Методы оптимизации и теории управления. Методические указания к самостоятельной работе по дисциплинам «Методы оптимизации», «Математические методы тео

УДК 681.518(05)

Д.332

Рецензент - канд. физ.– мат. наук, Н. М. Мишачев

Д.332 Денисенко, Ю.И.

Методы оптимизации и теории управления. [Текст]: методические указа-

ния к самостоятельной работе по дисциплинам «Методы оптимизации», «Ма-

тематические методы теории управления» / сост.Ю.И. Денисенко. Липецк: Изд-

во ЛГТУ, 2013. – 18 с.

Методические указания предназначены для самостоятельной работы сту-

дентов направлений 010800.62 («Механика и математическое моделирование»)

и 220100.62 («Системный анализ») по дисциплине «Методы оптимизации», «Математические методы теории управления» и другим, связанным с приме-

нением различных методов оптимизации и теории управления при решении оп-

тимизационных задач и задач нелинейного программирования.

Табл. 2. Библиогр.: 17 назв.

© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный техниче-

ский университет», 2013

2

Содержание

1.Цель работы……………….……………………………………….……….……4

2.Лабораторная работа №1. Линейное программирование…………………..…5

3.Лабораторная работа № 2. Вычисление расстояния между кривыми..............7

4.Лабораторная работа №3. Методы оптимизации первого порядка.……...…11

5.Лабораторная работа №4. Нелинейная задача о наименьших квадратах…..12

6.Лабораторная работа №5. Методы условной оптимизации……..………..…12

7.Лабораторная работа №6. Расчет алгоритмов стабилизации непрерывных систем» (первая часть)………………………………………………….………….13

8.Лабораторная работа №6. Расчет алгоритмов стабилизации дискретных систем (вторая часть)…………………………………………….…………….….….16

9.Библиографический список……………………………………………..……..16

3

Цель работы

Для закрепления знаний студентов по отдельным разделам курсов «Мето-

ды оптимизации», «Математические методы теории управления» проводятся лабораторные занятия, целью которых является формирование навыков само-

стоятельной работы по решению оптимизационных задач и задач теории управ-

ления. Для лабораторных занятий обязательным является изучение основных методов оптимизации (безусловной и условной), методов решения нелинейной задачи о наименьших квадратах, методов адаптации и оптимизации в совре-

менной теории автоматического управления, алгоритмов стабилизации непре-

рывных и дискретных систем управления.

В методических указаниях рассмотрены некоторые понятия по дисципли-

нам «Методы оптимизации», «Математические методы теории управления»,

приведены задания к лабораторным работам, содержащие требования к оформлению отчетов о проделанной работе.

4

Лабораторная работа №1. Линейное программирование

Формы записи задач линейного программирования Отдельный класс оптимизационных задач образуют задачи линейного про-

граммирования. В них требуется найти экстремум целевой функции f = c1x1 +… cnxn

при наличии ограничений в виде неравенств ai1 +...+ ainxn ≤ bi, i =1,2,...,m.

Эти условия можно записать в матричной форме

CTX→extr, AX ≤ b (1).

Здесь b и c – векторы-столбцы, А – матрица размера m*n. Существует другая форма записи, называемая канонической, когда ограничения имеют вид равенств, а на переменные накладывается требование положительности

CTX→ min, AX = b, X ≥ 0 (2)

Существуют преобразования, при помощи которых задачу линейного программирования можно свести к одной из этих форм.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Решить задачу линейного программирования (1) для указанных матриц

A, b, C. Значения A, b, C взять из таблицы 1.

5

Продолжение таблицы 1

6

Лабораторная работа № 2. Вычисление расстояния между кривыми

Цель работы: найти двумя способами расстояние между двумя фигурами на плоскости (методом множителей Лагранжа и при помощи вариационного исчисления). Для компьютерного получения решения и его визуализации ис-

пользовать пакет MAPLE или другие математические пакеты [17]. 1. Метод множителей Лагранжа

Стандартная условно-экстремальная задача формулируется следующим образом: найти минимум функции (критерия)

J = f(x1, ..., xn)

при наличии ограничений g1(x1, ..., xn) = 0, …, gm(x1, ..., xn) = 0, или корот-

ко

J = f(X) →min; g(X) =0; X Rn

Основной аналитический метод решения связан с введением вектора множителей Лагранжа λ = [λ1,… , λ m] и построением составного критерия

(функции Лагранжа)

L = f(X) + λ g(X) → min

или в более подробной записи L= f + λ1g1 + … + λ mgm.

Экстремум этой функции определяется обычным образом путем взятия производных и приравнивания их нулю. Тем самым исходная условно-

экстремальная задача сводится к задаче нахождения безусловного экстремума.

