Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
6.4. ЕДИНИЦЫ СИ 71
Заметим, что разложение магнитного поля обусловлено иными мотивами,
нежели разложение поля электрического. В случае с электрическим полем
мы прибавляли к электрическому полю E величину 4πΠ,получаяполеD,
обладающее желаемым свойством. В случае с магнитным полем мы просто разложили B на две составляющие, положив в основу расположение
электрических токов, с которыми связано магнитное поле B.
Заметим между прочим, что плотность энергии, связанная с электрическим полем E,равнаE · D/8π, включая энергию поляризованных молекул
диэлектрика. Энергия одного электрического поля, конечно, равна E
2
/8π.
Плотность энергии поляризации можно записать как Π · E/2.
Для магнитного материала плотность энергии составляет B · H/8π,
2
причем B
/8π — это плотность энергии в самом магнитном поле,
а −M · B/2 — плотность энергии, создаваемой дипольным моментом в единице объема.
Магнитный вектор H называется напряженностью магнитного поля,
авекторB — магнитной индукцией. Такая терминология, судя по всему,
обусловлена тем, что приложение магнитного поля H к некоторому объему
магнитного вещества вызывает поляризацию этого вещества, тем самым
создавая в нем дополнительное магнитное поле 4πM. Таким образом, H
рассматривается как движущая магнитная сила, дающая итоговый результат в виде B. Иногда в научной среде возникают споры насчет того, какое
поле, B или H, является фундаментальным магнитным полем, при этом мало кто задумывается над тем, что магнитное поле — это B,авотH —лишь
его часть, возникающая в присутствии магнитного вещества. В отсутствии
оного B = H, и две эти величины ничем друг от друга не отличаются.
Важный момент нашего повествования об электрических и магнитных
полях в космосе состоит в том, что горячие газы, существующие в космосе
повсеместно, имеют крайне слабую способность к электрической поляризации и очень малую восприимчивость к действию магнитных полей, так
что в достаточно хорошем приближении D = E,аH = B.
6.4. Единицы СИ
Здесь мы рассмотрим сложности, которые возникают при выражении
электромагнитного поля в единицах СИ (МКС). Использование единиц
СИ обусловлено создающими массу неудобств маленькой единицей заряда и большой единицей электрического потенциала в электростатической
системе СГС, когда дело доходит до выражения токов и напряжений в электрических цепях. Так, например, в теории излучения антенн используются
электростатические единицы, тогда как теория электрических цепей, при-
72 ГЛАВА 6
водящих эту антенну в действие, сформулирована через кулоны, амперы,
вольты и омы. Система электростатических единиц крайне неудобна для
электрических цепей. Один ампер содержит 3 × 10
9
электростатических
единиц заряда, а один вольт равен 1/300 статвольта — вспомогательной величины, используемой в системе электростатических единиц (см. Stratton,
1941, стр. 17, 18).
Теперь если говорить о переходе от единиц СКС к единицам МКС, во
второй главе отмечалось, что естественную единицу заряда в системе МКС
можно определить как заряд, отталкивающий равный ему заряд с силой
в один ньютон на расстояние в один метр. Это и есть единица заряда в системе МКС, равная 10
не соответствует кулону при 3 × 10
9/2
электростатических единиц. Однако эта единица
9
электростатических единицах; ничего
хорошо у нас не получается и при определении в системе МКС естественной единицы электрического поля как поля, расположенного на расстоянии
одного метра от единицы заряда (10
стеме МКС, что дает единицу напряженности поля, равную 10
статических единиц =3,16 статвольт/см, т.е. около 10
9/2
электростатических единиц) в си-
3
1/2
в/см. Следователь-
электро-
но, установить простое соотношение между двумя этими системами просто
не представляется возможным.
