Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
(18 ) 2( 3 ) 4( 4 ) 0ссс
H
H
[][][
[][][
−−−−+−−=
∗∗∗
01 2
∗∗∗
−+ − +=
2480ссс
01 2
.
,
6. В соответствии с заданным спектром замкнутой системы
∗
определяем вектор коэффициентов ее характеристическо-
Λ
∗
:С
го полинома
∗∗∗
18, 21, 8.ссс
===
01 2
7. Проверка выполнения соотношения, полученного в п. 5:
088421218 =+⋅−⋅+−
.
Условие выполняется, следовательно, решение существует.
∗
:CC
8. Определяем
вектор
−
∗∗
−= − =−
CC c c
∗
−
cc
00
11
∗
−
cc
22
0
24
.
−
12
9. Определяем вектор G, реализующий управление.
2l =
Вектор G имеет размерность
комбинации участвуют любые две строки матрицы
, поэтому в линейной
D
данном случае взяты первая и вторая строки).
Строим линейную комбинацию столбцов матрицы
ΤΤ ΤΤ ∗
⋅+⋅ =−
12
⋅+⋅ =−
12
11 12 ( ) 1gDH gDH CC
ΤΤ ΤΤ ∗
21 2 2 ( ) 2.gDH g DH CC
D
]
]
В данном случае
412 0,
gg
−=
12
22 24,
gg
−=−
12
18, 6gg=− =−
12
.
10. Результирующее управление, синтезирующее систему с
:∗Λ
заданным спектром
618 yyu −−= .
21
ΤΤ
(в
ΤΤ
:
,
51
Варианты заданий
87 0 1 9
−−−
1. 1 0 0 ; 7 ; 5 ; .
2. 1 8 4 ; 2 ; 7 ; .
3. 0 3 7 ; 6 ; 6 ; .
4. 2 0 7 ; 10 ; 9 ; .
5. 6 8 2 ; 3 ; 5 ; .
АВ Н
==Λ=−=
695 9 7
−− −
625 4 3
−− − −
АВ Н
=− − =− Λ=− =
38 10 3 6
−− −
66 1 2 5
−−
АВ Н
=−=Λ=−=
095 10 4
83 7 10 4
−− − −
АВ Н
=− − =− Λ=− =
12 1 0 1
−− −
20 6 1 2
−−−
АВ Н
=−=Λ=−=
546 3 9
−−− − −
−−
*
∗
∗
∗
∗
100
010
010
011
001
011
010
011
110
100
645 1 8
−−− − −
6. 6 2 3 ; 1 ; 4 ; .
7. 6 1 0 ; 9 ; 9 ; .
8. 4 8 6 ; 5 ; 4 ; .
АВ Н
=− = Λ=− =
27 9 2 3
−−
680 1 6
−− − −
АВ Н
=− − =− Λ=− =
596 6 1
−− − −
843 5 8
−−− −
АВ Н
=− − − =− Λ=− =
99 1 4 5
−−
52
∗
∗
∗
001
011
100
010
100
010
10 6 0 1 8
−− − −
9. 6 7 0 ; 7 ; 4 ; .
10. 4 4 0 ; 4 ; 8 ; .
12. 1 9 0 ; 1 ; 3 ; .
13. 0 5 6 ; 7 ; 2 ; .
14. 0 5 1 ; 9 ; 6 ; .
15. 8 3 0 ; 5 ; 2 ; .
АВ Н
=− = Λ=−=
628 9 2
АВ Н
=− − =− Λ=− =
АВ Н
=− − =− Λ=− =
АВ Н
=−− =−Λ=− =
АВ Н
=−− = Λ=− =
АВ Н
=− =−Λ=− =
−− − −
92 2 7 4
−−
33 8 2 9
−− −
160 6 9
35 9 2 6
497 2 4
−− −
−− −
079 6 9
−− − −
364 5 5
−− −
032 4 3
−− − −
013 9 7
−−
994 9 7
−−− − −
∗
∗
−
∗
∗
∗
∗
100
110
010
011
110
010
010
011
011
010
100
001
542 8 5
−− − −
16. 0 3 7 ; 6 ; 6 ; .
17. 4 10 5 ; 2 ; 1 ; .
