Методы оптимизации и теории управления. Методические указания к самостоятельной работе по дисциплинам «Методы оптимизации», «Математические методы тео

Лабораторная работа №3. Методы оптимизации первого порядка

Задание для лабораторной работы

1.Написать условие задачи и аналитическое выражение для градиента.

2.Решить задачу методом Коши, используя:

метод квадратичной интерполяции, метод кубической интерполяции и ме-

тод первого приемлемого значения.

3.Решить задачу методами Флетчера-Ривса и Полака-Рибьера.

4.Решить задачу методами DFP и BFGS.

Представить результаты решения задачи различными методами в таблице.

Сравнить результаты, полученные методами первого порядка и методами второго порядка.

Контрольные вопросы

1.Математическая модель задачи безусловной оптимизации.

2.Метод Коши.

3.Метод Флетчера-Ривса.

4.Метод Полака-Рибьера.

5.Методы DFP и BFGS.

6.Методы нахождения шага: метод первого приемлемого значения, квад-

ратичная интерполяция, кубическая интерполяция.

Задание выдается студентам в электронной форме.

11

Лабораторная работа №4. Нелинейная задача о наименьших квадратах

Задание для лабораторной работы

1.Сформировать исследуемую функцию согласно варианту.

2.Найти минимум функции следующими методами: методом Гаусса-

Ньютона,

методом Левенберга -Марквардта, методом BFGS, методом DFP.

3.Представить результаты расчета всеми методами в таблице.

4.Сделать выводы, в которых необходимо отразить:

а) влияние НЗНК на решение алгоритмов; б) анализ полученного решения;

в) анализ эффективности программной реализации используемых методов.

Контрольные вопросы

1.Метод Гаусса-Ньютона.

2.Метод Левенберга-Марквардта.

3.Методы квазиньютоновского типа.

4.BFGS.

5.DFP.

Задание выдается студентам в электронной форме.

Лабораторная работа №5. Методы условной оптимизации

Задание для лабораторной работы

1.Для вариантов задач № 1, 3 и 4 нарисовать область допустимых значений. Для задачи № 2: принять x3 = 1.0 и нарисовать область допустимых значений задачи в проекции на оси x1 и x2.

2.Решить задачу методом Бокса.

3.Решить задачу методом Фиакко – Маккормика с различными функциями штрафов: квадрат срезки, бесконечный барьер, логарифмический штраф, об-

12

ратный штраф. Для каждого вида штрафов написать оптимизируемую функ-

цию.

4.Результаты расчета представить в таблице.

5.Сделать выводы о влиянии вида функции штрафом на решение задачи.

6.Сравнить решение, полученное методом Бокса, и лучшее решение, по-

лученное методом Фиакко – Маккормика.

Контрольные вопросы

1.Метод Бокса.

2.Методы поиска начальной точки: случайный поиск, прямая минимиза-

ции невязок, последовательная минимизация невязок.

3.Основные типы штрафов.

4.Метод Фиакко-Маккормика.

Задание выдается студентам в электронной форме.

Лабораторная работа №6 Расчет алгоритмов стабилизации непрерыв-

ных систем (первая часть)

1. Требуется рассчитать алгоритм управления

А, В, С – заданные матрицы, система вполне управляема, показатель каче-

ства не учитывается. Для определения матрицы К можно использовать метод из

[16]. Для определения оценки xˆ состояния x данной системы по известным из-

мерениям y следует сформировать систему асимптотической оценки: xˆ Axˆ Bu L( y Cxˆ), xˆ0 x0

13

2. Для определения матрицы L можно использовать метод из [16] с заме-

по заданным А, В, С, x0, измеренными y и найденными К, L.

3. Оптимальная стабилизация по состояниям

А, В – заданные матрицы, система вполне управляема,

14

M{x0} 0, M{x0w(t)} 0, M{x0xT0 } D0 ,

(W,S – заданные положительно определенные матрицы).

x(t) ; А, В, G, C – заданные матрицы, система вполне управляема и вполне наблюдаема, показатель качества учитывается в виде J2.

Требуется рассчитать алгоритм управления

матрицы К можно использовать тот же метод, что и в (3,4). Для определения

где положительно определенная матрица D является решением матрично-

го квадратного уравнения

AD DAT DCTS 1CD GWG T 0

15

Лабораторная работа №6. Расчет алгоритмов стабилизации дискрет-

ных систем (вторая часть)

Задачи для дискретных систем формулируются аналогично (см. [11,16]).

Задание выдается студентам в электронной форме.

Библиографический список

1. Алексеев, В.М., Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. За-

дачи./ В.М. Алексеев, Э.М. Галлеев, В.М. Тихомиров. – М.: Физматлит, 2005. –

256c.

2.Васильев, Ф.П. Методы оптимизации./ Ф.П. Васильев.– М.: Факториал Пресс, 2002. – 824 с.

3.Галеев, Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи./ Э.М. Галеев.– М.:

Едиториал УРСС, 2002. – 304 c.

4. Измайлов, А.Ф. Численные методы оптимизации./ А.Ф. Измайлов, М.В.

Солодов. – М.: Физматлит, 2003. – 304 c.

5. Письменный, Д.Т., Конспект лекций по высшей математике. 2 часть

[Текст]/ Д.Т. Письменный. - М.:Айрис-пресс, 2005.– 288 с.

6. Мирошник, И.В. Теория автоматического управления. Линейные систе-

мы./ И.В. Мирошник.– СПб: ПИТЕР, 2005. – 345 с.

7. Сухарев, А.Г. Курс методов оптимизации./ А.Г. Сухарев, А.В. Тимохов,

В.В Федоров.– М.: Физматлит, 2005. – 368 с.

8. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации в теории управления./ И.Г.

Черноруцкий.– СПб.: Питер, 2004. – 256 c.

9. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления./ В.А. Бе-

секерский, Е.П. Попов. – СПб: ПРОФЕССИЯ, 2004. – 789 с.

10. Блюмин, С.Л. Нелинейный метод наименьших квадратов и псевдооб-

ращение: Учебное пособие./ С.Л. Блюмин, С.П. Миловидов, А.К. Погодаев.–

Липецк: ЛипПИ, 1992.

16

11. Блюмин, С.Л. Основы прикладной математики. Оптимизационная ма-

тематика: Учебное пособие./ С.Л. Блюмин, С.П. Миловидов, А.К. Погодаев.–

Липецк: ЛЭГИ, 2004. – 72 с.

12.Деннис, Д. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений./ Д. Деннис, Р. Шнабель.– М.:Мир, 1988. – 440 с.

13.Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач./

Ф.П. Васильев.–М.:Наука, 1988. – 549 с.

14. Пантелеев, А.В. Теория управления в примерах и задачах./ А.В. Панте-

леев, А.С. Бортаковский.– М.: Высшая школа, 2003. – 583 с.

15. Погодаев, А.К.. Адаптация и оптимизация в системах автоматизации и управления./ А.К. Погодаев, С.Л. Блюмин.– Липецк: ЛЭГИ, 2003. – 128 с.

Интернет-ресурсы

1. http://www.exponenta.ru/ – посвящен решению задач при помощи мате-

матических пакетов, таких как Mathematica, Mathcad, MATLAB, Maple.

2. http://www.elibrary.ru – научная электронная библиотека. Один из наибо-

лее полезных источников информации.

17