Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации технических систем. Методические указания к самостоятельной работе студентов
.pdf
Поиск каждой новой точки состоит из двух этапов:
j
i
j
i
j
hxx
cos
1
xRgrad
dxdR
j
j
cos
hconsth
i
2
1ii
hh
i
xR
1i
xR
1ii
hh
i
xR
1i
xR
1ii
hh
21
12ii
hh
3
1i
i
h
h
3,6
21
i
ninii
i
g
xxxRxgxxR
dx
dR
,...,,...,,...,,...,
11
1) оценка градиента R(х) путем вычисления частных производных от R(х)
по каждой переменной х
;
j
2) рабочий шаг по всем переменным одновременно.
Величина h сильно влияет на эффективность метода. Большей эффектив-
ностью обладает вариант метода, когда шаг по каждой переменной определяет-
ся направляющими косинусами градиента
,
.
В этом случае величина рабочего шага не зависит от величины модуля
градиента, и ей легче управлять изменением h. В районе оптимума может возникать значительное “рыскание”, поэтому используют различные алгоритмы
коррекции h.
Наибольшее распространение получили следующие алгоритмы:
1)
(без коррекции);
2)
3)
между градиентами на предыдущем и текущем шаге; α
вые значения выбираются субъективно (например,
, если
, если
˂
;
;
, если
, если α
˃α;
1
˃
;
, α2 ˂α, где α – угол
и α2 – заданные порого-
1
).
Вдали от оптимума направление градиента меняется мало, поэтому шаг
можно увеличить (второе выражение), вблизи от оптимума направление резко
меняется (угол между градиентами R(x) большой), поэтому h сокращается (третье выражение).
Для оценки частных производных используются разностные методы:
1. Алгоритм с центральной пробой
.
2. Алгоритм с парными пробами
21
Рис. 5. Иллюстрация движения к
оптимуму по методу градиента
i
niinii
i
g
xgxxRxgxxR
dx
dR
,...,,...,,...,,...,
11
,
jbibj
x
R
i
x
R
Rgrad
21
21
2
13
2
2
1
24
1
1
2
;
2 x
RR
x
R
b
x
RR
x
R
b
mm
m
m
mm
m
m
m
p
mm
p
m
bxbx
2211
;
где gi — пробный шаг по i-й переменной, выбираемый достаточно малым для
разностной оценки производной.
На каждом этапе движения к экстремуму вокруг выбранной базовой точ-
ки производятся пробные эксперименты. По их результатам оценивается
направление градиента в факторном пространстве. Затем в этом направлении
совершается шаг в новую базовую точку; она, естественно, будет ближе к оп-
тимуму, чем предыдущая.
Вспомним, что градиент функции R(x1,x2) записывается в виде
,
где i, j – единичные векторы по осям х1 и х2.
Для определения производных b1 и b2 в окрестностях базовой точки ста-
вятся по два пробных опыта по обе стороны от этой точки вдоль направления
каждой из факторных координат при стабилизации остальных факторов (рис.
5). В обозначениях рис. 5 частные производные b
1
(m)
и b
(m)
можно приближенно
2
записать в виде
.
Направление градиента строится
так, чтобы его проекция на ось х
пропорциональна b
порциональна b
(m)
, а на ось х2 – про-
1
(m)
. Рабочие шаги при
2
была
1
этом будут
,
где
– параметр рабочего шага; т – но-
p
мер этапа.
22
Направление движения выбирают в зависимости от знаков b
021
x
R
x
R
k
x
R
j
x
R
i
x
R
Rgrad
321
xRgrad
21
2
2
3
121
, DxCxBxAxxxR
Поскольку при экстремуме будет выполнено условие
,
(0)
1
и b
(0)
.
2
то рабочие шаги продолжаются до тех пор, пока величины b
1
(m)
и b
(m)
не станут
2
достаточно малыми. В общем случае, при числе факторов п, превышающем
два рассматриваемых, градиент функции у записывается в виде выражения
,
где i, j, k – единичные векторы по осям х
, х2, х
1
.
3
Направление градиента строится аналогично случаю для двух факторов.
Основными недостатками метода являются следующие:
1. Метод не дает информации о кривизне поверхности отклика.
2. При сложной конфигурации поверхности отклика метод может не при-
вести к главному экстремуму.
3. Метод обладает высокой чувствительностью к случайным помехам при
выборе направления рабочего движения.
Факторные методы получили свое название потому, что при выборе
пробных точек в n-мерном факторном пространстве осуществляется варьирование сразу всех n факторов относительно базовой точки.