Таким образом, единицы СИ — это целая новая система, использующая
единицы МКС (метры, килограммы и секунды), но при этом считающая основной единицей заряда кулон, который не имеет теоретической связи ни
с массой, ни с длиной, ни с временем. Электромагнитная теория в единицах
СИ формулируется различными способами (ср. Stratton, 1941, и Shadowitz,
1988), причем для представления электромагнитного поля в вакууме используются четыре вектора E, D, H и B. Закон Кулона, выражающий силу,
которая действует между зарядами q
и q2, принимает вид
1
q
F =
где ε
— постоянная. При q1= q2=1Кл =3× 109электростатических
0
единиц, r =1м = 100 см и F =1Н =10
=1/9 × 10
где ε
0
9
единиц СИ. Тогда мы можем определить вектор D = ε0E,
называется диэлектрической постоянной вакуума.ВекторE называ-
1q2
4πε0r
, (6.17)
2
5
дин получается, что 4πε0=
ется напряженностью электрического поля,авекторD — электрической
индукцией. Чтобы согласовать все эти определения и сохранить уравнения
Максвелла в компактном виде в связи с электрическими токами и магнитными полями, была введена постоянная μ
,причемB = μ0H,гдеμ0по-
0
лучила название магнитной проницаемости вакуума.ВекторH опять-таки
6.4. ЕДИНИЦЫ СИ 73
был назван напряженностью магнитного поля,авекторB — магнитной
индукцией. Затем оказалось, что μ
2
=1/c
. Поскольку заряд невозможно определить в метрах, килограммах
имеет ограничение, а именно: μ0ε0=
0
или секундах, в систему СИ, в дополнение к обычным длине L, массе M
ивремениT , приходится вводить единицу заряда Q. Тут оказывается, что
диэлектрическая постоянная ε
ная проницаемость μ
размерность ML/QT
—размерностьML/Q2. Таким образом, E имеет
0
2
,аD —размерностьQ/L2. Размерность магнитной
имеет размерность T2Q2/M L3, а магнит-
0
индукции B составляет M/QT, а напряженности H того же поля — Q/LT .
Видя эти определения, объяснить физический смысл D относительно E и
H относительно B далеко не так просто, как для системы СГС в разделе 6.3. А ε
и μ0вообще не имеют физического смысла. На самом деле
0
в этой ситуации вполне правомерен вопрос: что является настоящим магнитным полем, H или B? Уравнения Максвелла для полей в вакууме принимают вид
∂B
= −∇ × E, ∇·B =0,
∂t
∂D
j +
=+∇×H, ∇·D = δ,
∂t
где четыре вектора E, D, B и H описывают два поля. Если принять во внимание неясный физический смысл D относительно E и H относительно B,
то физическая связь электрического и магнитного полей становится далеко
не очевидной. Толкование, которое гласит, что «любое изменение одного
из полей с течением времени сопровождается возникновением пропорционального вихря в другом, и наоборот», столь явно просматривающееся
в уравнениях (1.1) и (1.2), здесь, в стране СИ, далеко не так очевидно.
Быть может, самым очевидным недостатком системы СИ является
то, что в ней не просматривается электромагнитная симметрия уравнений
Максвелла. О какой симметричности уравнений электрических и магнитных полей может вообще идти речь, когда электрические и магнитные поля имеют разную размерность? Прежде чем переходить к другим сложностям, обратимся к некоторым следствиям такого отсутствия симметрии
относительно E и B. Поскольку электрическое и магнитное поля имеют
разные размерности, удобного способа сравнить их напряженности просто не существует. Представим электрическое поле в один статвольт на
сантиметр и магнитное поле в один гаусс. Натяжения и плотность энергии в обоих этих полях одинаковы. Значит, одинаковы также их напряженности, и E = B в электростатических единицах СГС. С другой стороны, в единицах СИ электрическое поле измеряется в вольт/метр. Один
74 ГЛАВА 6
статвольт равен 300 вольтам, и тогда единица напряженности электрического поля вольт/метр равна 1/(3 × 10
единичное электрическое поле в электростатических единицах равно E =
=3× 10
4
в/м в единицах СИ. Магнитное поле в системе СИ измеряется
в теслах, причем одна тесла равна 10
поле в 1 Гс в электростатических единицах равно 10
Следовательно, в единицах СИ E/B =3×10
4
) ставольт/сантиметр, в силу чего
4
Гс, так что единичное магнитное
8
м/с, а эту величину мы назы-
−4
Т в единицах СИ.
