Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимальных решений. Учебное пособие-1
.pdf
«Математики делают то, что можно, так, как нужно, экономисты <…> – то,
2
2
что нужно, так, как можно»
. Экономико-математические модели позволяют
«подключать» обширный математический аппарат к анализу теоретических и
прикладных проблем экономики. Кроме того, они предоставляют экономистам
удобный и компактный язык для изложения гипотез, обоснований, результатов.
Примеры экономико-математических моделей: модели потребительского выбо-
ра, модели фирмы, модели рынков (конкурентного, монополистического, олигополистического, финансового, рынка факторов производства и др.), разнооб-
разные модели принятия решений.
Математическая модель проще объекта, так как отражает только те его
свойства, которые существенны для цели исследования. Правильность выделения существенных характеристик объекта проверяется в процессе работы с моделью. Поэтому в ходе исследования может возникнуть необходимость уточне-
ния модели, изменения набора учтенных в ней факторов.
В теоретической и прикладной экономике математические модели используют для объяснения наблюдаемых явлений, обоснования рациональных решений, предсказания будущего развития процессов. В зависимости от цели исследования для одного объекта могут быть построены модели, различающиеся
степенью детализации или набором отражаемых свойств объекта. Если модель
подобна объекту во многих отношениях, то ее удается использовать для дости-
жения различных исследовательских целей.
В широком смысле под управлением понимается конкретная организация
тех или иных процессов для достижения намеченных целей. Управляемая система призвана обеспечивать целенаправленное функционирование при изменяющихся внутренних или/и внешних условиях. Неуправляемой системе целе-
направленное функционирование не свойственно.
Примеры управляемых систем – движение автомобиля, работа предприя-
тия в соответствии с договорами, планами и стимулами. Примеры неуправляе-
мых систем – движение ветра, работа светофора с точки зрения автомобилистов
(переключается автоматически независимо от состояния потока машин). В системе, структура которой установлена ее целевой ориентацией (для решения
каких задач создается система), управление сводится к поддержанию расчетных
значений выходных параметров при отклонениях внешних условий и внутрен-
них параметров от расчетных.
В экономической системе выбор и формирование как структуры, так и
способа функционирования являются задачами управления, обеспечивающими
динамику ее развития. Однако соотношение типов задач – формирование или
реструктуризация производства и способа функционирования системы – различно на разных уровнях иерархии управления.
Гайлит Е. В. Теория оптимального управления: учеб. пособие/ Е. В. Гайлит. – Ново-
сибирск: Изд-во НГПУ, 2013. – С. 18.
11
1.2. Схема управления
Любое управление предполагает наличие объекта управления (управляе-
мой системы), субъекта управления (управляющей системы) и внешней среды.
Объект управления производит те или иные действия для реализации
намеченных целей. Его сложность зависит от количества входящих в него элементов и природы взаимосвязей между ними. В процессе функционирования
объект управления подвергается воздействию внешней среды, которая может
способствовать или препятствовать достижению намеченных целей: благоприятная или неблагоприятная рыночная конъюнктура, сложившиеся цены, дей-
ствия конкурентов и т. п.
Основное назначение управляющей системы (субъекта управления) –
поддерживать установленный и по каким-либо свойствам признанный нор-
мальным режим работы объекта управления, а также обеспечивать нормальное
функционирование отдельных элементов объекта управления в условиях воз-
действия внешней среды.
Объект управления во взаимодействии с управляющей системой (субъектом управления) образует замкнутую систему управления. Связь, с помощью
которой управляющая система – субъект управления – воздействует на объект
управления, если эта связь имеется, называется обратной связью.
Количественные оценки степени достижения цели в модели управления
даются в виде значений функционала (целевой функции), а условия, в рамках
которых функционирует система, – в виде ограничений модели. Цель оптимального управления – нахождение наилучшего относительно принятой целе-
вой функции критерия оптимизации. Для конкретных ситуаций при выборе
способа управления, хозяйствования или ведения деятельности он реализуется
в виде экстремального значения функционала.
Обратная связь является средством гибкого управления, когда конкретное
управляющее решение вырабатывается в зависимости от сложившейся ситуа-
ции – возмущения установленного функционирования системы.
