Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
НАЛОЖЕННОЕ КРУПНОМАСШТАБНОЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 191
од циклотрона. Рассмотрим случай, когда электрон изначально пребывает
в состоянии покоя во время t = −∞,тогдакакE(t)=E expεt,гдеε Ω.
Отсюда
dx
dt
=+
=+c
t
eE
dτ expετ sin Ω(t − τ )=
m
−∞
E exp εt
B(1 + ε2/Ω2)
(C.5)
.
Циклотронного движения вокруг смещающегося ведущего центра не
происходит, так что, если пренебречь слагаемыми второго порядка по ε/Ω
в сравнении с единицей, ведущий центр движется в той системе отсчета,
где нет электрического поля.
Предположим в таком случае, что электрическое поле прекращает расти в момент времени t =0, оставаясь после этого на неизменном значе-
нии E. Если вернуться к уравнению (11.9), получается, что в момент t =0
мы должны иметь Q
=0и
1
Q
=
2
cE
B(1 + ε2/Ω2).
Объединяя вышесказанное с частным интегралом (11.10) для dx/dt =0
вмоментвремениt =0, получаем
dx
dt
= c
E
1 −
B
2/Ω2
ε
1+ε2/Ω
cos Ωt.
2
При ε Ω частица находится в незначительном круговом движении относительно движущегося ведущего центра.
В заключение следует отметить, что введение электрического поля
в заданную систему отсчета ускоряет частицы до перехода в другую систему отсчета, электрическое поле в которой отсутствует, а циклотронное
движение вокруг ведущего центра в этой системе отсчета зависит от того,
насколько быстро вводится электрическое поле. Резкое его введение создает циклотронное движение, равное скорости электрического дрейфа cE/B;
медленное же введение электрического поля практически не вызывает циклотронного движения.
ПРИЛОЖЕНИЕ D
Плотность электрического заряда
в электрическом поле
В реальном мире масса электрона m мала по сравнению с массой
иона M . Так что средняя скорость всего объема плазмы v по сути равна
скорости ионов, тогда как средняя скорость электронов составляет v + u,
где u — средняя скорость проводимости электронов. Обозначим плотность
числа ионов через N в системе отсчета ионов, движущихся со скоростью v.
Тогда (если принять суммарный электрический заряд данной системы равным нулю) плотность числа электронов также равна N , если ее измерить
в системе отсчета электронов, движущихся со скоростью v + u.Следовательно, в системе отсчета, связанной с лабораторией, плотность числа
ионов N
и
Чтобы не менять знаки, предположим, что v · j > 0. Скорость проводимости электронов u направлена в сторону, примерно противоположную v,так
что |v + u|
равна
и плотность числа электронов Neзадаются уравнениями
i
1/2
N
=
i
∼
=
=
N
e
∼
N1+
=
2
=(v − u)2. Плотность результирующего заряда в таком случае
N
(1 − v2/c2)
N1+
N
1 −|v + u|
|v + u|
2c
2c
δ = e(N − i − N
eN
∼
=
−
+v · u +
c
2
v
2/c2
e
2
2
∼
)
=
∼
=
+ ...
1/2
2
+ ....
1
2
∼
=
2
u
,
(D.1)
(D.2)
(D.3)
ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 193
что полностью согласуется с уравнением (7.5), если принять, что u v.
На самом деле, при v =0остается дополнительное слагаемое u
2
/2,потому
что электроны дрейфуют с небольшой скоростью проводимости u относительно плазмы.
Чтобы получить представление о том, насколько малым может быть
отношение u/v,предположим,чтоv имеет тот же порядок, что и альфеновская скорость C = B/(4πNM )
1/2
.Предположим,чтоl представляет
характерный масштаб крупномасштабного изменения магнитного поля B,
так что ∇×B по порядку величины можно записать как B/l.Тогдаиз
закона Ампера следует, что по порядку величины
cB
4πNel
M
4πNe
c
lω
i
.
2
1/2
— частота ионной плазмы,
u = −
Таким образом,
и
2
u
2
v
2
c
=
2
l
u
=
v
по порядку величины, где ωi=(4πNe2/M )
а c/ω
— инерциальная длина иона. В таком случае обозначим тепловую
i
скорость иона, перпендикулярную напряженности магнитного поля B,через w
Следовательно, инерционная длина иона составляет c/ω
. Тогда циклотронный радиус теплового иона R равен Mw⊥c/eB.
⊥
= R(C/w⊥).
i
Таким образом, если тепловая скорость равна альфеновской скорости, то
инерциальная длина иона равна циклотронному радиусу, т.е. когда w
и v
⊥
имеют тот же общий порядок, что и альфеновская скорость, то мы имеем отношение u/v порядка R/l, а в интересующих нас крупномасштабных полях это малая величина. С другой стороны, при очень малом значении v, оказывающемся меньше скорости проводимости электронов u,
уравнение (11.14) дает точную плотность заряда, определяемую уравнением (7.5).
