Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы оптимальных решений. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Доказательство

))(),(( tutx

( ( ), ( ))x t u t

≤ φ(x(t), u(t)

(3.3)

( ( ) ( ))x t u t

0 * * 0 * *

( ( ), ( )) ( ( ), ( )).f x t u t f x t u t

(3.4)

( ( ), ( ))x t u t

0 0 0 * * *

( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( ))

f t x t u t f t x t u t f t x t u t











( ( ), ( ))x t u t

0 0 0 * * *

( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( ))

f t x t u t f t x t u t f t x t u t











( ( ), ( ))x t u t

1. Необходимость. Пусть

– оптимальный процесс, т. е. удо-

влетворяющий условию (3.1). Это значит, что

при всех (x

(t), u(t)V

. Требуется доказать, что он удовлетворяет и усло-

вию (3.1).

Допустим противное, т

. е. существует такое t = t

, при котором усло-

вие (3.2) не выполняется. Это означает, что при t = t* существует такое

значение

, что

Рассмотрим новый процесс (x0(t), u0(t)), который определим так:

, если t ≠ t*;

(x0(t),u0(t)={

, если t = t*.

Вычислим значение функционала (3.1) φ на этом процессе:

(x0(t),u0(t)=

Разбив выражение (3.1) для φ

, аналогичным образом полу-

чим

Сравним теперь правые части двух последних равенств. Первые два слагаемых в них совпадают, а третьи удовлетворяют сделанному предположению

(3.4). Следовательно,

> φ

(x0(t), u0(t),

что противоречит условию (3.3) оптимальности процесса

. Необхо-

димость доказана.

2. Достаточность. Пусть процесс

удовлетворяет условию (3.2)

теоремы. Требуется доказать, что для него будет выполнено и условие

(3.1), т. е. процесс

Рассмотрим произвольный допустимый процесс

будет оптимальным.

. Тогда из (3.2)

можно вывести, что при каждом t = 0,1, …, T – 1

(0, (0), (0)) (0, (0), (0))f x u f x u

;

(1, (1), (1)) (1, (1), (1))f x u f x u

( 1, ( 1), ( 1)) ( 1, ( 1), ( 1))f T x T u T f T x T u T      

( , ( ), ( )) ( , ( ), ( ))

f t x t u t f t x t u t









( ( ), ( ))x t u t

φ =

( , , ) min

f t x u dt 



(3.5)

φ =

min



dtx

(3.6)

;

… … … … … … … … …;

Складывая эти неравенства почленно, получим

Левая и правая части в этом неравенстве – значение функционала (3.1) для процессов

и (x(t), u(t)), т. е. φ

≤ φ(x(t), u(t)),

откуда из-за

произвольности процесса (x(t), u(t)) и вытекает условие (3.1) для процесса

, который, следовательно, и является оптимальным. Достаточность

доказана.

Доказанная теорема сводит решение поставленной задачи (3.1) к минимизации функции f0(t, x, u) при всех t = 0,1, …, T – 1 по переменным (x, u) на множестве (x, u)  Vt. При этом существование минимума функции f0(t, x, u) при всех t есть необходимое и достаточное условие существования решения задачи

(3.1).

Отметим, что условия теоремы могут быть аналогично сформулированы и

для задачи максимизации функционала.

Теорема 3.1 может быть обобщена и на непрерывный случай, когда функционал задается соотношением

Однако формулировка теоремы в этом случае нуждается в уточнении. Что

касается достаточности условия (3.2), то и в непрерывном случае это также

остается справедливым (доказательство дословно повторяет приведенные выше с заменой суммирования на интегрирование). Необходимым же это условие,

вообще говоря, не является, что показывает следующий пример.

Рассмотрим функционал

заданный на множестве кусочно-непрерывных функций х(t), удовлетворяющих ограничению 1 ≤ x(t) ≤ 2. Так как в данном примере вследствие ограничений x2(t) ≥ 1 при всех t, то, очевидно, и значение φ не может быть меньше единицы.