ваем скоростью света c. Таким образом, в системе СИ единицы измерения
электрического и магнитного полей практически не сопоставимы. Единица
измерения напряженности магнитного поля огромна по сравнению с единицей измерения напряженности поля электрического.
Однако дело здесь не только в неудобстве. Страттон (Stratton, 1941,
стр. 79, 80), в своем восторженном представлении электромагнитной теории в единицах СИ, пал жертвой этого искажения при рассмотрении преобразований Лоренца. Вновь предвосхищая наше собственное изложение преобразований Лоренца в шестой глава, отметим на основе уравнения (7.1),
что в электростатических единицах СГС нерелятивистские преобразования
Лоренца приобретают симметричный вид
где E
= E +
E
и B— это электрическое и магнитное поля, соответственно, в си-
v × B
c
, B
= B +
v × E
, (6.18)
c
стеме отсчета, движущейся со скоростью v относительно системы отсчета,
в которой эти поля имеют напряженности E и B. В единицах СИ нерелятивистские преобразования Лоренца принимают вид
= E + v × B, B= B +
E
как и в уравнении Страттона (1.11) из первой главы. Страттон выделяет
квадрат скорости света c
2
в знаменателе слагаемого v×E/c2в правой части
уравнения. Затем он объявляет, что это слагаемое O(ν
v × E
, (6.19)
2
c
2/c2
) очень мало по
сравнению с первым слагаемым B, так что им вполне можно пренебречь,
оставив преобразование магнитного поля Лоренца в виде
= B. (6.20)
B
Это крайне любопытное заключение, потому что в электростатических единицах слагаемое v × E/c не является пренебрежимо малым по сравнению
с B. Страттона подвела чудовищная асимметрия единиц СИ, поскольку он
6.4. ЕДИНИЦЫ СИ 75
просто забыл, что слагаемые, которые содержат E и B,неподлежатпрямому сравнению в силу разных размерностей. В электростатических единицах E и B имеют одинаковую размерность, M
СИ их размерности имеют вид ML/QT
2
и M/QT, соответственно, как отмечалось выше. Если учесть, что E в числителе v × E/c
относительно B в c раз, ясно, что величина v × E/c
1/2
/LT , а вот в единицах
2
увеличивается
2
мала по сравнению
с B лишь до первого порядка по ν/c, но не до второго. Таким образом, даже
специалисты по единицами СИ порой умудряются заблудиться в закоулках
этой системы. Вспомним, что введение единиц СИ обусловливалось необходимостью избежать неудобно маленькой единицы заряда в системе электростатических единиц СГС при работе с электрическими токами. Однако
плата за переход к кулону как независимой единице оказалась непомерно
большой.
В заключение вернемся еще раз к тому, почему система СИ требует
введения электрического заряда в качестве четвертой размерной величины,
в дополнение к M, L и T . Если говорить о механике и динамике, из ньютоновского уравнения движения явствует, что для физики достаточно M , L
и T . Затем, при переходе к электрическим и магнитным полям и электрическим зарядам, свойства этих полей и зарядов удобным образом определяются через их динамические свойства, для чего нам вполне достаточно M,
L и T . Дополнительная размерность Q в системе СИ возникает по причине
того, что мы настаиваем на использовании в качестве единицы заряда кулона, что требует введения в закон Кулона (уравнение (6.17)) постоянной ε
Другими словами, закон Кулона позволяет связать заряд с M , L и T сраз-
мерностью M
жим требовать, чтобы заряд Q оставался независимой единицей, тогда нам
придется подправить закон Кулона, изменив его отношение с M
путем введения дополнительного коэффициента ε
ность ε
Q
0
2
в числителе уравнения (6.17) сокращается, позволяя согласовать правую
часть уравнения (6.17) с динамической размерностью ML/T
1/2L3/2
/T . Если мы не примем это во внимание и продол-
имеет вид (TQ/M
1/2L3/2)2
1/2L3/2
. Заметим, что размер-
0
= T2Q2/M L3, поэтому размерность
2
силы, распо-
0
/T
ложенной в левой части уравнения. В общем, все дело в том, что кулон
заряда был определен без учета динамических отношений.
