Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации технических систем. Методические указания к самостоятельной работе студентов
.pdf
2900
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОРВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Методические указания к самостоятельной работе студентов
И.Г. Бянкин
И.В. Ткачук
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2014
УДК 519.22(07)
Б994
Рецензент – д-р техн. наук, проф. С.А. Дубровский
Бянкин И.Г.
Б994 Методы оптимизации технических систем [Текст]: методические указа-
ния к самостоятельной работе студентов / сост. И.Г. Бянкин, И.В. Ткачук. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2014. – 36 с.
Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов при изучении методов оптимизации технических систем и объектов металлургии. Описаны идеи и вычислительные алгоритмы основных методов оптимизации, применяемых при проектировании, построении нелинейных математических моделей и организации автоматического управления тепловыми
объектами и процессами.
Методические указания предназначены для студентов очной и очнозаочной форм обучения квалификаций «бакалавр» и «магистр».
Методические указания могут быть использованы при выполнении отдельных разделов курсовых проектов и выпускной квалификационной работы.
Ил.6, Табл.10, Библиограф.: 4 назв.
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный
технический университет», 2014
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Исследуемые объекты металлургического производства, как правило, ха-
рактеризуются наличием большого числа факторов. Здесь особое значение при-
обретает стратегия оптимизирующего эксперимента, позволяющая минимизи-
ровать число требуемых опытов.
Оптимизация – это приспособление параметров одной системы (оборудование, сайты, работа завода) под требования, предъявляемые другой системой
для успешного и плодотворного взаимодействия, с целью повышения произво-
дительности и полезной отдачи обеих систем, а также уменьшения времени за-
трачиваемого в целом.
Методы оптимизации – поиск экстремума функции (в практических задачах – критериев оптимальности) при наличии ограничений или без ограничений
очень широко используются на практике. Это прежде всего оптимальное про-
ектирование (выбор наилучших номинальных технологических режимов, эле-
ментов конструкций, структуры технологических цепочек, условий экономиче-
ской деятельности, повышение доходности и т.д.), оптимальное управление,
построение нелинейных математических моделей объекта управления (мини-
мизация невязок различной структуры модели и реального объекта) и многие
другие аспекты решения экономических и социальных проблем (например,
управление запасами, трудовыми ресурсами, транспортными потоками).
При оптимальном управлении объектами далеко не всегда требуется зна-
ние математической модели этого объекта, а часто вполне достаточно, исполь-
зуя некоторый алгоритм, привести объект или режим его функционирования в
оптимальное состояние. Очевидно, что «перевод» объекта в оптимальное со-
стояние не должен нарушать некоторых ограничений (пространственных, вре-
менных, энергетических и пр.).
Решение задачи может быть выполнено с использованием формальных ал-
горитмов только при известной функциональной зависимости критерия опти-
мальности R(Х) от действующих на объект переменных Х, называемых факто-
3
рами. В общем случае при наличии нескольких факторов под Х следует понимать вектор (x1, x2,…, xi,…, xn), а критерий R(Х) становится функцией многих
переменных.
Большинство практических задач оптимизации не могут быть решены ана-
литически по тем или иным причинам. Поэтому обычно используют численные
методы оптимизации, основные из которых классифицируются следующим образом:
1. По размерности решаемой задачи: однофакторные и многофакторные.
2. По способу формирования шага «продвижения» к оптимуму.
3. По наличию активных ограничений.
Ниже будут рассмотрены методы отыскания экстремума многофакторной
функции R(Х) без активных ограничений. Активными принято называть такие
ограничения, по границам которых в факторном пространстве может проходить
траектория движения из исходной точки к оптимуму. При известном критерии
R(Х) важнейшим параметром поиска оптимума является выбор шага движения
от одной точки факторного пространства к другой, находящейся ближе к обла-
сти экстремума. Совокупность таких шагов и формирует траекторию движения
в факторном пространстве.
2. МНОГОМЕРНАЯ БЕЗГРАДИЕНТНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
КОНЦЕПЦИЯ МЕТОДОВ
В данном разделе рассматриваются численные методы оптимизации, у ко-
торых величина и направление шага к оптимуму формируются однозначно по
определенным детерминированным функциям в зависимости от свойств крите-
рия оптимальности в окрестности текущей точки без использования производ-
ных (т.е. градиента). Все алгоритмы имеют итерационный характер и выражаются формулой
4
jjj
xRfxx
1
.
Рис.1. Иллюстрация траекторий поиска минимума функции безградиентными детерминиро-
ванными методами: 1 – оптимум; 2 – траектория метода параллельных касательных; 3 – траектория метода Гаусса – Зейделя; 4 – траектория метода Розенброка; 5 – траектория симплексного метода; 6 – начальные точки поиска
Основная особенность рассматриваемой группы методов – отсутствие вычисления градиента критерия оптимальности. Ряд методов прямого поиска ба-
зируется на последовательном применении одномерного поиска по перемен-
ным или по другим задаваемым направлениям, что облегчает их алгоритмиза-
цию и применение.