При отсутствии обратной связи (упомянутый выше светофор) движения
регулируется по заранее заданной программе независимо от фактических пото-
ков автомобилей, т. е. состояния системы на выходе. Другие примеры управле-
ния без обратной связи: уставы, кодексы, инструкции и наставления. При этом
может оказаться, что управленческое решение, принятое согласно одному из
указанных регламентирующих документов, с учетом конкретной ситуации, характеризующей состояние системы на выходе, когда решение было принято, не
является наилучшим по сравнению с другими возможными. Но оно, тем не менее, считается обязательным, правомочным, так как отвечает регламентирую-
щему документу. Подобные случаи подтверждают порой ситуации, когда, как
говорят, возникает альтернатива – принять решение «по закону» или «по сове-
сти». Решение «по совести» может отражать учет неординарных обстоятельств,
уводящих в сторону от решения «по закону».
12
В каких случаях система управления создается с обратной связью, а в ка-
ких – без нее, зависит, прежде всего, от целей функционирования системы.
Итак, в структуре системы управления можно выделить:
● объект управления – непосредственное устройство, агрегат, организа-
ционную подсистему общей системы, в которой реализуется цель функциони-
рования всей системы;
● субъект управления – управляющую систему, которая фиксирует пара-
метры объекта управления и вырабатывает при необходимости управляющие
воздействия на объект управления для приведения его функционирования к режиму, который в соответствии с целью управления принято считать нормальным. Если достижение такого режима в условиях имеющихся ресурсов системы
невозможно, то в качестве нормального может быть принят режим, отклоняю-
щийся от желаемого минимально;
● обратную связь – объект, подсистему, с помощью которой реализуется
воздействие субъекта на объект управления.
Эти элементы, формирующие в совокупности замкнутую систему управления, находятся под воздействием внешней среды, которая может способство-
вать или препятствовать достижению целей системы.
1.3. Экономическая система
Материал, изложенный выше, относится к характеристике систем управления практически любой природы – экономической, физической, производственно-технологической. Теоретические методы оптимального управления
также не слишком связаны с природой системы или со спецификой объекта
управления, скорее они ориентированы на определенную форму модели. Для
показа широких прикладных возможностей изучаемых методов ТОУ будут
приведены различные примеры с преобладанием экономических задач. С уче-
том этого рассмотрим наиболее существенные характеристики экономических
систем как объектов управления.
Экономическая система охватывает примеры и характеристики производ-
ства, распределения, обмена и потребления материальных благ. Функционирование экономических систем, за исключением, может быть, простейших случа-
ев, по своей сущности многокритериальное. Это означает, что в процессе функционирования предприятия одновременно ставятся цели добиться максимально
возможных прибыли и выпуска продукции в натуральном или стоимостном
выражении, выдержать необходимые потребителю ее номенклатуру или ассор-
тимент, уровень качества, снизить удельную себестоимость и т. д. Некоторые
из этих показателей могут быть противоречивыми, например, первый и послед-
ний. Стремление к максимальному валовому выпуску продукции (в стоимостном или натуральном выражении) одновременно ведет и к валовому росту себестоимости. Иначе быть не может, так как производство каждого дополни-
тельного изделия сопряжено с дополнительными затратами, т. е. чем больше
выпускается продукции, тем больше становится суммарная себестоимость про-
13
изводства. Ограничение такой себестоимости – противоположное требование к
росту выпуска продукции. Минимизировать себестоимость производства имеет
смысл только тогда, когда точно установлен необходимый для реализации
(например, по договорам) объем производства. Подобные противоречия могут
иметь место и в отношении других частных критериальных показателей. В целом можно представить себе одну из двух альтернатив: либо все принимаемые
в расчет частные критериальные показатели ведут себя качественно схожим
образом, достигая одновременно своих экстремальных значений, либо не существует такого возможного плана производства, которому отвечали бы экстремальные значения одновременно всех частных критериальных показателей.
Свидетельство тому – приведенный выше пример.