Ввиду той фундаментальной роли, которую простота играет в построении научных концепций и теорий, электродинамику и магнитную гидродинамику космоса лучше всего изучать в единицах СГС. Сложности, сопряженные с системой СИ МКС, не приносят физике ничего, кроме путаницы
в важных физических отношениях. Для практических целей вполне подходит такой вариант, когда при необходимости получения электрических
токов и потенциалов в кулонах, амперах и вольтах мы просто делим число
.
76 ГЛАВА 6
единиц заряда и тока в системе СГС на 3 × 109, получая желаемые кулоны
и амперы. Таким образом, заряд протона e =4,8 × 10
ческих единиц становится e =1,6 × 10
ты, достаточно умножить разность электрических потенциалов в статвольтах на 3 × 10
2
. Сделать это несложно; такая операция позволяет избежать
−19
кулона. Чтобы получить воль-
−10
электростати-
концептуального вреда, который наносит система СИ. Возможно, читатель
вспомнит, что в ходе наших бесед для выражения разностей потенциалов
и энергий частиц мы нередко использовали вольт, потому что именно он
позволяет установить связь со стандартными единицами, используемыми
в лабораторных экспериментах.
Особенно важно использовать систему СГС при обучении основам
электричества и магнетизма, а также электродинамики. Тогда студенты,
усвоив базовые концепции, смогут при необходимости лавировать и в мутных водах СИ, не терпя серьезных крушений. Однако фундаментальное
представление о симметричности электричества и магнетизма в электростатических единицах СГС должно быть преподнесено учащимся в первую
очередь, причем здесь нельзя забывать и о простой физике D и H относительно E и B.
Любопытно отметить, что изначально система СИ была представлена
как система единиц измерения для практических целей. Прекрасный выбор слов, ибо кто способен подвергнуть сомнению такую ценность, коей
является «практичность»? На ум сразу же приходит классический пример
Эрика Красного (Эрика Торвальдсона), который в 982 году покинул берега
Исландии, чтобы отправиться к покрытой льдами земле в западной части
Атлантического океана, которую он назвал Гренландией за небольшие полоски растительности, протянувшиеся с южной и западной сторон ледяной
пустоши, как это сделал бы любой прозорливый землевладелец. Исландия
же, напротив, как была, так и осталась достаточно зеленой и тихой гаванью.
6.5. Системы единиц
В процессе обсуждения разных систем единиц на ум приходят несколько мыслей. Например, ньютоновское тяготение выражается через силу F ,
действующую между двумя точечными массами m
на расстоянии r друг от друга, причем
m
1m2
F = −G
. (6.21)
2
r
Знак «минус» указывает на то, что эта сила является силой притяжения,
а G — это всем известная гравитационная постоянная, равная 6,670 ×
и m2, расположенными
1
6.5. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 77
10−8см3/г с2. У читателя может возникнуть вполне резонный вопрос: а по-
чему бы не дать новое определение массы, измеряемой в единицах гравитационной массы M = G
что полностью аналогично уравнению (2.1) для электрических сил. Поскольку G
1/2
=2,583 × 10−4СГС, значит единица гравитационной массы
1/2
m,чтобы
F = −
M
1M2
, (6.22)
2
r
равна 3,871 кг. Именно наше желание использовать в качестве единицы
массы грамм приводит к появлению в гравитационном уравнении Ньютона (2.1) коэффициента пропорциональности G. Ведь мы возражали против
произвольного введения кулона в качестве единицы измерения электрического заряда в системе СИ, т. к. это было сопряжено с появлением дополнительного коэффициента ε
, не имеющего физического смысла. Так по-
0
чему же не проявить последовательность и не повести себя аналогичным
образом по отношению к массе с целью избежать появления никому не
нужного коэффициента G? На этот вопрос нет однозначного ответа. Вопервых, главным препятствием для введения кулона и ε
служит тот факт,
0
что их появление скрывает внутреннюю симметрию уравнений Максвелла
относительно E и B. В присутствии гравитационного поля такой симметрии просто нет, а следовательно, нет и настоятельной причины давать иное
определение единице массы. Во-вторых, грамм как единица массы уже давно и основательно укоренился почти в каждом аспекте физики и обыденной
жизни людей. Цена введения понятия гравитационной массы слишком высока, если принять во внимание, что убедительной причины для этого не
существует.