Первый алгоритм требует меньших затрат по сравнению со вторым
(обычно затраты выражаются количеством вычислений критерия оптимально-
сти), но позволяет получить решение менее точно, чем второй, и эта погреш-
ность зависит от величины пробного шага.
Условием окончания поиска может являться малость модуля градиента
R(x), т.е.
˂ε.
Пример. Требуется найти минимум функции
, где A=1, B=2, C=3, D=4.
1) Интервал поиска: x
1нач
=-2, х
1кон
=2, х
2нач
=-2, х
2кон
=2.
23
2) Начальная точка: х10=-0,5, х20=-1.
iii
xRgradhxx
1
2499,21
dx
dR
82
dx
dR
7730,21
dx
dR
8,42
dx
dR
№
х1
х2
dR/dx1
dR/dx2
|grad R |
R
3
0,302
0,568
-2,7258
-1,7280
3,2274
-2,5060
4
0,575
0,741
-2,0085
-1,0368
2,2603
-3,4002
5
0,776
0,844
-1,1947
-0,6221
1,3470
-3,8120
6
0,895
0,907
-0,5958
-0,3732
0,7031
-3,9508
7
0,955
0,944
-0,2652
-0,2239
0,3471
-3,9877
8
0,981
0,966
-0,1112
-0,1344
0,1744
-3,9967
3) Параметры поиска: коэффициент шага h = 0,1, пробный шаг g = 0,01, по-
грешность ε = 0,01.
4) Алгоритм метода: алгоритм 1
.
5) Алгоритм коррекции шага: без коррекции коэффициента пропорционально-
сти шага (h = const).
6) Способ вычисления производной: вычисление grad R с парными пробами.
Результаты вычислений. В начальной точке вычисляем градиент функции:
R(xi+g,x2) = 7,352, R(x1-g,x2) = 7,397,
R(x1,x2+g) = 7,295, R(x1,x2-g) = 7,455,
,
.
Значение критерия R = 7,3750. Делаем рабочий шаг, получаем х1 =-0,275,
х
=-0,2.
2
В новой точке опять вычисляем производные:
R(x1+g,x2) = 1,656, R(x1-g,x2) = 1,712,
,
R(x1,x2+g) = 1,636, R(x1,x2-g) = 1,732,
.
Значение критерия R =1,684.
Делаем рабочий шаг, получаем х
=0,002, х2 =0,280.
1
Далее аналогично осуществляем следующие шаги (табл. 4).
Таблица 4
24
9
0,992
0,980
-0,0453
-0,0806
0,0925
-3,9990
10
0,997
0,988
-0,0183
-0,0484
0,0517
-3,9997
11
0,999
0,993
-0,0073
-0,0290
0,0299
-3,9999
12
0,999
0,996
-0,0029
-0,0174
0,0177
-4,0000
13
1,000
0,997
-0,0012
-0,0104
0,0105
-4,0000
14
1,000
0,998
-0,0005
-0,0063
0,0063
-4,0000
В последней точке модуль градиента меньше заданной погрешности
№
х1
х2
dR/dx1
dR/dx2
|grad R |
R
1
-0,500
-1,000
-2,2499
-8,0000
8,3104
7,3750
2
0,400
2,200
-2,5200
4,8000
5,4213
-0,2559
3
1,408
0,280
2,9471
-2,8800
4,1207
-2,3960
4
0,229
1,432
-2,8424
1,7280
3,3265
-2,3020
5
1,366
0,741
2,5986
-1,0368
2,7978
-3,4145
6
0,327
1,156
-2,6798
0,6221
2,7511
-2,8967
7
1,399
0,907
2,8681
-0,3732
2,8923
-3,4427
8
0,251
1,056
-2,8104
0,2239
2,8193
-2,7319
9
1,375
0,966
2,6760
-0,1344
2,6794
-3,5218
10
0,305
1,020
-2,7207
0,0806
2,7219
-2,8860
11
1,393
0,988
2,8244
-0,0484
2,8248
-3,4747
12
0,264
1,007
-2,7914
0,0290
2,7916
-2,7724
13
1,380
0,996
2,7148
-0,0174
2,7148
-3,5114
14
0,294
1,003
-2,7401
0,0104
2,7401
-2,8573
… … … … … … …
(0,0063 < 0,01), поэтому поиск прекращается.