Первой альтернативе отвечает однокритериальная ситуация, когда используется основной в содержательном отношении критерий, а остальные игнорируются, поскольку ничему не противоречат, не влияют на оптимизацию
основного принятого в модели критерия.
Вторая альтернатива заключается в выработке разумного с практической
точки зрения компромисса, когда для принятого плана производства не достигаются потенциально возможные оптимальные решения значения отдельных
целевых критериев, но каждый из них для этого плана принимает в той или
иной мере близкое к оптимальному значение. Не будем рассматривать сейчас
практические детали формального отражения компромиссов – это самостоя-
тельная теория, но в конечном итоге проблема компромисса сводится к выработке некоторого комплексного критерия, в котором названные выше частные
критерии присутствуют как отдельные составляющие.
Пользуясь современной терминологией, можно утверждать, что задачи
управления экономикой плохо структурированы и не всегда модель может быть
построена однозначным образом. Прежде всего, цели функционирования многих экономических и особенно социально-экономических систем не всегда
можно четко сформулировать. Причем это относится не к особым условиям или
ситуациям, а к самым обычным, ординарным. Например, каким конкретно показателем можно характеризовать уровень жизни населения? Вопрос вроде бы
ясный, но в то же время каждый исследователь может подойти к нему поразному, по-своему.
Один из наиболее простых и, казалось бы, естественных подходов – это
ориентация на рост денежных доходов населения. Однако за этим стоят многие
сложные социально-экономические проблемы, такие как укрепление покупательной способности рубля, насыщение сферы потребления качественными и
доступными населению по стоимости товарами, гарантирование законности и
социальной справедливости и т. п. Итак, как именно конструктивно реализовать поставленную задачу оценки уровня жизни населения остается далеко не
ясным.
Итеративный режим использования в экономике математических моделей – один из характерных приемов при решении плохо структурированных за-
дач. Процесс сходимости показателей в таком режиме понимается как целена-
14
правленный человеко-машинный диалог с возможными изменениями исходных
данных и, если необходимо, отдельных элементов модели. Другими словами,
происходит самообучение модели объекта с помощью имитации его функцио-
нирования.
Построение математических моделей управления производством на каж-
дом уровне иерархии связано с использованием агрегированной (укрупненной)
информации: чем выше уровень иерархии, тем больше степень агрегирования
данных. И соответственно должны существовать относительно простые мето-
ды, алгоритмы разукрупнения информации при переходе к более низким уровням управления.
Нами рассмотрены некоторые общие положения, связанные с математическим моделированием экономических систем. Их учет привносит определенную специфику в методологию построения и использования на практике математических моделей в экономике. Более подробное обсуждение этих вопросов
не входит в нашу задачу. Цель в другом: рассматривая общие условия исполь-
зования положений и результатов математической теории оптимального управ-
ления, показать место ТОУ для экономических приложений.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ
2.1. Постановка основной задачи оптимального управления
Динамическая задача рационального ведения хозяйства – это задача рас-
пределения ограниченных ресурсов для достижения комплекса конкурирующих целей на протяжении некоторого промежутка времени от начального момента до конечного. Сформулируем эту задачу в математических терминах.
Рассмотрим некоторые переменные величины, называемые управляющими па-
раметрами. Задано некоторое множество функций времени, называемое мно-
жеством управления. Задача состоит в выборе управляющих параметров как
функций времени, принадлежащих множеству управлений. Выбранные функ-
ции времени, в свою очередь, определяют, какой вид имеют функции времени
некоторых других переменных, с помощью которых описывается поведение
системы. Эти переменные называются фазовыми координатами. Значения фазовых координат в каждый момент времени выбираются таким образом, чтобы
максимизировать заданный целевой функционал, зависящий от фазовых коор-
динат и управляющих параметров. Функции времени для управляющих пара-
метров и для фазовых координат связаны с помощью системы дифференциальных уравнений, называемых уравнениями движения. Задача, представленная в
указанной форме, называется задачей управления.