АВ Н
=−=−Λ=−=
028 5 5
40 0 3 8
−−
АВ Н
=− − = Λ=− =
421 8 7
−− −
53
∗
−
∗
010
011
110
010
10 2 2 0 7
−− −
18. 9 6 3 ; 7 ; 3 ; .
19. 0 7 7 ; 4 ; 3 ; .
20. 1 5 0 ; 1 ; 4 ; .
21. 0 4 5 ; 1 ; 7 ; .
22. 0 10 1 ; 6 ; 6 ; .
23. 2 6 1 ; 1 ; 6 ; .
24. 8 5 8 ; 4 ; 1 ; .
25. 6 9 8 ; 5 ; 9 ; .
АВ Н
=− =Λ=− =
41 4 3 10
−− −
9110 9 4
−−− − −
АВ Н
=−− = Λ=− =
049 8 9
−−−
790 4 9
−−
АВ Н
=− − =− Λ=− =
10 9 9 5 5
−−− − −
119 2 1
−−−
АВ Н
=− = Λ=− =
029 8 4
−−−
2109 9 2
−− − −
АВ Н
=−− =−Λ=− =
083 5 1
59 0 3 2
−−−
АВ Н
=− − − = Λ=− =
397 2 8
509 1 3
АВ Н
=− − =− Λ=− =
10 0 5 1 5
−−−
600 1 2
−−
АВ Н
=− − =− Λ=− =
105 7 6
−−−
∗
∗
∗
∗
∗
−−
∗
−
−−
∗
∗
101
001
001
010
110
010
011
001
010
011
010
001
100
101
100
001
54
504 4 1
26. 3 1 4 ; 1 ; 2 ; .
27. 8 5 5 ; 3 ; 5 ; .
28. 9 7 9 ; 6 ; 6 ; .
29. 5 5 8 ; 10 ; 2 ; .
30. 5 1 8 ; 2 ; 1 ; .
АВ Н
=− − = Λ=− =
40 8 3 3
−− −
20 9 0 5
АВ Н
=− − − =− Λ=− =
302 9 1
51 9 0 5
−−
АВ Н
=− − =− Λ=− =
228 2 2
−−− − −
80 5 0 6
−−
АВ Н
=−−− =− Λ=− =
30 1 7 5
263 5 1
−−
АВ Н
==Λ=−=
120 5 4
−−
−− −
−−−
−−
∗
∗
−
∗
∗
∗
101
001
001
100
001
101
010
100
100
101
55
2.1.2 Случай векторного входа
D
Описание метода
Рассмотрим случай, когда система (2.5) допускает скалярное управление. Тогда из некоторого многообразия
,r
выбрать вектор
вариации которого существенно расширя-
можно
Ω
ют возможности управления спектром при той же неполноте
информации. Матрица D, построенная по рекуррентным
.r
nl−
подвиж-
формулам (2.9), будет зависеть от выбора вектора
)(rDD=
, получаем вместо систе-
мы спектральных инвариантов (2.16) систему
r
ных, зависящих от вектора
CC D rN
−=
()
инвариантов:
T
∗−
1
() 0
. (2.17)
Соотношение (2.17) позволяет для каждого выбранного
вектора
r
проверить возможность реализации заданного
спектра.
r
Целесообразно, однако, определять векторы G и
одновременно. При этом получается система билинейных уравнений относительно
компонент этих векторов.
lm+
Матрицу D, получаемую из рекуррентных соотношений
(2.9), можно представить в виде
( ... )
dBr d Br dBr=
12
. (2.18)
n
Подставляя выражение (2.18) в (2.12), получаем систему
уравнений:
GHd Br c c
=−
позволяющую одновременно определить векторы G и
*
известным векторам С,
Решение системы (2.19), удовлетворяющее условию
m
, определяет искомое управление в системе с непол-
Ω
r ∈
С
и матрицам H, A, B.
*
11iii
−−
, (2.19)
r
по
ной информацией.
56
Алгоритм решения задачи
1. Проверка управляемости системы.
Строится матрица управляемости
Если
S B | AB | A B | ...| A B
rang =Sn или
упр
()
упр
det 0≠S
21
упр
−=n
.
, то система управляема,
где n – порядок системы.
2.
Нахождение вектора коэффициентов характеристи-
ческого полинома разомкнутой системы
1
()ψλ
= det (λI−A) =λn +
Понижение размерности управления.
