Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации технических систем. Методические указания к самостоятельной работе студентов
.pdf
Четвертый поиск по градиенту
4
0,989
0,984
-0,0646
-0,0640
0,0909
-3,9991
4
.0,996
0,990
-0,0646
-0,0640
0,0909
-3,9998
4
1,002
0,997
-0,0646
-0,0640
0,0909
-4,0000
Пятый поиск по градиенту
5
1,002
0,997
0,0126
-0,0128
0,0179
-4,0000
5
1,001
0,998
0,0126
-0,0128
0,0179
-4,0000
5
1,000
0,999
0,0126
-0,0128
0,0179
-4,0000
Процесс повторяется до тех пор, пока не найдем наилучшую точку.
001
xRgradhxx
11
iiii
xRgradxRgradhxx
МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ
Градиентные методы, базирующиеся только на вычислении градиента R(x),
являются методами первого порядка, так как на интервале шага они заменяют
нелинейную функцию R(x) линейной.
Более эффективными могут быть методы второго порядка, которые ис-
пользуют при вычислении не только первые, но и вторые производные от R(x) в
текущей точке. Однако у этих методов есть свои труднорешаемые проблемы –
вычисление вторых производных в точке, к тому же вдали от оптимума матри-
ца вторых производных может быть плохо обусловлена.
Метод сопряженных градиентов является попыткой объединить достоин-
ства методов первого и второго порядка с исключением их недостатков. На
начальных этапах (вдали от оптимума) метод ведет себя как метод первого порядка, а в окрестностях оптимума приближается к методам второго порядка.
Первый шаг аналогичен первому шагу метода наискорейшего спуска, вто-
рой и следующий шаги выбираются каждый раз в направлении, образуемом в
виде линейной комбинации векторов градиента в данной точке и предшеству-
ющего направления.
Алгоритм метода записывается следующим образом (в векторной форме):
,
.
31
Величина α может быть приближенно найдена из выражения
2
12i
i
xRgrad
xRgrad
№
х1
х2
dR/dx1
dR/dx2
|grad R |
R
1
-0,500
-1,000
-2,2499
-8,0000
8,3104
7,3750
2
-0,275
-0,200
-2,2499
-8,0000
8,3104
1,6842
3
-0,050
0,600
-2,2499
-8,0000
8,3104
-1,5301
4
0,175
1,400
-2,2499
-8,0000
8,3104
-2,1996
.
Алгоритм работает следующим образом. Из начальной точки х
0
ищут min
R(x) в направлении градиента (методом наискорейшего спуска), затем, начиная
с найденной точки и далее, направление поиска min определяется по второму
выражению. Поиск минимума по направлению может осуществляться любым
способом: можно использовать метод последовательного сканирования без
коррекции шага сканирования при переходе минимума, поэтому точность до-
стижения минимума по направлению зависит от величины шага h.
Для квадратичной функции R(x) решение может быть найдено за п шагов
(п – размерность задачи). Для других функций поиск будет медленнее, а в ряде
случаев может вообще не достигнуть оптимума вследствие сильного влияния
вычислительных ошибок.
Одна из возможных траекторий поиска минимума двумерной функции ме-
тодом сопряженных градиентов приведена на рис. 4.
Пример
Для сравнения рассмотрим решение предыдущего примера.
Первый шаг делаем по методу наискорейшего спуска (табл. 8).
Таблица 8
Найдена наилучшая точка. Вычисляем производные в этой точке: dR/dx1=-
2,908, dR/dx2=1,600; вычисляем коэффициент α, учитывающий влияние гради-
ента в предыдущей точке: α =3,31920∙3,3192/8,31042 =0,160. Делаем рабочий
шаг в соответствии с алгоритмом метода, получаем dx1=0,502, dx
=1,368. Далее
2
32
все повторяется аналогично. В табл. 9 приведены текущие координаты поиска
№
х1
х2
dR/dx1
dR/dx2
|grad R |
R
α 1 0,155
1,303
1,0026
1,2114
1,5725
-3,7407
0,160
2
1,085
0,989
0,5323
-0,0450
0,5342
-3,9774
0,224
3
1,020
0,979
0,1230
-0,0829
0,1484
-3,9978
0,115
4
1,004
0,988
0,0234
-0,0484
0,0537
-3,9996
0,077
5
0,996
1,000
-0,0240
-0,0010
0,0240
-4,0000
0,131
6
1,000
1,002
-0,0001
0,0076
0,0076
-4,0000
0,200
iiiii
xRgradhxxxx
11
следующих шагов.