Таким образом, если при некотором

)(tx

( ))xt

)(tx





TxFdtuxtfF

min,))((),,(

(3.7)

 iuxtfx

),,,(

n,1

.))(),((,)0(

Vtutxxx 

(3.8)

( ( ), ( ))x t u t

будет достигнуто значение φ (

), то

можно сделать вывод, что функционал (3.6) достигает минимального значения.

Возьмем в качестве

следующую функцию:

1, если 0 ≤ t ≤ 0,5;

= 2, если t = 0,5;

1, если 0,5 < t ≤ 1.

Очевидно, что значение φ(

равно единице. Следовательно,

мини-

мизирует функционал φ. Но данная функция не минимизирует подынтегральную функцию x2(t) в (3.6) при всех t  [0,1]. В частности, этого не происходит при t = 0,5, где значение x= 2. Подынтегральную функцию x2(t) минимизирует значение x = 1.

Таким образом, в данном примере необходимость условия теоремы не выполняется.

Для того чтобы условие теоремы в непрерывном случае стало не только достаточным, но и необходимым, его нужно уточнить. А именно нужно потре-

бовать, чтобы оно выполнялось не обязательно в каждой точке t интервала [0, T], а «почти всюду», т. е. за исключением, быть может, точек интервала, значение функции в которых не влияет на величину интеграла (3.5).

Возможен и другой путь. Если дополнительно наложить требование не-

прерывности на процесс (x(t), u(t)) и на функцию f0(t, x ,u), то формулировка теоремы в непрерывном случае сохраняется дословно с заменой соотношения (3.1) на (3.5). Однако требование непрерывности (x(t), u(t)) является слишком

сильным в задачах оптимального управления и не выполняется даже в про-

стейших случаях.

3.2. Достаточные условия оптимальности для непрерывных процессов

Рассмотрим задачу теории оптимального управления в следующем виде:

Требуется найти допустимый, удовлетворяющий ограничениям (3.8) про-

цесс

, минимизирующий функционал (3.7).

Пусть φ(t, x) – непрерывная функция n + 1 переменной (t, x1, x2, …, xn),

имеющая непрерывные частные производные по этим переменным. Построим с

помощью φ(t, x) введенные выше функции Ф(х) и R(t, x, u) (Ф и R???), определяемые соотношениями (3.2), (3.3).

Рассмотрим следующую теорему.

Теорема 3.2 (достаточные условия оптимальности непрерывных процес-

max ( , )x u V

( ( ), ( ))x t u t

)(tx, ))(tu

( ), ( )

x t u t

( ), ( )

x t u t

( ), ( )

x t u t

сов). Пусть допустимый процесс v= (x(t), ū(t) є M и некоторая функция φ (t, x) удовлетворяют условиям:

1. R(t, x(t), u(t)) =

(x ,u) є V

R(t, x, u) при всех t [0, T].

2. Ф(x(T)) = min(x)Ф(х). х  V

Тогда процесс

является оптимальным.

3.3. Обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности

Если на некотором множестве задан ограниченный снизу функционал, то при решении задачи о его минимизации имеет место альтернатива: либо существует элемент этого множества, минимизирующий данный функционал, либо существует минимизирующая последовательность элементов множества, на которой функционал стремится к своей точной нижней грани. Это полностью относится к задачам оптимального управления, являющимся частным классом за-

дач отыскания экстремумов функционалов.

Ранее речь шла об условиях, гарантирующих оптимальность данного процесса (

ность допустимых процессов {

. Здесь же мы рассмотрим, при каких условиях последователь-

} будет минимизирующей последова-

тельностью в данной задаче оптимального управления.

Рассмотрим сначала задачу оптимального управления для непрерывного случая, когда ограничения, определяющие множество допустимых процессов, задаются соотношениями (3.8), а функционал имеет вид (3.7). В задаче оптимального управления для непрерывного случая достаточные условия оптимальности такой последовательности могут быть сформулированы в виде сле-

дующей теоремы.

