того же вида или новым,
более совершенным.
Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в опреде-
лении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности при
этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие
минимизации.
Введем обозначения:
r(t) — стоимость продукции, производимой за один год на еди-
нице оборудования возраста t лет;
u(t) — ежегодные затраты на обслуживание оборудования возрас-
та t лет;
s(t) — остаточная стоимость оборудования возраста t лет;
Р — покупная цена оборудования.
Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется опре-
делить оптимальный цикл замены оборудования.
Обозначим через fN(t) максимальный доход, получаемый от обо-
рудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования
оборудования при условии оптимальной стратегии.
Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения
процесса. Так, t=0 соответствует случаю использования нового оборудования. Временные же стадии процесса нумеруются в обратном
направлении по отношению к ходу процесса. Так, N=1 относится к
56
одной временной стадии, остающейся до завершения процесса, а N =
N — к началу процесса (рис. 7.1).
На каждом этапе N-стадийного процесса должно быть принято
решение о сохранении или замене оборудования. Выбранный вариант
должен обеспечивать получение максимальной прибыли.
Возрастание оборудования
0 1 2 3 t
конец
начало
N N-1 1 0
Стадии
Рис. 7.1
Функциональные уравнения, основанные на принципе оп-
тимальности, имеют вид:
r(t)-u(t)+ f
fN(t)=max (1)
s(t)-P+r(0)- f
r(t)-u(t) Cохранение;
fN(t)=max (2)
s(t)-P+r(0)- u(0) Замена;
(t+1) Cохранение;
N-1
(1) Замена;
N-1
Уравнение (1) описывает N-стадийный процесс, а (2) — одно-
стадийный. Оба уравнения состоят из двух частей: верхняя строка
определяет доход, получаемый при сохранении оборудования; нижняя — доход, получаемый при замене оборудования и продолжении
процесса работы на новом оборудовании.
В уравнении (1) функция r(t)-u(t) есть разность между стоимо-
стью произведенной продукции и эксплуатационными издержками на
N-й стадии процесса.
57
Функция f
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
f(t)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0
(t+1) характеризует суммарную прибыль от (N-1)
N-1
оставшихся стадий для оборудования, возраст которого в начале осуществления этих стадий составляет (t + 1) лет.
Нижняя строка (1) характеризуется следующим образом: функ-
ция s(t)-P представляет чистые издержки по замене оборудования,
возраст которого t лет.
Функция r(0) выражает доход, получаемый от нового обо-
рудования возраста 0 лет. Предполагается, что переход от работы на
оборудовании возраста t лет к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, т.е. период замены старого оборудования и переход на работу на новом оборудовании укладываются в одну и ту же
стадию.
Последняя функция f
в (1) представляет собой доход от
N-1
оставшихся N-1 стадий, до начала осуществления которых возраст
оборудования составляет один год.
Аналогичная интерпретация может быть дана уравнению для
одностадийного процесса. Здесь нет слагаемого вида f0(t+1), так как N
принимает значение 1,2,..., N. Равенство f0(t)=0 следует из определения функции fN(t).
Уравнения (1) и (2) являются рекуррентными соотношениями,
которые позволяют определить величину fN(t) в зависимости от f
(t+1). Структура этих уравнений показывает, что при переходе от од-
1
N-
ной стадии процесса к следующей возраст оборудования увеличивается с t до (t + 1) лет, а число оставшихся стадий уменьшается с N до
(N-1).
Расчет начинают с использования уравнения (1). Уравнения (1)
и (2) позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования, с тем чтобы принять тот из них, который предполагает больший
доход. Эти соотношения дают возможность не только выбрать линию
поведения при решении вопроса о сохранении или замене оборудования, но и определить прибыль, получаемую при принятии каждого из
этих решений.
Пример 1. Определить оптимальный цикл замены оборудования
при следующих исходных данных: Р = 10, S(t)=0, f(t)= r(t)-u(t), представленных в табл. 7.1.
Таблица 7.1
58
Решение. Уравнения (1) и (2) запишем в следующем виде:
f(t)+f
fN(t)=max (3)
-p+f(0)+f
(t+1),
N-1
(1),
N-1
f(t),
f1(t)=max
-p+f(0).
