Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимального управления. Учебное пособие
.pdf
6. Определение вектора коэффициентов желаемого поли-
β
x
a
нома замкнутой системы
Расчет матрицы-вектора
7.
по формулам (2.51).
ж
() ,qd
=α
где вектор
определяется по формуле (2.41).
Определение вектора
8.
q
, исходя из условия совместимо-
сти (2.49).
Расчет вектора
9.
берется вектор
Определение матрицы многомерного регулятора
10.
.Pqp=
a
ж
p
по формуле (2.50), где в качестве
.
Проверка
Если характеристический полином полученной многомер-
−
ной системы H(s) = det (sI
A + BPC) совпадает с полиномом
(2.51), принятым при синтезе, то матрица P найдена верно.
Пример расчета
Рассмотрим объект:
d
a
11 2 00
232 10, .
=−−+ =
82 7 01
Найдем матрицу P обратной связи по выходному сигналу
y
, которая обеспечивает замкнутой системе трехкратный ко-
−
xuy x
−
011
01 1
−
рень –3.
Решение этой задачи возможно, так как условие
принимает в данном случае вид 2 + 2 – 1 = 3,
1mr n+−≥
т.е. выполняется.
91
Решение
L
1. Проверка управляемости системы.
Составляем матрицу управляемости
|| :SBABAB=
()
упр
2
rang 3S =
упр
00 1 2 6 10
S
10 3 2 7 16
=−−
упр
0 1 2 7 12 29
, следовательно, условие управляемости выпол-
−−
−−
.
няется.
2. Принимая
[],
qqq=
12
T
получим для объекта эквива-
лентной одномерной системы передаточную функцию по
вектору состояния:
()
() ( )
=
32
1
92933ss s
+++
Wsq sI A Bq
=− = =
3. Определяем матрицу
38 2 0
qqqq
−−
()92 62
qqqqqq
121 2
=− −
12121
65 22
qq qqq
−+
12 1 22
2
1
2
2
()Lq
и вектор :d
1
−
gs
()
Fs
;
)83()2(
−+−
qqsqq
−+−+
d
=
2121
.
)29()26(
qqsqqsq
2121
)56()22(
−+++
qqsqqsq
2121
33
.
29
9
4. Матрицы, необходимые для составления уравнения сов-
местимости (2.49), имеют вид:
011
C
=
01 1
,
EC
−
==
92
T
00
11,
11
−
11
[
[
=
E
B
11
,
−
010
I
=
B
001
,
H
00,
]
100.
I =
H
]
E =
5. Используя эти матрицы, по формуле (2.48) находим
IEEIL q qq q
α= − = − + − ×
()()242
HHBB
6 14 2 18 56 14 ,
×− + −+ −
qqqq q qqq
()( )
1122 1 122
qq
Δ= − +
где
3
26.
q
2
q
11 2 2
−−
222 2
2
4
11
2
q
2
2
T
1
()
1122
Δ
Как видно из этих уравнений, корни эквивалентной одномерной системы доступны управлению лишь при соблюдении
условий:
2
4
qq
≠ 0 и
q
2
11
−+≠
2
q
2
q
2
60.
(2.53)
Квадратичный полином, входящий в последнее из этих
условий, не имеет действительных корней. Отсюда следует,
что ограничения (2.53) сводятся лишь к требованию отличия
от нуля элемента q
(q1 может принимать любые действи-
2
тельные значения).
6. Желаемый характеристический полином синтезируемой
системы
3
H (s) = (s + 3)
= s3 + 9s2 + 27s + 27.
Отсюда
= [27 27 9]T.
a
ж
93
P
7. Определяем значение
22 2
qqq qq
211 11
q
=−+− −+×
β( ) 2 4 2 6 14 2
18 56 14 29 54 230 134
×− + − =− + −
Δ
22
qq q q
11 1 1
22
qq q q
22 2 2
β( ):q
22
qq q q
22 2 2
33
9
.
8. Подставив выражения для α, aж,
β( )q
в уравнение сов-
местимости (2.49), находим:
27
22 2
qq q q q q
11 1 1 1 1
−+ − − +− + − =
242614218561427
22 2
qq q
qq q
22 2
22 2
2
qq
=− + −
11
54 230 134,
2
q
2
q
2
9
или после упрощений
q
Отсюда q
1
q
2
=
2q2. Приняв q2 = 1, находим вектор
−
1
−
=
q
.