3.
n-
c
λ
+ ....+
1n−
C= c ...c
01
c
λ +
1
)(:
n
−
c
.
0
Исходная система допускает скалярное управление, т.е.
,r
существует вектор
rang rang ( )
удовлетворяющий условию:
S Br ABr ... A Br
=
упр
1
n
−
,
которое в данном случае может быть записано в виде
det ( ) 0Sr≠
упр
.
rBb
Положим
ство
значений вектора
Ω
Для понижения размерности положим .urv=
Определение вектора коэффициентов характеристиче-
4.
ского полинома замкнутой системы
данному спектру
= . Следовательно, можно описать множе-
.r
Λ
C = c ... c
∗
:
∗∗∗
01
)(
n
−
по за-
∗−
c
ini
ni
(1)
=− σ
57
,
−
H
N
H
r
H
где
5. Определение вектора
n
σ λ λ ..... λ ,
11
σ λ λ λ λ λ λ ... λ λ ,
212131
** *
=+ +
=++ +
=
i п
i
1
=
n
** ** ** * *
ij
,1
=
ij
≠
=
ij пп
−
......................................................
n
σ λ λ λ .......λ .
=
ni п
*** *
=
∏
i
=
1
1 2
*
CC −
.
6. Построение матрицы D по формулам:
… dn),
1
,, .., 2
T
()
…
,
n n ....=
12
ортогонального
находим из условий ортого-
d= B
n
d= Ad+ cB i=n
−−
iii
и матрицы
7.
Построение вектора
столбцам
D
D
ΤΤ
ΤΤ
.
Назначим
D = (d
;
11
.
, , n n ...
11=n ;
23
нальности:
1()0n n ... D H
()
23
ΤΤ
.
=
8. Составление спектрального инварианта, отвечающего
неполноте информации:
*
T
0)(
=− NСС
.
9. Выбор вектора
значения вектора
(подставляем в полученный инвариант
*
С
).
10. Определение управления v.
*
D
CC −
является линейной комбинацией столбцов
ΤΤ
. Коэффициенты этой линейной комбинации
Вектор
матрицы
формируют управление:
58
yqyqv += .
2211
11. Определение результирующего управления, синтезиру-
r
x
ψ
ψ
*
ющего систему с заданным спектром
в соответствии с
Λ
выражением
.
v
u
=
Пример расчета
Рассмотрим следующую систему управления:
Ax Bu
=+
=
yHx
110 21
ABH
0 1 0 , 1 0 , .
где
===
002 02
Требуется выбрать управление
этим управлением система имела заданный спектр
1 1 1=− − −
()
.
Решение
1. Проверка управляемости:
||=SBABAB
()
упр
,
100
001
так, чтобы замкнутая
u
2
,
Λ=
*
213141
.
rang 3=S
упр
S
101010
=
упр
020408
система управляема.
2. Характеристический полином разомкнутой системы:
λ=λ− =λ+ λ+ λ+
()
λ=λ−λ+λ−
()
32
ΙΑ ccc
452
32
210
012
59
,
2, 5, 4=− = =−ссс
.
3. Понижение размерности управления.
{
}
r
x
Исходная система допускает скалярное управление, т.е.
()
, rrr =
существует двухмерный вектор
, удовлетворяющий
21
условию
rang rang ( )S Br ABr A Br=
упр
2
,
которое в данном случае может быть записано в виде
det ( ) 0≠Sr
упр
==
() , ,
S r Br ABr A Br r r r
упр 1 1 1
Определитель
0, 0.≠≠rr
12
()
det ( ) 2( 1)=−Sr rr
Следовательно,
2
упр 1 2
Ω0 0r:r ;r=≠≠
Для понижения размерности положим
;
234
rr rr rr
+++
12 12 12
248
rrr
222
32
отличен от нуля при
12
u
.
. При этом
v
=
исходная система преобразуется к виду
vbxAx
+= , где rBb
110 2
=+
010
002 2
xrv
= .
rr
+
12
1
r
2
.
Система является вполне управляемой, со скалярным
управлением.
4. В соответствии с Λ
5. Определяем
∗
определяем
***
1, 3, 3ссс===
01 2
*
:CC−
**
−= − =
CC c c
*
−
cc
00
11
*
cc
−
22
60
*
:С
.
3
−
2
.
−
7
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]