Классическим примером задачи управления является определение опти-
мальной траектории движения ракеты. Управляющие параметры в такой за-
15
даче – это моменты включения двигателей и длительность их работы, величина
n,1
m,1
и направление силы тяги, которую следует приложить к ракете в каждый отдельный момент времени. Режим работы двигателей выбирается в зависимости
от ряда ограничений, например, в зависимости от общего количества ракетного
топлива, имеющегося на борту. Фазовыми переменными, описывающими траекторию ракеты, являются ее масса, а также положение и скорость относительно фиксированной системы координат. Зависимость фазовых координат от силы тяги выражается с помощью системы дифференциальных уравнений, получаемых на основе законов физики. В результате расчет траектории предстоящего космического полета заключается в отыскании максимума некоторого целе-
вого функционала.
Определения и обозначения
В теории оптимального управления объектом моделирования является
управляемая система, состояние которой в каждый момент промежутка времени [t0, T] зависит от управления.
Замкнутое относительно операций сложения и умножения на число семей-
ство вектор-функций из R в Rn, определенных на некотором множестве M R,
образует линейное пространство функций (функциональное пространство).
Пусть U – подмножество некоторого функционального пространства.
Отображение J: U → R, ставящее в соответствие каждой функции uU число
J(u)R, называют функционалом.
Задача максимизации (минимизации) функционала J(u), определенного на
подмножестве U функционального пространства, состоит в отыскании хотя бы
одной функции u*U такой, что J(u*) ≥ (≤) J(u) для всех uU.
В дальнейшем будем говорить об области управления U и ее точках uU и
будем представлять себе U как некоторое множество в пространстве переменных u¹, u², …, ur, а его элементы – как точки этого пространства. Вектор uU
задает систему управляющих параметров u= (u¹, u², …, ur).
Если вектор x(t) = (xj(t) | j
)T описывает состояние системы в момент t,
то Rn называют фазовым пространством, а координатные функции векторфункции x(t) – фазовыми координатами или фазовыми переменными.
При t[t0, T] точка фазового пространства x(t) описывает фазовую траек-
торию.
Управление в момент t – это вектор-функция u(t) = (ui(t) | i
T
)
; коорди-
натные функции вектор-функции u(t) называют переменными управления.
Множество допустимых управлений – это подмножество U некоторого
функционального пространства.
Предположение 1. Управление является кусочно-непрерывной вектор-
функцией.
Заметим, что множество всех кусочно-непрерывных вектор-функций раз-
мерности m является функциональным пространством.
16
Допустим, что связь между переменными управления и фазовыми пере-
x'(t) = f(x(t), u(t), t), или
)(tx
j
= fj(x1(t), …, xn(t), u1(t), …, um(t), t)
для всех j
n,1
и t[t0, T].
(2.1)
менными выражена системой дифференциальных уравнений
Если объект управления в момент t0 находится в начальном состоянии x0 и
выбрано допустимое управление u0(t), то (2.1) превращается в систему дифференциальных уравнений относительно вектор-функции x(t). Возникает задача
Коши: найти траекторию x(t) управляемой системы, удовлетворяющую системе
уравнений x'(t) = f(t, x(t), u0(t)) и начальному условию x(t0) = x0.
Определения
Пара вектор-функций x(t), u(t) описывает процесс.
Если вектор-функции x(t) и u(t) имеют размерности n и m соответственно,
то процессу x(t), u(t) соответствует вектор-функция h(x(t), u(t)) = (x1(t), …, xn(t),
u1(t), …, um(t))T размерности m + n. Функционал J(x(t), u(t)) определен для процесса x(t), u(t), если он определен для соответствующей этому процессу вектор-
функции h(x(t), u(t)).
Вектор-функция одной переменной, непрерывная на промежутке [a, b], ку-
сочно-дифференцируема на [a, b], если она имеет производную во всех внут-
ренних точках этого промежутка, за исключением, быть может (здесь уместно
сомнение?), конечного числа точек.
Заметим, что границы промежутка [t0, T] и состояния объекта на концах
промежутка не обязательно фиксировать заранее. Во многих случаях их заменяют краевыми условиями, которые указывают множества допустимых пар
(x(t0), t0) и (x(T), T).