Теорема 3.3 (обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности

для непрерывных процессов). Пусть имеется последовательность {

}

допустимых процессов, принадлежащих множеству М при всех s =1, 2, …. Предположим, что существует непрерывно дифференцируемая функция φ (t, x), которая при s→ ∞ удовлетворяет следующим условиям:

1. R(t,

(t),

(t)) →sup R(t, x, u) равномерно по t  [0, T],

(x,u) є Vt. (продолжить в строчке?).

2. Ф(xs(T)) →inf Ф(x),

х  V

Тогда последовательность {

} является минимизирующей для

функционала.

Доказательство проводится с помощью вспомогательных конструкций, которые слишком громоздки для его приведения.

Область М допустимых процессов расширяется с помощью рассмотрения

.D

D

,M

infF(x, u) ≥ lφ,

(3.9)

(x, u)

.M

 



T T

dttutxtRdttutxtR

0 0

.))(),(,(sup)(),(,(

D



dttutxtR

).))(),(,(inf(

.D

( , , )

L x u l





(3.10)

)(),( tutx

M

( , ) ( , ,F x u L x u



luxF

),(

),( uxF

,M

( ), ( )

x t u t

таких процессов (x(t), u(t)), которые удовлетворяют условию (x(t), u(t))  Vt при всех t  [0, T], но не обязательно удовлетворяют уравнению процесса. Эти процессы составляют множество D, и M является его подмножеством.

Введем определенный на множестве D (следовательно, и на множестве М) функционал L(x, u, φ). О функционале L(x, u, φ) известно, что на множестве М его значение совпадает со значениями функционала F.

Обозначим lφ= infL(x, u, φ); (x, u) Так как М есть подмножество D, то infL(x, u, φ) infL(x, u, φ), (x, u)

откуда

(x,

Из условия 1 доказываемой теоремы 3 для первого слагаемого в соотношении (3.9) получаем

(x, u)

Следовательно, взятое с обратным знаком это слагаемое стремится к

(x, u)

Из условия 2 сразу получаем, что второе слагаемое функционала (3.9) так-

же стремится к своей нижней грани.

Так как последнее слагаемое в (3.9) – постоянная величина, то можно сде-

лать вывод, что

Но так как (

откуда с учётом (3.10) получим

)

, то на основе (3.9) при всех s

при s → ∞.

Сравнивая последнее соотношение с (3.9) и пользуясь определением точной нижней грани функционала, можно написать

→inf F(x, u),

(x, u)

т. е. последовательность (

функционала F на множестве М, что и утверждается в теореме.

Теорема 3 остается справедливой, если несколько видоизменить ее усло-

вия.

Как отмечалось выше, иногда бывает удобно в условиях теоремы предпо-

лагать, что верхняя грань функции R(t, x, u) рассматривается при данном значе-

) является минимизирующей для

нии t только на множестве (x(t), u(t)), где (x(t), u(t))

.M

 



T T

dttutxtRdttutxtR

0 0

.))(),(,(sup)(),(,(

.D

 



T T

dtuxtRdttutxtR

0 0

.),,(max)(),(,(

(3.11)

(x, u)  Vt.

( ), ( )

x t u t





.1,...,1,0),,,(sup))(),(,(  TtuxtRtutxtR

).(inf))(( xФTx



Vx 

( ), ( )

x t u t

подмножеством множества V

. При таком изменении формулировка теоремы

Это множество является

остается справедливой.

Условие 1 теоремы 3 может быть ослаблено, если сформулировать его в

виде

(x, u)

Если же при всех t  [0, T] существует max R(t, x, u), то утверждение

(x, u)  Vt теоремы остается верным при замене условия 1 также более слабым

Использованное в формулировке теоремы 3 условия 1 является достаточ-

ным условием выполнения соотношения (3.11), так как равномерная сходимость подынтегральных функций обеспечивает и сходимость интеграла, однако диапазон применимости этого условия шире, чем условия 1 теоремы 3. Напри-

мер, условие (3.11) можно проверять для таких процессов, где управление u(t) или состояние x(t) не являются ограниченными по величине на отрезке [0, T]. В этом случае даже если верхняя грань функции R и не существует при всех t  [0, T], то для проверки соотношения (3.11) требуется лишь существование и конечность интегралов в этом соотношении.