Однако мы не можем не заметить, что аналогичный вид уравнений (2.1) и (6.22) свидетельствует о существовании между электрическим
и гравитационным полями близкой аналогии. Такая аналогия в самом деле
имеет место быть, хотя и с некоторыми явными и хорошо известными отличиями. В частности, мы можем говорить о существовании положительных
и отрицательных электрических зарядов, а вот если речь идет о гравитационной массе, все вещество имеет один и тот же знак, причем любые
массы обладают скорее свойством взаимного притяжения, нежели отталкивания. Опыт Этвеша–Дикке подтверждает, что антивещество обладает теми
же гравитационными свойствами, что и вещество (E¨otv¨os et al., 1922; Roll
et al., 1964; Braginsky and Panov, 1971).
Чтобы понять аспекты расхождения аналогии между электричеством
и тяготением, отметим на основе сравнения уравнений (2.10) и (6.22), что
гравитационное поле Z, существующее вокруг точечной гравитационной
78 ГЛАВА 6
массы M , определяется как
Z = −e
где введен знак «минус», чтобы сила на другую массу M
M
Z, была силой притяжения. По аналогии с электрическим полем сум-
M
,
r
2
r
, заданная через
марный гравитационный поток поля Z, создаваемого массой M ,очевидно,
равен 4πM .
Теперь рассмотрим одиночный широкий однородный плоский лист вещества с поверхностной плотностью γ. В прямой аналогии с электрически заряженной пластиной из раздела 2.4 по каждую сторону этого листа
существует направленное внутрь гравитационное поле, сила которого составляет 2πγ, так что аналогичный лист, расположенный параллельно на
расстоянии h, притягивается с силой 2πγ
2
на единицу площади. Гравитационные поля, создаваемые этими листами, взаимоуничтожаются в пространстве h между ними, а вот поля, расположенные снаружи, имеют направленную внутрь силу 4πγ с каждой стороны. Это весьма похоже на
электрические поля, создаваемые двумя заряженными листами с одинаковой поверхностной плотностью электрического заряда σ. Поля, создаваемые заряженными листами, в промежутке между ними взаимоуничтожаются, тогда как внешнее электрическое поле составляет E =4πσ,авек-
торы напряженности направлены наружу от обоих листов. Листы отталкиваются друг от друга с силой 2πσ
ных листа отталкиваются, создавая во внешнем поле суммарное натяжение
2
/4π − E2/8π =(4πσ)2/8π =2πσ2. Но здесь возникает отличие от элек-
E
2
, так что говорят, что два заряжен-
тростатического случая. Два листа вещества не отталкиваются, а притягиваются. Таким образом, внешнее гравитационное поле, очевидно, расталкивает два листа, создавая не натяжение, а давление.
Разведение притягивающихся листов вещества на расстояние h требу-
ет выполнения суммарной работы W =2πγ
2
h, но в то же время объем
внешнего гравитационного поля сокращается до 4πγ. Совершение работы над системой должно увеличивать энергию поля, однако это происходит
одновременно с уменьшением объема, занимаемого этим полем. Напряженность поля во внешнем объеме остается равной 4πγ, так что если увеличение энергии приводит к уменьшению объема поля, то плотность энергии
гравитационного поля должна быть отрицательной. Работа, направленная
на уменьшение объема поля на одну единицу длины, равна W/h,откуда
следует, что плотность энергии составляет −Z
2
/8π.