Пример
Отличается от предыдущего только величиной коэффициента пропорцио-
нальности шага h, теперь h = 0,4. Ниже, в табл. 5 приведены только первые 14
шагов (как и в предыдущем случае). Целесообразно сопоставить их путем по-
строения траекторий поиска при обоих значениях h в координатах х1 – х2.
Таблица 5
25
В этом случае поиск носит явно колебательный характер, плохо приближаясь к решению.
МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА
Рассмотрим метод Бокса-Уилсона, называемый еще методом крутого восхождения (спуска). Сокращенно – МКВ.
Основным недостатком градиентного метода является необходимость частого вычисления производных от R(х). Этого недостатка лишен метод наискорейшего спуска, который заключается в следующем.
В текущей точке вычисляется grad R(х), и затем в направлении градиента
ищется min R(x). Практически это может быть осуществлено любым методом
одномерной оптимизации (поиск по одному направлению – направлению гра-
диента), наиболее часто используется сканирование до первого локального ми-
нимума по направлению grad R(x).
В результате вдали от оптимума эффективность метода повышается, мы
быстрее попадаем в район оптимума, в окрестности которого эффективность
метода снижается из-за частой смены направления поиска и приближается к
эффективности метода градиента.
Метод, как и все градиентные методы, обладает невысокой эффективно-
стью в овражных функциях. В ряде случаев можно повысить скорость выхода в
район оптимума предъявлением невысоких требований к точности поиска min
R(x) по направлению (задается величиной h – шагом поиска по направлению).
В данном методе рабочее движение от базовой точки вдоль направления
градиента осуществляется не на один шаг, а до достижения частного экстрему-
ма. Метод обобщает существенные черты метода Гаусса-Зейделя и градиентных методов.
В двухмерном пространстве пробные точки образуют вершины квадрата
со сторонами, параллельными осям факторов. В трехмерном пространстве
26
Рис. 6. Иллюстрация движения к
оптимуму по методу Бокса-Уилсона
пробные точки образуют вершины куба, а при большем числе факторов – вер-
n
n
n
X
x
x
X
x
x
X
x
x
~
;;
~
;
~
2
2
2
1
1
1
2
2413
21
1234
1
~
22
~
;
~
22
~
x
RRRR
x
R
x
RRRR
x
R
mmmm
m
mmmm
m
21
~~
xx
1
~
x
2
~
x
p
m
m
p
m
m
x
R
x
x
R
x
2
2
1
1
~
~
;
~
~
1
2
0
2
1
2
1
1
0
1
1
1
~~~
;
~~~
xxxxxx
шины гиперкуба.
Это означает, что рассматривается нормированное пространство, в кото-
ром при одинаковом числе уровней (числе шагов) по каждому фактору х1, x2, ...,
xn, величины безразмерных шагов должны быть одинаковыми:
,
где X1, X2, ..., Xn – диапазон изменения соответствующего фактора.
Схема движения по методу Бокса-Уилсона показана на рис. 6.
На основании пробных опытов в точках 1, 2, 3, 4 определяется направле-
ние градиента, составляющие которого связаны с откликами в вершинах квад-
рата следующими зависимостями:
где m – номер «базовой» точки;
,
=1.
Далее производится рабочее
движение в направления градиента
с шагом, составляющие вектора ко-
торого по осям
и
могут быть
определены из выражений:
,
где
– параметр рабочего шага.
р
Координаты первой рабочей
точки вычисляются из зависимо-
стей:
.
27
Координаты второй рабочей точки определяются из зависимостей:
1
2
0
2
2
2
1
1
0
1
2
1
~
2
~~
;
~
2
~~
xxxxxx
1
2
0
22
1
1
0
11
~~~
;
~~~
xmxxxmxx
mm
.
Координатами m-й рабочей точки на направлении градиента будут
.
При движении вдоль градиента признаками частного экстремума будут
уменьшение отклика при поиске его максимума и увеличение отклика при по-
иске его минимума.
Найденная точка частного экстремума принимается за базовую, а вокруг
неё организуются новые пробные опыты. Опыты заканчиваются тогда, когда
величина градиента станет достаточно малой.
Метод крутого восхождения сочетает в себе важные черты метода ГауссаЗейделя и метода градиента. Сходство МКВ с методом Гаусса-Зейделя в том,
что при одном цикле шагового движения достигается лишь частный экстремум
на выбранном направлении. Сходство МКВ с методом градиента в том, что ра-
бочее движение к экстремальной области происходят вдоль градиента, состав-
ляющие которого определяются для района поверхности отклика вокруг базо-
вой точки.