Перейдем теперь к обобщенной теореме о достаточных условиях опти-

мальности для многошаговых процессов в дискретных системах.

Так как доказательство теоремы для дискретных процессов может быть проведено аналогично доказательству теоремы для непрерывного случая, огра-

ничимся ее формулировкой.

Теорема 3.4 (обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности

для многошаговых процессов.). Пусть имеется последовательность {

}

допустимых процессов, которая принадлежит множеству М при всех s = 1, 2, … и t = 1, …, T. Предположим, существует функция φ (t, x), которая при s

удо-

влетворяет следующим условиям:

1. x ,u Vt.

2. Ф

Тогда последовательность {

} является минимизирующей для

функционала F.

4. ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА

( , , )

f t x u dt



при наличии связей

(4.1)

x = u

и граничных условий

(4.2)

х (0) = x0 , х (Т) = xt.,

(4.3)

4.1. Постановка задачи и типы ее решения

Достаточные условия оптимальности применяются к одной из классиче-

ских задач вариационного исчисления – задаче Эйлера. Показывается, что свойства оптимального решения зависят от характера индикатрисы – зависимости подынтегральной функции t0(t, x, u) от управления u. Выделяются и иссле- дуются четыре случая. В последнем из них – для одномерного по состоянию x и управлению u случая выпуклой индикатрисы выводится необходимое условие

оптимальности в форме двухточечной краевой задачи для дифференциального Эйлера второго порядка. Обобщение на случай произвольной размерности век-

торов состояния х и управления u приводит к необходимым условиям опти-

мальности для задачи Эйлера с использованием условий Вейерштрасса и ста-

ционарности функции R(t, x, u) по х. Это – реализация принципа максимума Понтрягина.

В качестве еще одного примера применения достаточных условий оптимальности к решению конкретных задач рассмотрим классическую задачу Эй-

лера вариационного исчисления.

Задачей Эйлера называют задачу о минимуме функционала:

где х  En – n-мерный вектор состояния;

u – n-мерный вектор управления (в данном случае размерность вектора управления r = n); – заданные n-мерные векторы начального и конечного состояния системы;

– символ n-мерного эвклидова пространства.

Помимо векторных уравнений (4.2) на элементы (t) = (x(t), u(t)) допу- стимого множества М наложены ограничения теоретико-множественного характера: х(t) – непрерывная и кусочно-дифференцируемая, u(t) – кусочнонепрерывная вектор-функции. Скалярная функция f0(t, x, u) – непрерывная и

дифференцируемая по всем аргументам. Мы ограничимся пока частным случа-

ем, характеризующимся следующими условиями: n = 1, f(t, x, u) = u множества

при всех t  (0, T) совпадают соответственно с числовыми осями X и U,

а при t = 0 и t = T представляют собой заданные точки x0 и x1.

Свойства решения задачи Эйлера в значительной мере определяются ха-

рактером индикатрисы, т. е. зависимости подынтегрального выражения

f0(t, x, u) от управления u при фиксированных значениях t и х. Именно эту зави-

f0(t, x, u)= f0(t, x).

(4.4)

f0(t, x, u) = g0(t, x, u) + h0(t, x)u ,

(4.5)

f0(t, x, u) = P0(t, x) + Q0(t, x)u.

(4.6)

ff



R(t, x, u) =

φφ

( , , )u f t x u







(4.7)

Ф(х) = (Т, х).

симость удобно положить в основу классификации решений.

Рассмотрим четыре случая:

1. Постоянная индикатриса, т. е.