Что касается натяжения в поле Z, получается, что мы можем говорить
о суммарном давлении, действующем на листы с обеих сторон и направлен-
6.5. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 79
ном внутрь. Памятуя об отрицательной плотности энергии, запишем тензор
напряжений как
M
ij
=+
Z
8π
2
Z
δ
iZj
4π
,
−
ij
где присутствуют отрицательное изотропное давление и отрицательное натяжение (сжимающая сила) вдоль поля. Именно главенство отрицательного
натяжения, т. е. давления, во внешних полях притягивает друг к другу два
наших листа. Сжатие вдоль поля могло бы сделать это поле неустойчивым
к перекосу, если бы не изотропное отрицательное давление, которое в данном случае выступает в роли противовеса.
В общем, гравитационное поле, с присущей ему отрицательной энергией, не так-то просто представить в виде реальной физической сущности,
подобной электрическому или магнитному полям. Так называемое гравитационное ускорение свободно падающего объекта лучше характеризовать
как проявление падения пространства внутрь (Misner et al. 1973), но не
как силовое поле типа E или B. Таким образом, хотя и электромагнитное,
и гравитационное поля подчиняются тождественному квадратичному закону, между ними существует ряд фундаментальных отличий.
Возвращаясь к обсуждению разных систем единиц, идеальной можно
было бы назвать систему, способную свести сразу несколько фундаментальных постоянных к единице. О такой системе мечтают как специалисты
по теории относительности, так и эксперты в области физики частиц и теории поля. С чисто абстрактной формальной точки зрения общую теорию
гравитации гораздо удобнее сформулировать, если гравитационную постоянную G принять равной единице, что мы и сделали, введя гравитационную массу, равную M = G
дующим шагом должно стать выражение скорости через скорость света c
(=2,9980 × 10
10
см/с), так что скорость υ примет вид β = υ/c, а скорость
1/2
m. Если двигаться в том же русле, сле-
распространения света станет равной единице. Чтобы обеспечить раздельное определение единицы длины и единицы времени, традиционно описываемых через размер Земли и длину средних солнечных суток, соответственно, а с недавних пор также через длину волны и период спектральных
линий некоторых атомов, с целью обеспечения универсального стандарта
нам необходимо третье ограничение. В качестве этого условия удобно потребовать, чтобы в данной системе единиц постоянная Планка h оказалась
равной 2π, в результате чего более часто используемая постоянная h/2π (¯h)
станет равной единице.
Определив таким образом единицы длины, массы и времени, посмотрим, к чему это приведет в окружающем нас классическом мире. Начнем
с выражения размерностей G, c и h через длину l, массу m ивремяt
80 ГЛАВА 6
в системе СГС, т. е.
[G]=
3
l
, [c]=
2
mt
l
, [
t
h
2π
]=
ml
2
.
t
Решая эти уравнения для l, m и t, получаем
t =
hG
2πc
,m=
3
hc
2πG
,t=
hG
2πc
1/2
.
5
Зная, что
G =6,670 × 10
c =2,998 × 10
h
=1,054 × 10
2π
−8см3
10
см/с,
−27
гсм2/с,
/гс2,
несложно показать, что искомые единицы измерения имеют вид
−33
−5
−44
см,
г,
с.
l =1,615 × 10
m =2,177 × 10
t =5,389 × 10
В роли единицы длины выступает, естественно, общеизвестная планковская
длина, а единица времени — это всего лишь время пролета планковской
длины со скоростью света. Единица массы сопоставима с массой отдельного маленького кристалла льда, одного из многих, образующих снежинки,
хотя ему-то мы по вполне понятным причинам не придаем какого-либо
фундаментального значения.
Единица силы, определенная через ньютоновский закон движения как
сила, увеличивающая скорость единичной массы на скорость света за единицу времени, огромна: 1,211× 10
5
=2πc
/Gh =0,518 × 1094г/см3. Если принять во внимание все сказанное
49
дин. Единица плотности равна m/l3=
выше, преимущества системы СГС для обыденной жизни, для коей она
и создавалась в первую очередь, вполне очевидны.
Автор уверен, что определенный интерес вызовет возможность вернуться немного назад и поинтересоваться, каким образом длина Планка,
определенная вышеописанным образом, оказывается столь мала в системе
единиц G, c, h. Определим характеристическую энергию E как mc
2
,причем
несложно показать, что она при этом равна h/2πt. Таким образом, E можно
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]