ПРИЛОЖЕНИЕ E
Поперечный инвариант w
Движение заряженной частицы с массой M в крупномасштабном маг-
нитном поле B сохраняет величину w
2
/B,гдеwn— скорость движения
n
2
n
/B
частицы, перпендикулярная B. Это несложно показать для стационарного
магнитного поля, отметив, что полная скорость частицы u постоянна во
времени. Следовательно, если u
— это скорость, параллельная B,то
s
2
2
u
= u
2
+ w
. (E.1)
s
n
Уравнение (9.53) можно переписать в виде
2
s
= −
w
n
dB
. (E.2)
B
ds
2
/ds = −dw
s
2
/ds,поэтому
n
d
u
ds
Всилупостоянстваu можно заключить, что du
2
уравнение (11.16) можно записать как
2
dw
n
ds
что требует пропорциональности w
2
/B остается неизменным по мере движения частицы вдоль поля.
w
n
2
w
n
=+
dB
, (E.3)
B
ds
2
напряженности B,т.е.отношение
n
Предположим тогда, что поле B остается повсеместно однородным, но
медленно изменяется во времени. Циклотронный радиус R = Mw
тоже изменяется во времени. Сила Лоренца, приложенная к частице, равна
центробежной силе Mw
2
/R, так что сила Лоренца совершает над частицей
n
c/eB(t)
n
работу dW ,равную
2
Mw
/2
n
dR, (E.4)
R
dR
= −2
. (E.5)
R
dW = −
при изменении циклотронного радиуса dR. Эта работа увеличивает кинетическую энергию Mw
2
/2 на величину
n
2
dMw
n
2
Mw
/2
n
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИНВАРИАНТ w
При R = Mwnc/eB получается, что
dw
dR
=
w
=
n
dMw
2(Mw
R
2
/B 195
n
n
dB
−
=
n
n
2
2
B
/2
/2)
dB
−
.
B
(E.6)
Объединение уравнений (11.19) и (11.20) позволяет избавиться от dR/R и
вновь получить уравнение (11.17), из которого следует, что w
2
/B посто-
n
янно в настоящем случае нестационарного поля. Изменение R выражает
то самое двумерное адиабатическое сжатие циклотронного движения, для
которого температура, т.е. w
2
, изменяется пропорционально N.
n
Изменение поля B в зависимости от расстояния s вдоль этого поля,
а также изменение поля во времени можно объединить, предположив, что
на протяжении бесконечно малого промежутка времени Δt магнитное поле
изменяется вместе с t,ноневместесs,послечегоследуетпромежуток
времени Δt, когда поле изменяется только с s. Если повторить этот двухступенчатый процесс бесконечно большое число раз за конечный период,
получится, что отношение w
2
/B инвариантно в магнитных полях, изменя-
n
ющихся как в пространстве, так и во времени.
При этом интересно отметить, что кинетический момент MRw
=(M
2
c/q)(w
2
/B) циклотронного движения вокруг ведущего центра оста-
n
=
n
ется инвариантным. Заметим также, что поток Φ внутри циклотронной орбиты равен
Φ=πR
2
B
2c2
πM
=
2
e
2
w
n
(E.7)
B
и, очевидно, инвариантен. Другими словами, орбита окружает постоянное
количество магнитного потока Φ по мере движения частицы в неоднородном нестационарном поле.
ПРИЛОЖЕНИЕ F
Блокировка потока электрического тока
Чтобы формальным образом изложить, что происходит, когда электрический ток, заданный законом Ампера (уравнение (3.2)), блокируется диэлектрическим препятствием, рассмотрим простую равномерно закрученную трубку, ось которой ориентирована вдоль оси z, как описано в разделе
11.3. Тогда, если представляет радиальное расстояние от оси этой трубки,
начальное магнитное поле задается уравнениями
=0,Bϕ= Bϕ(),Bz= Bz(). (F.1)
B
Радиальное равновесие поддерживается давлением несжимаемой жидкости.
Теперь, как описано в разделе 11.3, в момент времени t =0электропроводность «отключается» во всей области −ε<z<+ε,врезультате
чего электрический ток в этой узкой области резко падает до нуля. Азимутальное магнитное поле B
электромагнитной волны, оставляя в магнитном поле узлы при z = ±ε,как
показано на рис. 11.1b. Магнитное напряжение в этих узлах создает азимутальную скорость v
, изменение которой во времени описывается уравне-
ϕ
нием импульса
тогда как уравнения радиального и продольного импульсов принимают вид
∂v
ρ
= −
∂t
излучается в пространство в виде свободной
ϕ
∂B
B
ϕ
z
=
4π
2
B
+ B
ϕ
8π
, (F.2)
∂z
2
z
2
ρv
ϕ
+
−
2
B
ϕ
, (F.3)
4π
∂
∂
∂v
ϕ
ρ
∂t
p +
∂v
ρ
∂t
z
= −
∂
∂z
p +
2
B
ϕ
. (F.4)
8π
БЛОКИРОВКА ПОТОКА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА 197
Плотность однородной жидкости обозначается через ρ, а давление жидкости удовлетворяет закону
2
B
p +
причем ∂B
/∂z =0. Для обычной торсионной волны мы имели бы равен-
z
ство
2
(, t)=
ρv
ϕ
При этом уравнения импульса для ∂v
причем ∂v
на, распространяющаяся вдоль B
()/(4πρ)
= B
z
/∂t = ∂vz/∂t =0. Это уже известная нам торсионная вол-
1/2
.
