Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации и принятия решений. Курс лекций
.pdf
21
1.5.5 Математический диктант
1. Математическое определение графа формулируется так: …
2. Вершинами графа называются …
3. Дугами графа или ребрами графа называются …
4. Вершина называется узлом, если … и антиузлом, если …
5. Графы бывают …
6. Под путѐм понимают …
7. Путь называется простым, если … , составным, если … , эле-
ментарным, если …
8. Контуром называется …
9. Полный граф – это …
10 Операции над графами: …
1. Дать определение связности графа.
2. Определение леса, дерева, прадерева.
Вопросы для самопроверки
3. Свойства дерева.
4. Применение графов взаимосвязей документов, реквизитов в
документе.
5. Граф информационной системы.
6. Определение матрицы, смежности матрицы, инциденций.
22
Лекция 3
2. Сети
Изучаемые вопросы
1. Понятие сети;
2. Поток сети;
3. Разрез сети;
4. Ранг вершин.
2.1 Понятие сети
Сеть - конечный граф G(X,V) без циклов и петель, ориентированный в одном направлении от вершин V, являющихся входом графа, к вершинам W, являющимся выходами. При этом для каждой
вершины V полустепень захода, а для каждой вершины W полустепень исхода равна нулю, т.е.
+
Р
(V) = P-(W) = 0.
Наибольшее распространение среди множества сетей получила транспортная сеть, которая имеет только один вход и выход.
Каждой дуге такой сети соответствует целое число С( ) 0, называемое пропускной способностью дуги (рис.3.1).
Х
2
С( )
I Х4
Х
Х
1
6
Х
3
Х5
Рис. 3.1
23
2.1.1 Поток сети
хi-V
хiV
хi-V
хiV
Поток сети - это некоторая функция ( ), удовлетворяющая
условиям:
1) ( ) 0, ( V);
2) ( ) С( );
3)
-
( ) -
+
( )=0
Это означает, что функция ( ), т.е. поток по дуге , есть целочисленное положительное число, которое не превышает пропускной
способности данной дуги; сумма потоков, входящих и некоторую
вершину хi (не являющуюся входом или выходом), равна сумме потоков, выходящих из этой вершины.
-
( ) =
+
( )=Ф
хi,
где Ф
- величина суммарного потока через вершину А'.
хi
2.1.2 Разрез сети
Для анализа пропускной способности сети используется понятие
разрез сети. Все множество вершин хi можно разбить на взаимодополнительные подмножества А и В, такие что
1) А В, А х и В х;
2) V А;
3) W B.
Следовательно, в подмножестве А содержится вход сети и некоторые промежуточные вершины. Подмножество В содержит все
остальные вершины и в том числе выход сети W.
Подмножество дуг VB, заходящих в В, называется разрезом сети, а сумма пропускных способностей этих дуг составляет пропускную способность разреза VВ или просто величину разреза.
С(VВ)= С( ), VВ.
Например, разрез I (см. рис. 3.1) определяется множеством вершин
А={Х1,Х2,Х3}, В={Х4.Х5,Х6}, дуг VB={(X2,Х4),(Х2,Х5),(Х3,X4).(X3,X5)} с
пропускной способностью
C(VВ) = C(x2,x4) + C(х2,х5) + C(х3,х4) + C(х3,х5).
Поток ( ), проходящий по данной дуге, не может превышать
пропускную способность дуги C( ), а, следовательно, его максимальная величина является ( )= C( ). В этом случае дуга называется
насыщенной. Из всех разрезов сети можно выделить один, который
обладает наименьшей пропускной способностью С(VВ)
, т.е. разрез
min
минимальной величины.
Наибольшая величина потока Ф
не может быть более мини-
mах
мального разреза сети, т.е.
Ф
= С(VВ)
mах
min
.
24
2.1.3 Ранги вершин
Для транспортной сети введено понятие рангов ее вершины, отражающих последовательность формирования потоков через каждую
вершину. Более высокий ранг вершины показывает, что в формировании потока через нее участвуют потоки, проходящие через вершины более низкого ранга.