Для N=1.
f(0) 10
f1(0)=max = max =10,
-p+f(0) -10+10
f(1) 9
f1(1)=max = max =9,
-p+f(0) -10+10
………………………………………………………………
f(12) 0
f1(12)=max = max =0.
-p+f(0) -10+10
Для N=2.
f(0)+f1(1) 10+9
f2(0)=max = max =19,
-p+f(0)+f1(1) -10+10+9
f(1)+f1(2) 9+8
f2(1)=max = max =17,
-p+f(0)+f1(1) -10+10+9
Вычисления продолжаем до тех пор, пока не будет выполнено
условие f1(1)> f2(2), т.е. в данный момент оборудование необходимо
заменить, так как величина прибыли, получаемая в результате замены
оборудования, больше, чем в случае использования старого. Результаты расчетов помещаем в таблицу, момент замены отмечаем звез-
59
дочкой, после чего дальнейшие вычисления по строчке прекращаем
FN(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
N
N-
1
11
10 9 8 7 6 5 4 3 2
1
f1(t)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0
f2(t)
19
17
15
13
11 9 9* f3(t)
27
24
21
18
17
17*
f4(t)
34
30
26
24
24*
f5(t)
40
35
32
31
30
30*
f6(t)
45
41
39
37
36
35
35* f7(t)
51
48
45
43
41
41*
f8(t)
58
54
51
48
48* f9(t)
64
60
56
55
54
54*
f10(t)
70
65
63
61
60
60*
f11(t)
75
72
69
67
66
65
65* f12(t)
82
78
75
73
72
72*
(табл. 7.2).
Таблица 7.2
Можно не решать каждый раз уравнение (3), а вычисления про-
водить в таблице. Например, вычислим f4(t):
f4(0)= f1(0)+ f3(1)=10+24=34>f3(1)=24,
f4(1)= f1(1)+ f3(2)=9+21=30>f3(1),
f4(2)= f1(2)+ f3(3)=8+18=26>f3(1),
f4(3)= f1(3)+ f3(4)=7+17=24>f3(1),
f4(5)= f1(4)+ f3(5)=6+17=23<f3(1).
Дальнейшие расчеты для f4(t) прекращаем, так как f4(t)=23<
f3(1)=24.
По результатам вычислений и по линии, разграничивающей об-
ласти решений сохранения и замены оборудования, находим оптимальный цикл замены оборудования. Для данной задачи он составляет 4 года.
Ответ. Для получения максимальной прибыли от использования
оборудования в двенадцатиэтапном процессе оптимальный цикл состоит в замене оборудования через каждые 4 года.
3.3 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. К началу рассматриваемого периода на предприятии
установлено новое оборудование. Зависимость производительности
этого оборудования от времени его работы, а также затраты на содержание и ремонт при различном времени его использования приведены в табл. 7.3.
60
Известно, что затраты, связанные с приобретением и установкой
Наименование
Время, в течение которого используется
оборудование, годы
0 1 2 3 4
5
Годовой выпуск
продукции, млн.
руб.
80
75
65
60
60
55
Ежегодные затраты на содержание и ремонт
оборудования,
млн. руб.
20
25
30
35
45
55
N
0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(t)
12
11
10 8 6 4 2 0 0
нового оборудования, идентичного установленному, составляют 40
млн. р., а заменяемое оборудование списывается. Составить такой
план замены оборудования в течение пяти лет, при котором общий
доход за данный период времени максимален.
Таблица 7.3
Задача 2. К началу анализируемого периода на предприятии
установлено новое оборудование.
Определить оптимальный цикл замены оборудования при сле-
дующих исходных данных:
покупная цена оборудования (Р) составляет 12 ден.ед.;
остаточная стоимость оборудования S(t) = 0;
fN(t)=r(t)-u(t) — максимальный доход, получаемый от
оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла
использования оборудования при условии оптимальной стратегии,
где r(t) — стоимость продукции, выпускаемой за год на единице
оборудования возраста t лет, u(t) — ежегодные затраты на
обслуживание оборудования возраста t лет;
N = 8 лет.
Зависимость fN(t) от N задана в табл. 7.4.
Таблица 7.4
3.4 Математический диктант
1. Динамическое программирование позволяет …
2. Одним из основных методов динамического программирова-
ния является …
3. Использование принципа Р.Беллмана гарантирует, что …
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]