Каждую функцию u(t), определенную на некотором отрезке t0 t ≤ t1 времени и принимающую значения в области управлений U, будем называть
управлением. Так как U есть множество в пространстве управляющих парамет-
ров u¹, u², … ,ur, то каждое управление u(t) = (u¹(t), u²(t), …, ur(t)) является век-
тор-функцией (заданной на отрезке t0 t ≤ t
), значения которой лежат в обла-
1
сти управления U. В дальнейшем, в зависимости от характера поставленной задачи, мы будем накладывать на управление u(t) различные условия (кусочной
непрерывности, кусочной дифференцируемости и т. п.). Управления, удовлетворяющие этим условиям, будем называть допустимыми управлениями. Далее,
мы будем считать допустимыми управлениями произвольные кусочнонепрерывные управления (со значениями в области управления U), т. е. такие
управления u(t), каждое из которых непрерывно для всех рассматриваемых t, за
исключением лишь конечного числа моментов времени, где функция u(t) может
иметь разрывы первого рода. Во избежание недоразумений отметим, что, по
определению разрывов первого рода, в точке разрыва τ предполагается существование конечных пределов
17
(τ – 0) =
lim ( )
t
t
t
u
lim ( )
t
t
t
u
u(τ) = u(τ – 0)
(2.2)
dt
dx
i
= f
i(x1
, x2, …, xn, u1, …,ur) = f i(x, u), i{1, …, n}
(2.3)
ddtx
= f(x, u),
(2.4)
()
i
j
f
x,u
x
, u(τ + 0) =
.
Из этого, в частности, следует, что всякое управление u(t) ограниченно
(даже если область U не является ограниченной).
Значение кусочно-непрерывного управления u(t) в точке разрыва не играет
сколько-нибудь существенной роли в дальнейшем. Однако для определенности
нам удобно предполагать, что в каждой точке разрыва τ значение управления u
равно пределу слева:
и что каждое рассматриваемое управление u(t) непрерывно на концах отрезках
[t0, t1], на котором оно задано.
Итак, допустимым управлением мы условимся называть всякую кусочнонепрерывную функцию u(t), t0 t t1 со значениями в области управления U,
удовлетворяющую условию (2.2) в точках разрыва и непрерывную на концах
отрезках [t0, t1], на котором она задана.
Будем предполагать, что закон движения объекта записывается в виде си-
стемы дифференциальных уравнений
или в векторной формe
где f(x, u) – вектор с координатами f 1(x, u), f 2(x, u), …, f n(x, u).
Функции f i определены для любых значений векторной переменной xX и
для значений u, принадлежащих области управления U. Они предполагаются
непрерывными по совокупности переменных x1, …, xn, u1, …, ur и непрерывно
дифференцируемыми по x1, …, xn. Иначе говоря, функции
f i(x, u) и
для i{1, …, n}, j{1, …, n}
определены и непрерывны на прямом произведении X U.
Заметим, что система (2.3) автономна, т. е. правые ее части не зависят явно от времени t. Если задан закон управления, т. е. выбрано некоторое допустимое управление u(t), то уравнение (2.4) принимает вид
18
ddtx
= f(x, u(t)),
(2.5)
0
()
i
f
x,u
x
откуда при любом начальном условии x(t0) = x0 однозначно определяется закон
движения объекта x = x(t), т. е. решение уравнения (2.5), определенное на некотором отрезке времени. Если управление u(t) задано на отрезке [t0, t1] и 1, 2,
…, 01 – его точки разрыва (первого рода), причем t0 < 1 < 2 < … < k < t1, то
рассмотрим сначала уравнение (2.5) на отрезке [t0,
], где оно имеет непрерыв-
1
ную правую часть. Обозначим через x(t) решение этого уравнения с начальным
условием x(t0) = x
. Если это решение определено на всем отрезке и имеет в
0
точке 1 значение x(1), то можем рассмотреть уравнение (2.5) на отрезке
[1, 2], воспользовавшись начальным значением x(
). Это решение также обо-
1
значим через x(t). Таким образом, построенное решение x(t) непрерывно во
всех точках своего определения и, в частности, в «точке сопряжения»
. Если
1
теперь решение x(t) определено на всем отрезке t0 ≤ t1 ≤ t ≤ 2 и имеет в точке 2
значение x(2), то можем рассмотреть уравнение (2.5) на отрезке 2 ≤ t ≤ 3,
воспользовавшись начальным значением x(2) и т. д. Полученное таким образом решение x(t) уравнения (2.5) является непрерывным и кусочнодифференцируемым; во всех точках, кроме 1, 2,
…, k,
решение x(t) (там, где
оно определено) является непрерывно дифференцируемым. Построенное реше-
ние x(t) будем называть решением системы (2.3) (или уравнения (2.4)), соот-
ветствующим управлению u(t) при начальном условии x(t) = x0. Это решение
может не быть определено на всем отрезке t0 ≤ t1 ≤ t задания управления u(t)
(оно может уйти в бесконечность).