Ранги вершин проставляются по восходящей от входа к выходу
сети так, что каждая последующая вершина имеет ранг высший по
назначению, чем ранг всех предыдущих ее вершин.
На рис.3.1 вход в сеть х1 имеет первый ранг, вершины х2 и х3 - 2й ранг, т.к. их потоки не могут быть сформированы без потоков из
вершины х1; вершина х4 имеет 3-й ранг и т.д. Сетевые графы используются для моделирования транспортных, товарных потоков, для
оценки информационных систем и других задач. В 40 - е гг. на основе
сетевых графов была разработана система сетевого планирования и
управления, которая получила широкое распространение.
25
Лекция 4
2.2 Сетевые модели
Современное сетевое планирование начинается с разбиения
программы работ на операции. Определяются оценки продолжительности операций, и строится сетевая модель (график). Построение сетевой модели позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Строится
календарный график, определяющий начало и окончание каждой
операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Календарный график выявляет критические операции, которым надо
уделять особое внимание, чтобы закончить все работы в директивный
срок. Что касается некритических операций, то календарный план
позволяет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ или эффективном применении как трудовых, так и финансовых ресурсов.
2.2.1 Основные понятия сетевой модели
Сетевая модель — графическое изображение плана выполнения
комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. В основе сетевого моделирования лежит изображение планируемого комплекса
работ в виде графа. Граф — схема, состоящая из заданных точек
(вершин), соединенных системой линий. Отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами (дугами) графа. Ориентированным называется такой граф, на котором стрелкой указаны направления всех его
ребер (дуг), что позволяет определить, какая из двух его граничных
вершин является начальной, а какая — конечной. Исследование таких
сетей проводится методами теории графов.
Теория графов оперирует понятием пути, объединяющим последовательность взаимосвязанных ребер. Контур означает такой
путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной. Сетевой
график — это ориентированный граф без контуров. В сетевом моделировании имеются два основных элемента — работа и событие.
Работа — это активный процесс, требующий затрат ресурсов,
либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного
результата.
Фиктивная работа — это связь между результатами работ (событиями), не требующая затрат времени и ресурсов.
Событие — это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной или нескольких предшествующих работ.
26
Путь — это любая непрерывная последовательность (цепь) ра-
i к j
бот и событий.
Критический путь — это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса. Работы, расположенные
на критическом пути, называют критическими. Все остальные работы
являются некритическими (ненапряженными) и обладают резервами
времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя
на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.
2.2.2 Правило построения сетевых моделей
При построении сетевых моделей необходимо соблюдать следующие правила.
1. Сеть изображается слева направо, и каждое событие с большим порядковым номером изображается правее предыдущего. Общее
направление стрелок, изображающих работы, также в основном
должно быть расположено слева направо, при этом каждая работа
должна выходить из события с меньшим номером и входить в событие с большим номером.
2. Два соседних события могут объединяться лишь одной работой. Для изображения параллельных работ вводятся промежуточное
событие и фиктивная работа (рис. 4.1).
Рис. 4.1 Рис. 4.2
3. В сети не должно быть тупиков, т.е. промежуточных событий,
из которых не выходит ни одна работа (рис. 4.2).
Рис. 4.3 Рис. 4.4
27
4. В сети не должно быть промежуточных событий, которым не
1 2 3 5 4
предшествует хотя бы одна работа (рис. 4.3).
Рис. 4.5
5. В сети не должно быть замкнутых контуров, состоящих из
взаимосвязанных работ, создающих замкнутую цепь (рис. 4.4). Для
правильной нумерации событий поступают следующим образом: нумерация событий начинается с исходного события, которому дается
номер 1. Из исходного события 1 вычеркивают все исходящие из него
работы, на оставшейся сети вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа. Этому событию дается номер 2. Затем вычеркивают работы, выходящие из события 2, и вновь находят на оставшейся части сети событие, в которое не входит ни одна работа, ему
присваивается номер 3, и так продолжается до завершающего события. Пример нумерации сетевого графика показан на рис. 4.5.