На рис.1 приводятся возможные траектории поиска каждым из ниже рас-
сматриваемых методов. Кроме того, также для всех приведенных траекторий
выбраны различные начальные условия с тем, чтобы не загромождать построения.
МЕТОД ГАУССА-ЗЕЙДЕЛЯ
Метод Гаусса-Зейделя (в математической литературе используется и другое название – метод покоординатного спуска) заключается в последовательном
поиске оптимума R(x) поочередно по каждой переменной. Причем после за-
вершения перебора всех переменных (т.е. после завершения одного цикла)
опять в общем случае приходится перебирать все переменные до тех пор, пока
не придем к оптимуму.
В ряде случаев (для сепарабельных критериев оптимальности, т.е. таких
R(x1, x2,…, xi,…, xn), которые можно представить в виде
R(x)=f(x1)+f(x2)+...+f(xi)+...+ f(xn),
5
удается получить решение всего за один цикл. В случае тесной нелинейной
Рис. 2. Иллюстрация движения
к оптимуму Гаусса-Зейделя
взаимосвязи переменных (например, при наличии произведения переменных и
т.п.) для получения решения приходится делать очень много циклов.
Метод обладает низкой эффективностью в овражных функциях, может за-
стревать в “ловушках”, особенно при сравнительно больших шагах h при поиске оптимума по каждой переменной, очень чувствителен и к выбору системы
координат. Метод прост в реализации. На эффективность метода влияет поря-
док чередования переменных.
Одна из возможных траекторий поиска минимума двумерной функции ме-
тодом Гаусса-Зейделя приведена на рис. 2. В качестве начальной изменяемой
переменной в каждом цикле принята х
.
2
В начале эксперимента выбирается не-
которая базовая (исходная) точка, характе-
ризуемая значениями фактор х
устанавливаются интервалы х
1
0
1
и
и х
0
. Затем
2
х2 варьи-
рования факторов.
На первом этапе эксперимента фикси-
руется, например, фактор х2, а фактор х
из-
1
меняется (варьируется) несколько раз с вы-
бранным интервалом х1. В начале варьиро-
вание фактора х
осуществляется в обе сторо-
1
ны от базовой точки для того, чтобы выяснить, в каком направлении происхо-
дит нужное изменение функции отклика. После определения этого направления
производится варьирование фактора х
этому фактору (точка О
На втором этапе за базовую точку принимается точка О
1
ми х
х2. Вначале выясняется направление движения, затем выполняется рабочее
0
, х
1
. Теперь фиксируется фактор х1, а фактор х
2
до достижения частного экстремума по
1
(1)
).
1
(1)
с координата-
1
варьируется с интервалом
2
6
движение до достижения частного экстремума по фактору х
1
ординатами этой точки будут значения факторов х
1
, х
1
.
2
(точка О
2
(1)
2
). Ко-
В общем случае при числе факторов п, превышающем два рассматривае-
мых, производится п этапов последовательных вариаций каждого фактора до
частного экстремума при фиксировании остальных факторов.
Затем операции повторяются исходя из условия, что базовой точкой при
двухфакторном эксперименте будет не точка (х
0
,х
), а точка (х
1
2
1
1
,х
).
1
2
0
Основными достоинствами метода являются его простота и наглядность.
К недостаткам метода относятся следующие его особенности.
1. Путь к экстремуму параметра оптимизации достаточно долог (особенно
при большом числе факторов).
2. Метод не дает информации о кривизне поверхности отклика.
3. Если поверхность отклика имеет больше одного оптимума, то метод
может дать ложный ответ о расположении главного экстремума.
4. В условиях производства трудно стабилизировать все управляемые
факторы, кроме одного; это может вызвать большие погрешности в определе-
нии частных экстремумов.
Условием окончания поиска является малость изменения критерия опти-
мальности за один цикл или невозможность улучшения критерия оптимально-
сти ни по одной из переменных.
Для нейтрализации недостатков разработаны модификации алгоритма,
среди которых рассмотрим метод поиска с последействием.
При нахождении оптимума по каждой переменной прекращают поиск не в
точке оптимума, а несколько пройдя ее. При этом удается “выскочить из лову-
шек”, за меньшее число циклов выйти в район оптимума. В районе оптимума
наблюдается зацикливание, и в этом случае последовательно уменьшают вели-
чину последействия.
7
В двумерных задачах метод Гаусса-Зейделя фактически сводится к методу
211
2
2
2
121
sin, xDxCxBxAxxxR
hxx
ii11
1
наискорейшего спуска, так как в обоих методах траектория поиска представля-
ет собой последовательность взаимноортогональных отрезков.
Основными достоинствами метода являются его простота и наглядность.
К недостаткам метода относятся следующие его особенности.
1. Путь к экстремуму параметра оптимизации достаточно долог (особенно
при большом числе факторов).
2. Метод не дает информации о кривизне поверхности отклика.