Будем говорить, что допустимое управление u(t) на отрезке t0 ≤ t ≤ t1 пере-
водит фазовую точку из положения x0 в положение x
, если соответствующее
1
ему решение x(t) уравнения (2.4) (или, что то же, (2.5)), удовлетворяющее
начальному условию x(t0) = x0, определено на всем отрезке t0 ≤ t1 ≤ t и проходит
в момент t1 через точку x1, т. е. удовлетворяет также конечному условию
x(t1) = x1.
Предположим теперь, что задана еще одна функция f 0(x1, x
2, …, xn
, u) = f 0(x,
u), определенная или непрерывная вместе с частными производными
, i{1, …, n} на всем пространстве XU.
Тогда основная задача (отыскание оптимальных управлений) может быть
сформулирована следующим образом.
Пусть в фазовом пространстве X даны две точки x0 и x
. Среди всех допу-
1
стимых управлений u = u(t), переводящих фазовую точку из положения x0 в
положение x1 (если такие управления существуют), найти такое, для которого
функционал
19
(2.6)
t
0
t
1
t
0
t
1
t
t
n
12
( ), ( ), ..., ( )
n
x t x t x t
()( tx
12
( ), ( ), ..., ( )
n
x t x t x t
n
n
E
)(tx
n
Etx )(
10
ttt
t
n
E
1
0
0
( ( ), ( ))
t
t
J f t t dt
xu
принимает наименьшее возможное значение; здесь x(t) – решение уравнения
(2.4) с начальным условием x(t0) = x0, соответствующее управлению u(t), а x1 –
момент прохождения этого решения через точку x1.
Отметим, что при фиксированных x0 и x1 верхний и нижний пределы t0, t1 в
интеграле (2.6) не являются фиксированными числами, а зависят от выбора
управления u(t), переводящего фазовую точку из положения x0 в положение x1
(эти пределы определяются из соотношений x(t0) = x0, x(t1) = x1).
Управление u(t), дающее решение поставленной выше задаче, называется
оптимальным управлением, соответствующим переходу из положения x0 в положение x1, а соответствующая траектория x(t) – оптимальной траекторией.
Таким образом, основная задача заключается в отыскании оптимальных управ-
лений и соответствующих им оптимальных траекторий.
2.2. Понятия и определения для задач оптимального управления
При формулировке задачи управления используются следующие понятия:
время (момент времени), фазовые координаты, управляющие параметры,
уравнения движения, определение конечного момента, целевой функционал.
Время
измеряется как непрерывная величина. Предполагается, что t из-
меряется в некотором фиксированном промежутке: от начального момента
,
который обычно известен, до конечного момента
, который часто требуется
определить. Следовательно, время задано на промежутке
Состояние системы в любой момент времени
характеризуется с помощью
вещественных чисел
≤ t ≤
.
из указанного промежутка
, называе-
мых фазовыми координатами. Составленный из фазовых координат n-мерный
вектор-столбец
)',
называемый фазовым вектором (фазовой точкой), можно геометрически интерпретировать как точку в
-мерном евклидовом пространстве
. Каждая
фазовая координата считается непрерывной функцией времени, поэтому фазовая траектория
= {
|
}
представляет собой непрерывную вектор-функцию времени, значениями кото-
рой в каждый данный момент времени
из указанного промежутка являются
фазовые векторы. С геометрической точки зрения фазовая траектория представляет собой некоторую кривую, состоящую из точек пространства
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]