2. Применение вариационного исчисления Методы Ферма и Лагранжа позволяют аналитически решать конечномер-

ные экстремальные задачи, когда критерий зависит от конечного числа неиз-

вестных. Более трудны для решения бесконечномерные экстремальные задачи,

когда критерий зависит от неизвестной функции f(x). Такие задачи решают ме-

тодами вариационного исчисления. Простейшая задача вариационного исчис-

ления формулируется следующим образом. Требуется найти кривую y = f(x),

7

проходящую через две заданные точки A(x1, y1), В(x2, y2) и доставляющую экс-

тремум функционалу

Уравнение Эйлера (2) представляет собой нелинейное дифференциальное

уравнение второго порядка, семейство решений которого содержит экстре-

мальную кривую y = f(x). Следует заметить, что уравнение Эйлера не дает окончательного решения поставленной задачи, а лишь выделяет класс кривых,

подозрительных на экстремум. Ситуация здесь вполне аналогична поиску экс-

тремума функции путем ее дифференцирования, когда экстремум может ока-

заться либо в одной из точек, где производная равна нулю, либо на краях ин-

тервала.

Общее решение уравнения (2) зависит от двух произвольных постоянных y = f(x, C1, C2) и задает двухпараметрическое семейство экстремалей. Для определения постоянных C1, C2 и выделения из семейства экстремалей одной

кривой – решения исходной задачи используют краевые условия: f(x1) = y1; f(x2) = y2.

В простейшей задаче вариационного исчисления левая и правая точки ис-

комой кривой фиксированы. В общем случае эти точки могут лежать на задан-

ных кривых, тогда говорят о вариационной задаче с подвижными границами.

Пусть левая точка А находится на кривой φ(x), а правая точка В – на кри-

вой

ϕ(x). Рассмотрим случай, когда в качестве функционала (1) выступает длина кривой y = f(x), соединяющей кривые φ(x) и ϕ(x), т.е. он имеет вид

х 2

J = 1 у 2 dx.

х1

8

К минимизации такого критерия сводятся разнообразные задачи о рассто-

янии между точками, прямыми и кривыми.

Уравнение Эйлера (2) в этом случае принимает простой вид у 0 (по-

кажите это), его решения (экстремали) – прямые линии y = kx + b. Это соответ-

ствует очевидному геометрическому факту, что кратчайшие пути на плоскости

– отрезки прямых. Для определения постоянных k, b привлекают так называе-

мые условия трансверсальности. Они имеют вид

Одно из них относится к левому концу искомой кривой у, другое – к пра-

вому.

3. Задание для самостоятельной работы.

Требуется вычислить расстояние между двумя фигурами (согласно вари-

анту задания). В случае если фигуры пересекаются, путем переноса центра окружности и/или поворота одной из парабол или гипербол нужно добиться то-

го, чтобы фигуры не пересекались. При этом следует привести исходные и ре-

зультирующие уравнения, а также указать, на какой угол был осуществлен по-

ворот. Затем нужно двумя способами вычислить расстояние между фигурами

(методом неопределенных множителей Лагранжа и с использованием вариаци-

онного исчисления). Вращение фигуры на плоскости осуществляется следую-

щим образом. Предположим, исходная фигура задана уравнением f(x,y) = 0.

Для того чтобы повернуть ее вокруг начала координат на угол φ против часовой стрелки, нужно осуществить подстановку

х1= xcosφ + ysinφ; y1 = ycosφ – xsinφ.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

1) уравнение, описывающее две заданные фигуры, их чертеж. Если фигуры пересекаются, то привести уравнения и чертеж измененных фигур вместе с тек-

стом программы для получения преобразованных уравнений; 2) определение кратчайшего расстояния между фигурами методом множи-

телей Лагранжа. Чертеж, содержащий две фигуры, отрезок минимальной дли-

9

ны, соединяющий их, и точки его пересечения с двумя фигурами. Значения множителей Лагранжа;

3) поиск кратчайшего расстояния средствами вариационного исчисления.

Уравнение Эйлера, его решение. Вывод уравнений трансверсальности. Чертеж,

содержащий две фигуры, экстремальные прямые и точки их пересечения с фи-

гурами;

4) сравнение результатов, полученных двумя методами. Координаты точек пересечения искомой прямой с обеими фигурами. Уравнение, описывающее эту прямую.

4. Контрольные вопросы

1. Найти расстояние между параболой y = x2 и прямой x – y = 5:

а) методом множителей Лагранжа;

б) с помощью вариационного исчисления.

2. Найти расстояние от точки A(1,0) до эллипса 4x2+9y2 = 36:

а) методом множителей Лагранжа;

б) с помощью вариационного исчисления.

3. Выписать и решить уравнение Эйлера для функционалов:

В каждом варианте требуется найти расстояние между двумя заданными

фигурами. Уравнения фигур приведены ниже:

10