Отличие МКВ от метода Гаусса-Зейделя состоит в следующем.
1. По методу Гаусса-Зейделя пробные эксперименты ставятся при стабили-
зации всех факторов, кроме одного, вдоль которого проводятся все опыты до
достижения частного экстремума. В МКВ каждая пробная точка определяется
при варьировании всех факторов.
2. По методу Гаусса-Зейделя направление рабочего движения совпадает с
направлением пробных экспериментов. В МКВ рабочее движение производится
вдоль направления градиента, составляющие которого рассчитываются по ре-
зультатам факторного эксперимента.
Отличие МКВ от метода градиента состоит в следующем.
28
1. В классическом методе градиента два пробных опыта ставятся по обе
стороны от базовой точки вдоль направления каждой из факторных осей при
стабилизации остальных факторов. Общее число пробных опытов при п факторах составляет Nг=2п.
В МКВ число точек для пробных опытов при варьировании п факторов на
двух уровнях для полного факторного эксперимента составляет Nф=2п.
Несмотря на то, что при п3 будет Nф>Nг, факторное планирование имеет
преимущество перед классическим градиентным методом в более точной оценке составляющих градиента в пробных опытах. Действительно, в МКВ для
оценки составляющих градиента используются все 2п точек. В классическом
методе градиента каждая составляющая градиента вычисляется только по двум
точкам.
2. В методе градиента корректировка рабочего движения производится
сразу после каждого рабочего шага. Для этого ставится новая серия пробных
экспериментов. В МКВ корректировка рабочего движения производится лишь
после достижения частного экстремума на найденном направлении градиента.
Это экономит значительное число опытов.
З. Метод крутого восхождения позволяет извлечь информацию о степени
кривизны поверхности отклика в районе базовой точки, поскольку в направле-
нии оси каждого фактора определяются по две разности между откликами. По
методу градиента этого сделать нельзя.
Условием окончания может являться малость модуля градиента R(x)
|grad R(x)|< ε. Можно также использовать и малость приращений по перемен-
ным в результате шага, но только в том случае, если на данном шаге мы «про-
скочили» оптимум, иначе может оказаться, что малость шага обусловлена не
близостью к оптимуму, а малостью коэффициента пропорциональности шага h.
В ряде случаев используют уменьшение шага поиска оптимума по направ-
лению после каждой смены направления. Это позволяет с большей точностью
каждый раз находить оптимум, но резко снижает эффективность поиска в
29
овражных функциях. Метод используется для локализации «дна оврага» в спе-
№
х1
х2
dR/dx1
dR/dx2
|grad R |
R
1
-0,500
-1,000
-2,2499
-8,0000
8,3104
7,3750
2
-0,275
-0,200
-2,2499
-8,0000
8,3104
1,6842
3
-0,050
0,600
-2,2499
-8,0000
8,3104
-1,5301
4
0,175
1,400
-2,2499
-8,0000
8,3104
-2,1996
№
х1
х2
dR/dx1
dR/dx2
|grad R |
R
Второй поиск по градиенту
2
0,175
1,400
-2,9081
1,6000
3,3192
-2,1996
2
0,466
1,240
-2,9081
1,6000
3,3192
-3,1811
2
0,757
1,080
-2,9081
1,6000
3,3192
-3,8239
2
1,047
0,920
-2,9081
1,6000
3,3192
-3,9804
Третий поиск по градиенту
3
1,047
0,920
0,2912
-0,3200
0,4326
-3,9804.
3
1,018
0,952
0,2912
-0,3200
0,4326
-3,9944
3
0,989
0,984
0,2912
-0,3200
0,4326
-3,9991
циальных овражных методах. Условием окончания поиска в этом случае явля-
ется достижение заданной малой величины шага.
Одна из возможных траекторий поиска минимума двумерной функции ме-
тодом наискорейшего спуска приведена на рис. 6.
Пример
Для сравнения с методом градиента рассмотрим решение предыдущего
примера при h = 0,1.
Результаты расчетов. Расчет производных детально рассмотрен выше, поэтому здесь не приводится. Ниже, в табл. 6 приводятся результаты движения по
градиенту с постоянным шагом.
Таблица 6
В следующей точке (0,400;2,00) значение критерия (R = -0,256) оказывается хуже, чем в последней (R =-2,1996). Поэтому в найденной точке оптимума по
направлению снова вычисляем градиент и по нему совершаем шаги (табл. 7).
Таблица 7
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]