Таблица 9
МЕТОД ТЯЖЕЛОГО ШАРИКА
Метод базируется на аналогии с движением «тяжелого» материального
шарика по наклонной поверхности. Скорость шарика при движении вниз будет
возрастать, и он будет стремиться занять нижнее положение, т.е. точку мини-
мума. При выводе дифференциального уравнения движения шарика учитывает-
ся его масса и вязкость среды, которые влияют на характер его движения, т.е.
поиска min R(х).
В дискретном варианте траектория поиска описывается следующим алго-
ритмом:
.
При α=0 метод превращается в обыкновенный градиентный. При α=1 поиск не затухает, следовательно, при 0 < α < 1 можно получать различную эффективность метода, которая будет зависеть и от h.
Вдали от оптимума поиск будет ускоряться, а вблизи возможны колебания
около точки min R(x).
К недостаткам метода относится необходимость задания сразу двух не-
формальных параметров, определяющих эффективность поиска. К достоин-
ствам метода, помимо ускорения движения вдали от оптимума, относится воз-
33
можность «проскока» мелких локальных «ямок» (минимумов) за счет «инерци-
№
х1
х2
dR/dx1
dR/dx2
|grad R |
R
0
-0,500
-1,000
-2,2499
-8,0000
8,3100
7,3750
1
-0,275
-0,200
-2,7730
-4,8000
5,5430
1,6842
2
-0,110
-0,120
-2,9635
-4,4800
5,3710
0,8381
3
0,104
0,288
-2,9676
-2,8480
-6,1130
-1,2962
4
0,294
-0,369
-2,7414
-2,5248
0,7269
-2,0585
5
0,473
-0,581
-2,3293
-1,6765
0,8699
-2,9613
6
0,616
-0,642
-1,8612
-1,4300
0,3472
-3,3588
7
0,731
0,755
-1,3988
-0,9812
0,7086
-3,6814
8
0,813
0,797
-1,0160
-0,8131
0,3014
-3,8192
9
0,873
0,857
-0,7110
-0,5719
0,9125
-3,9131
10
0,914
0,884
-0,4913
-0,4638
0,6756
-3,9518
11
0,943
0,917
-0,3316
-0,3323
0,4695
-3,9767
12
0,962
0,934
-0,2240
-0,2651
0,3471
-3,9869
13
0,975
0,952
-0,1486
-0,1927
0,2433
-3,9935
14
0,983
0,962
-0,0994
-0,1518
0,1815
-3,9963
15
0,989
0,972
-0,0653
-0,1115
0,1293
-3,9981
онности шарика», т.е. можно решать и задачу глобальной оптимизации для
функции R(x) с одним явно выраженным минимумом и многими «мелкими».
Одна из возможных траекторий поиска минимума двумерной функции ме-
тодом тяжелого шарика приведена на рис. 4.
Пример
Для сравнения методов рассмотрим решение предыдущего примера. Ре-
зультаты вычислений при α =0,5 и h =0,1 приведены ниже в кратком изложении
(табл. 10), так как никаких принципиально новых элементов здесь нет, кроме
формулы для вычисления рабочего шага.
Таблица 10
34
Обратим внимание на то, что первый шаг делается обычным методом гра-
диента (результаты полностью совпадают с результатами метода градиента),
так как мы еще не имеем предыдущей точки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Белай, Г.Е. Организация металлургического эксперимента [Текст] /
Г.Е. Белай, В.В. Дембовский, О.В. Соценко –Москва: Металлургия,
1993. – 256 с.
2. Зарубин, В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности
[Текст]/ В.С. Зарубин. – Москва: Энергоатомиздат, 1983. -232 с.
3. Васильков, Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математиче-
ском моделировании [Текст]/ Ю.В. Васильков, Н.Н. Василькова. –
Москва: Финансы и статистика, 2002. – 256 с.
4. Тарасик, В.П. Математическое моделирование технических систем
[Текст]/ В.П. Тарасик.–Минск: ДизайнПРО, 2004. – 640 с.
35
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Методические указания
к самостоятельной работе студентов
Составители: Бянкин Иван Григорьевич
Ткачук Инна Валентиновна
Редактор Казьмина Г.В.
Подписано в печать Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная
Ризография. Печ. л. 2,2. Тираж 100 экз. Заказ № .
Издательство Липецкого государственного технического университета.
Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ.
398600, Липецк, ул. Московская, 30.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]