2. Индикатриса с ограниченной нелинейностью по управлению

где g0(t, x, u) – ограниченная по управлению u в общем случае нелинейная функция; h0(t, x) также в общем случае нелинейная функция своих аргументов;

3. Линейная индикатриса, когда

4. Выпуклая индикатриса, когда

Три случая из этих четырех отражены на рис. 4. 1.

f0 4

Рис. 4.1. Классификация решений

Для данной задачи функции R(t, x, u) и Ф(х), фигурирующие в формули-

ровке теоремы, имеют вид

Так как множество

( , , ) max ( , , )

R t x u R t x u

(4.8)

φφ







),(min)),((max)ˆ,(

xtfxtfxtR



где

),(minarg)(

xtftxx

t  (0, T).

(4.9)

)(ˆtx

lim

t→0

)(ˆtx

=x0, lim

t→T

)(ˆtx

= x1.

(4.10)

x0 при t=0;

)(

)( txtx 

при t  (0,T);

x1 при t = T

(4.11)

(4.12)

)()( txtu 

ux,

max

( ( ), ( ))x t u t 

M

( ( ), ( ))x t u t

, на котором, согласно второму требованию теоремы,

минимизируется функция Ф(х), содержит единственную точку х(Т) = x1 (граничное условие (4.3)), это требование автоматически выполняется при любом задании функции ф(t, x).

Рассмотрим, как обстоит вопрос с подбором функции ф(t, x) и удовлетво-

рением условию (4.1) в четырех указанных случаях.

4.2. Постоянная индикатриса

В этом случае подынтегральная функция f0=10, согласно (4.4), не зависит от

управления f0 = f0(t, x).

Вид выражения (4.7) подсказывает, какой принять нам функцию ф(t, x).

Если мы положим, что ф(t, x) = С, где С – произвольная постоянная, то окажет-

ся, что

= 0 и функция R примет простой вид R(t, x, u)= –f0(t, x). Макси-

мизация R упрощается, и мы получаем

t  (0, T),

Допустим, что функция

непрерывна, кусочно-дифференцируема и

имеют место предельные соотношения

Тогда пара функций

Благодаря условиям (4.9) и (4.10) обеспечивает фиксированном значении t: по u из-за независимости R от u; по х по построе-

нию. Эта пара

дифференциальному уравнению процесса и граничным условиям (4.2) и (4.3). С

учетом теоремы найденный процесс

Однако случай, когда выполняются условия (4.10), исключительный, так

как процесс минимизации, отраженный формулой (4.9), никак не связан с зада-

является допустимой

R(t, x, u) при каждом

, так как удовлетворяет

– оптимальный.

нием граничных условий (4.3). Вследствие их независимости логично преду-

|g0(t, x, u)| ≤ M(t, x).

(4.13)

0 0 0 0

φ φ φ φ

( , , ) ( , ) ( , , ) ( ( , )) ( , , )R t x u u h t x u g t x u h t x u g t x u

x t x t

   

       

   

(4.14)

( , ) 0.h t x







R(t, x, u) =

( , , )g t x u







(4.15)

ф(t, x) =

( , ) ( )

h t d C t  



(4.16)

смотреть более вероятный случай невыполнения предельных условий (4.10) (или, по меньшей мере, одного из них). Тогда функция, удовлетворяющая граничным условиям (4.3) и представленная формулой (4.11), будет разрывной и, следовательно, недопустимой.

4.3. Индикатриса с ограниченной нелинейностью

В данном случае подынтегральная функция в функционале (4.1) имеет вид

(4.5). Предполагается, что для любых управлений u можно подобрать такую

функцию М (t, x), что

Исследуя этот случай, вновь обратимся к выражению для R:

В гл. 2 удачной оказалась идея обеспечения независимости функции R от

u, при этом допустимость процесса обеспечивается только выполнением условий связи (4.2). К сожалению, в данном случае нет возможности столь простым путем добиться независимости функции R от u, однако ее вид упрощается, если подобрать функцию ф(t, x) исходя из требования

Тогда функция R(t, x, u), согласно (14), примет вид

А для искомой функции ф(t, x) получаем выражение

где произвольную функцию интегрирования C(t) ради простоты можно положить тождественно равной нулю.

Учитывая (4.16) и дифференцируя интеграл по параметру t, получим, согласно (4.15),

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]