02
=+
2
,
1
при котором может быть получено желаемое расположение
корней замкнутой системы (трехкратный корень –
9. Перейдем к определению матрицы
го регулятора. Сначала необходимо найти матрицу-строку
3).
qp=
многомерно-
p
одномерного регулятора эквивалентной системы. Эта матри-
1
T)-
ца находится по формуле (2.50), в которой (L
ся при q
= −2, q2 = 1, а в качестве a берется вектор aж. Имеем
1
вычисляет-
94
927 99 6
−−−
T
p
=−−=
11 1
18 18
11 3
11
010
−−
001
27202 .
414580
−
yPu
10. Многомерный регулятор
−=
характеризуется
матрицей
−12
1
pqP
=
=
18
[]
13 −
=
1
18
26
.
−−13
Проверкой можно убедиться, что характеристический полином полученной многомерной системы совпадает с полиномом, принятым при синтезе:
H(s) = det (sI
−
A + BPC) = (s + 3)3.
Варианты заданий
015 10 1
1 2 5 0 , 0 1 , , Λ 2 .
. АВС
=== =−
−−
430 11 3
107 7 1 1
2. 2 5 8 , 7 4 , , 1 .
3 2 2 8 , 2 4 , , Λ 2 .
4 2 2 3 , 2 3 , , Λ 2 .
5 3 2 3 , 2 3 , , Λ 3 .
АВС
===Λ=−
369 5 3 2
107 74 1
. АВС
=− = = =−
−− − −
16 4 5 3 2
107 74 1
. АВС
=− = = =−
−− − −
13 4 5 3 3
157 74 1
−− −
. АВС
=− =− = =−
−− − −
13 4 5 3 3
−−
95
020
300
202
−
001
02 2
031
04 2
031
−−
−
−
−
−
60 2
002
−
∗
−
∗
∗
∗
∗
−
−
157 74 2
−− −
6 4 3 2 , 4 0 , , Λ 3 .
. АВС
=−= = =−
−− −− −
10 4 9 3 3
157 74 2
−− −
7 4 2 2 , 4 0 , , Λ 4 .
. АВС
=−= = =−
−− − −
10 4 31 3
557 04 1
−− −
8 2 2 2 , 4 0 , , Λ 4 .
. АВС
=−= = =−
−− − −
10 3 31 3
050
230
−
05 2
030
−−
−
−
020
230
∗
∗
∗
135 38 3
9 2 2 5 , 0 5 , , Λ 2 .
. АВС
=− = = =−
661 1 1 1
112 21 1
10 3 3 1 , 3 1 , , Λ 1 .
. АВС
=−=−= =−
−−
14 1 1 2 3
312 21 1
11 3 2 1 , 1 2 , , Λ 1 .
. АВС
=−− =−− = =−
−− −
121 12 1
312 23 1
12 3 3 1 , 1 2 , , Λ 2 .
. АВС
=−=−−= =−
−− − −
122 42 1
322 22 1
−−
13 2 3 1 , 4 2 , , Λ 2 .
. АВС
=− − =− − = =−
−−
223 32 2
321 21 2
−− − −
14 2 4 1 , 2 2 , , Λ 1 .
. АВС
=− − = − = =−
−− −
21 3 12 2
121 21 1
−− − −
15 2 2 2 , 1 2 , , Λ 1 .
. АВС
=− − =− − = =−
−− −
31 3 13 2
−−
−−
030
200
02 3
030
130
−−
−−
−−
−−
00 3
012
−
−
210
10 3
−
20 1
130
−
210
102
20 2
−
−−
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
−
−
−
96
221 2 1 1
−−− − −
16 2 3 2 , 1 2 , , Λ 1 .
. АВС
=− =− − = =−
−− −− −
31 1 3 1 2
221 11 1
−−− −− −
17 1 3 2 , 2 2 , , Λ 3 .
. АВС
=− − = − = =−
−− − −
31 2 32 2
224 12 1
−− − −
18 3 2 2 , 3 2 , , Λ 3 .
. АВС
=− =− − = =−
21 2 42 2
223 12 1
−− − −
19 3 3 2 , 5 2 , , Λ 3 .
. АВС
=− − = − = =−
−− − −
21 2 12 4
−− −− −
20 3 4 2 , 3 2 , , Λ 4 .
. АВС
=− − = − = =−
27 2 11 4
21 2 4 2 , 2 2 , , Λ 4 .
22 2 2 2 , 2 2 , , Λ 2 .