3. Если поверхность отклика имеет больше одного оптимума, то метод
может дать ложный ответ о расположении главного экстремума.
4. В условиях производства трудно стабилизировать все управляемые
факторы, кроме одного; это может вызвать большие погрешности в определе-
нии частных экстремумов.
Пример. Требуется найти минимум функции
,
где А =1,5, В =2, С =1,2, D =2.
1) Интервал поиска: х
2) Начальная точка: x10 = 1,4962, x
1нач
= -2, х
1кон
=2, х
=-1.
20
2нач
= -2, х
2кон
= 2.
3) Параметры поиска: шаг h = 0,1, погрешность = 0,01.
Результаты вычислений. Из начальной точки (1,4962, -1,0000) с R =
3,9719 ищем минимум критерия оптимальности по переменной х1. Используем
прием последовательного сканирования, т.е. “шагаем” до первого лучшего зна-
чения критерия, применяя алгоритм
. Нижний индекс – номер пере-
менной, верхний – номер шага. Знак “+” или выбирается в зависимости от
направления изменения критерия: нужно взять такой знак, при котором крите-
рий уменьшается. Наилучшей в этом направлении оказывается точка с коорди-
натами (0,6962, -1,0000) и R= 1,30374, полученная после семи шагов. Из этой
точки ищем минимум критерия по переменной х
точку (0,6962, -0,3000) с R = 0,3258 тоже после семи шагов. На этом заканчива-
тем же методом. Находим
2
8
ется первый цикл поиска и начинается следующий, заключающийся опять в
№ цикла
х1
х2
R
2
-0,0038
0,0000
0,0000
3
-0,0038
0,0000
0,0000
i
n
ii
хxx ...,,,
21
11
2
1
1
...,,,
i
n
ii
хxx
11i
x
поиске minR по переменной x1, затем по х2. Далее в табл.1 приведены лишь координаты точек и значения критериев в концах циклов.
Таблица 1
После третьего цикла ни по одной из переменных (при изменении их с шагом h = 0,1) не удается получить меньшее значение R. Следовательно, последнюю точку считаем решением.
МЕТОД РОЗЕНБРОКА
Метод Розенброка направлен на ликвидацию одного из недостатков метода
Гаусса-Зейделя – высокую чувствительность эффективности к выбору системы
координат. Метод сводится к отысканию «удачной» системы координат путем
поворота исходных осей координат. После этого цикл поиска осуществляется
поочередно по всем переменным последовательно.
Первый цикл поиска полностью совпадает с методом Гаусса-Зейделя.
Пусть исходная точка х
0
, а точка, в которой завершился первый цикл, – х
1
. Век-
тор смещения изображающей точки поиска будет равен S =хх –х0. Чем больше
одна составляющая вектора S, тем существеннее в данной текущей ситуации
эта переменная (по ней произошло основное движение). Переход к новой си-
стеме координат должен учитывать это обстоятельство. Поэтому преобразовы-
вать систему координат из
в систему
надо таким обра-
зом, чтобы наиболее существенная переменная была бы в направлении по вектору S. По этому направлению должна быть направлена та переменная, по ко-
торой поиск будет осуществляться в первую очередь (т.е.
). Тогда новые оси
9
(в общем случае на (i+1)-м шаге) определятся следующим образом из условия
n
j
iji
j
i
eS
1
1
1
n
j
iji
j
i
eS
2
1
2
n
j
iji
j
i
eS
3
1
3
i
j
e
1
1
1
1
1
i
i
i
j
e
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
,
,
iiii
iiii
i
ee
ee
e
111
1
1
1
iiexx
sincos
21
1
1
iii
xxx
cossin
21
1
2
iii
xxx
их ортогональности. Новый базис системы координат:
где
,
– орты исходной системы координат. Для ортогонализации и нормиро-
,
и т.д.,
вания базиса переходят к ортам новой системы координат стандартным обра-
зом:
,
и т.д. Здесь в круглых скобках обозначено скалярное произведение векторов.
Первая новая координата
является самой важной, остальные могут
быть получены и произвольно, соблюдая условия их ортогональности. Отме-
ченные преобразования (поворот осей) осуществляются после каждого цикла
поиска.
В случае низкой размерности задачи (n = 2, 3) можно непосредственно
пользоваться формулами поворота осей координат, известными из математики.
Например, для двухмерной задачи с учетом используемых обозначений будем
иметь
,
,
где φ — угол поворота, определяемый как отношение координат вектора S.
Особенно метод Розенброка эффективен для квадратичных функций, где
оптимум может быть найден после одного преобразования осей. В общем слу-
чае метод Розенброка на каждом цикле обеспечивает такое изменение коорди-
натных осей, при котором направление первого спуска очередного цикла стре-
мится к оптимальному, т.е. к антиградиентному.
Одна из возможных траекторий поиска минимума двухмерной функции
методом Розенброка приведена на рис. 1.
Пример
Для сравнения рассмотрим решение примера предыдущего раздела.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]