Продолжительность выполнения работ устанавливается на основании действующих нормативов или по экспертным оценкам специалистов. В первом случае временные оценки являются детерминированными (однозначными), во втором — стохастическими (вероятностными).
2.2.3 Программа создания нового прибора
Рассмотрим в качестве примера программу создания нового бытового прибора, пользующегося спросом у населения. Необходимые
данные приведены в табл.4.1.
На основании данных таблицы построим сетевой график создания прибора с учетом вышеизложенных рекомендаций (рис. 4.6).
28
В=3
Опера-
ции
Наименование работы
Непосред-
ственно
предшеству-
ющие опера-
ции
Продолжи-
тельность,
недели
А, Б
Разработка технической документации (ТД) на прибор
и его электронную часть
____
А-3, Б-2
В, Г
Разработка технологической
документации на электронную часть прибора и прибор
А, Б
В-2, Г-2
Д
Передача ТД на прибор
А
3
Е
Изготовление приборов
В
7
Ж
Изготовление электронной
части прибора
Д, Г
3
З, К
Разработка ТД на эксплуатацию прибора и электронную
часть
Г, В
З-5, К-2
И
Сборка и испытание прибора
Е, Ж
6
6 5 3
4
2
1
0
З=5
А=3 Е=7
Д=3 И=6
Б=2 Ж=3
К=2
Г=2
Рис. 4.6
Таблица 4.1
2.2.4 Математический диктант
1. Сетью называется …
2. Пропускной способностью дуги называется …
3. Потоком сети называется …
4. Разрезом сети называется … , величиной разреза является…
5. Ранги вершин отражают …
6. Сетевые графы используются для …
29
7. Сетевая модель …
8. Сетевой график …
9. Критический путь – это путь …
10. Правило построения сетевых моделей:
сеть изображается …
два соседних события могут объединяться …
для изображения параллельных работ вводятся …
в сети не должно быть … .
Вопросы для самопроверки
1. Определение основных понятий сети.
2. Правила построения сетевых моделей.
3. Понятие сетевого графика.
30
Лекция 5
1 3 2
2.3 Минимизация сети
Изучаемые вопросы:
1. Понятие минимизации сети
2. Расчет временных параметров сетевого графика
2.3.1 Понятие минимизации сети
Задача минимизации сети состоит в нахождении ребер, соединяющих все узлы сети и имеющих минимальную суммарную длину (рис. 5.1).
18
4 6
Рис. 5.1
На ребрах, соединяющих узлы 1, 2, 3, указаны длины. Узел 3 соединен с узлами 1 и 2 минимальной длиной 4+6=10. Если соединить
узлы 1 и 2, то возникает цикл и получающаяся сеть не будет минимальной. Отсутствие циклов в минимальной сети дало ей название
"минимальное дерево-остов".
2.3.2 Алгоритм решения
Начнем с любого узла и соединим его с ближайшим узлом сети.
Соединенные два узла образуют связное множество, а остальные —
несвязное. Далее в несвязном множестве выберем узел, который расположен ближе других к любому из узлов связного множества. Скорректируем связное и несвязное множества и будем повторять процесс
до тех пор, пока в связное множество не попадут все узлы сети. В
случае одинаково удаленных узлов выберем любой из них, что указывает на неоднозначность (альтернативность) "минимального дерева-остова".
Пример. Телевизионная фирма планирует создание кабельной
сети для обслуживания 5 районов-новостроек. Числа на ребрах указывают длину кабеля (рис.5.2). Узел 1 — телевизионный центр. Отсутствие ребра между двумя узлами означает, что соединение соответствующих новостроек либо связано с большими затратами, либо
невозможно.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]