224 15 4
−− −− −
. АВС
=− − = − = =−
17 2 12 4
−− −− −
. АВС
=− − = − = =−
17 2 13 4
−−
223 15 1
−−− −
−−− −
224 15 1
−−− −
10 3
023
023
−
20 1
−
−−
−
120
−−
140
−
302
−
103
022
−
003
020
−
033
−
600
103
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
223 15 1
−− −− −
23 2 5 2 , 2 3 , , Λ 3 .
. АВС
=− − = − = =−
23 3 13 2
223 14 1
−− − −
24 3 5 2 , 2 3 , , Λ 3 .
. АВС
=− = − = =−
23 2 23 3
324 14 3
−− − −
25 3 2 2 , 1 3 , , Λ 3 .
. АВС
=− = − = =−
23 2 23 3
−−− −
−−− −
−−− −
97
020
−
063
104
103
023
−−
00 2
∗
∗
∗
324 14 3
−− − −
26 3 6 2 , 1 1 , , Λ 1 .
. АВС
=− = − = =−
−− − −
242 23 3
323 12 3
−− − −
27 4 6 2 , 1 1 , , Λ 2 .
. АВС
=− − = − = =−
−− −
241 43 3
323 12 3
−− − −
28 4 0 2 , 0 1 , , Λ 2 .
. АВС
=− − = − = =−
−− −
241 43 3
323 14 3
−− − −
29 4 0 3 , 0 1 , , Λ 4 .
. АВС
=− − = − = =−
−−− −
341 63 3
323 12 2
−− −− −
30 4 1 3 , 0 1 , , Λ 1 .
. АВС
=− − = − = =−
−− −
048 23 3
120
−
140
−
104
102
−
020
−
042
−
120
−
240
−−
10 3
−
−
20 2
∗
∗
∗
∗
∗
98
3. УПРАВЛЕНИЕ НУЛЯМИ И КОЭФФИЦИЕНТАМИ
x
УСИЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Описание метода
В настоящем разделе рассматривается метод, обеспечивающий наперед заданные значения нулей и коэффициентов
усиления многомерной системы [2]. Метод предусматривает
синтез многомерного звена разомкнутого цикла. Это звено,
будучи последовательно соединено с замкнутым многомерным контуром, образует многомерную комбинированную систему (рисунок 3.1).
v
M
Σ
u
(A, B, C)
y
Рисунок 3.1 − Многомерная комбинированная система
−P
Звено разомкнутого цикла не влияет на полюсы комбинированной системы. Полюсы создаются замкнутой частью системы и помещаются в требуемое положение при помощи
методов модального управления.
Рассмотрим линейный многомерный объект
x
где
– n-мерный вектор состояния;
входных сигналов;
Ax Bu
=+
y Сx
=
y
– r-мерный вектор выходных сигналов;
,
(3.1)
,
– m-мерный вектор
u
A, B, C − постоянные (n×n), (n×m) и (r×n)-матрицы.
99
Применяя обратную связь по матричному выходному сиг-
x
налу и вводя звено разомкнутого цикла (см. рисунок 3.1), получим следующее выражение входного сигнала объекта:
y
–P
v
. (3.2)
()mm×
-
Здесь
()mr×
-матрица обратной связи; M − постоянная
=M
u
v
– m-вектор командных сигналов; P − постоянная
матрица звена разомкнутого цикла.
Комбинированная система описывается уравнениями
,
(
A BPC x BM
=− + ν
yCx
.
=
)
(3.3)
Матричная передаточная функция этой системы
() ()
Ys Ns
Vs Hs
Ф( ) ( ) ,
s C sI A BPC BM M
==−+ =
() ()
1
−
(3.4)
где N(s) – (r×m)-матрица, входящая в числитель передаточной
функции замкнутой части системы, H(s)
= det [sI – A + BPC] −
характеристический полином этой части.
Как видно из уравнения (3.4), звено М, находящееся вне
замкнутой цепи воздействий, не оказывает влияния на характеристический полином H(s) замкнутой системы и, следовательно, на расположение полюсов этой системы, обеспечиваемое обратной связью P. С другой стороны, матрица N(s)
числителя передаточной функции замкнутой части умножается справа на матрицу М звена разомкнутого цикла, что приводит к линейному преобразованию столбцов матрицы N(s).
Следовательно, матрица М влияет на распределение нулей
всей системы.
Найдем скалярную передаточную функцию, связывающую
y
i-ю составляющую выходного сигнала
командного сигнала
Для этого в уравнении (3.4) вычислим
.v
с j-й составляющей
элемент (r×m)-матрицы NM, находящийся в i-й строке и j-м
столбце:
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]