2
+ B
ϕ
z
=const, (F.5)
8π
2
(, t)
B
ϕ
/∂t сводятся к уравнению (11.25),
ϕ
() с альфеновской скоростью C ()=
z
. (F.6)
4π
Интересующие нас волны представляют собой узлы, образованные
вточкахz = ±ε вмоментвремениt =0и распространяющиеся вдоль
закрученного пучка потока. Таким образом, при прохождении волны ранее существующее B
фронтом волны B
ся в круговое движение v
волны равно B
и v
=0впереди. Необходимо также отметить, что исходное условие рав-
ϕ
2
ϕ
() отключается, оставляя за движущимся вперед
ϕ
=0, причем магнитная энергия B
ϕ
.Тогдаρv
ϕ
2
/2 за движущимся вперед фронтом
ϕ
2
/8π преобразует-
ϕ
()/8π перед фронтом волны, тогда как Bϕ=0позади
новесия перед фронтом волны имеет вид
d
d
p +
2
B
ϕ
+ B
8π
2
z
+
B
ϕ
4π
2
=0.
Магнитные напряжения в поле B
ное движение, описываемое уравнением (11.27), заменяя направленную
внутрь магнитную силу B
лой ρv
жидкости p в направлении, перпендикулярном фронту волны. Важно, что
B
2
/ и соответствующим компенсационным изменением давления
ϕ
2
/4π и ρv
ϕ
2
/ не подвергаются взаимной аннигиляции в каждой точке,
ϕ
2
/4π направленной наружу центробежной си-
ϕ
приводят жидкость в азимуталь-
ϕ
как это происходит в обычной торсионной альфеновской волне. Другими
словами, форма фронта волны в процессе ее распространения эволюционирует вследствие скачка давления, который происходит в направлении,
перпендикулярном фронту волны. Этот эффект, безусловно, имеет второй
порядок в амплитуде волны B
,поэтомувпределеBϕ Bzлинеаризован-
ϕ
ные уравнения описывают распространение волны без какой бы то ни было
эволюции. Волна остается простым узлом, изображенным на рис. 11.1b.
198 ПРИЛОЖЕНИЕ F
Для настоящего обсуждения мы вполне обойдемся линейным случаем,
отметив только, что фронт волны на радиусе движется вперед с альфеновской скоростью
B
()
C()=±
z
(4πρ)
1/2
,
приводя жидкость в азимутальное движение v
при прохождении фронта
ϕ
волны. Это вытекает непосредственно из уравнений магнитной гидродинамики. Изначально скорость жидкости равна нулю. Затем, принимая во
внимание, что dz/dt = C() или dt = dz/C(), проинтегрируем уравнение (11.23) во времени перпендикулярно фронту волны и получим скорость
∂v
()=dt
v
ϕ
=
=
=
1
ρ
(4πρ)
(4πρ)
ϕ
=
dt
dz
B
C()
1
1/2
()
B
ϕ
1/2
dz
()
z
4
∂B
∂z
∂B
ϕ
∂z
ϕ
=
=
при прохождении фронта волны.
Азимутальное магнитное поле изначально равно B
(),априпрохож-
ϕ
дении фронта волны оно падает до нуля. Из уравнения индукции для B
несложно показать, что
в силу чего изменение B
∂B
ϕ
∂t
, перпендикулярное фронту волны, имеет вид
ϕ
= B
∂v
ϕ
,
z
∂z
ϕ
ΔB
ϕ
()=dt
= B
z
=(4πρ)
= −B
()
ϕ
∂B
dt
1/2
(),
ϕ
=
dz
C()
vϕ()|
∂v
∂z
0
C()
ϕ
=
=
БЛОКИРОВКА ПОТОКА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА 199
а это показывает, что при прохождении фронта волны азимутальное магнитное поле уменьшается от исходного значения B
() до нуля.
ϕ
Здесь важно отметить простой факт: блокирование тока порождает
торсионные волны, кинетическая энергия которых «берет верх» над магнитной энергией, связанной с начальным электрическим током. Иными словами, магнитогидродинамическая система избегает индуктивной ЭДС, которая, по аналогии с электрическим током, должна ей сопутствовать, и создает вместо нее волны. Электрический ток, который из-за препятствия уже
не может течь вдоль пучка потока, просто находит короткий путь через радиус от +I мимо центра пучка к −I на его периферии. Траектория течения
тока при этом не постоянна, как в случае электрического контура, а жидкость приводится в движение магнитными напряжениями таким образом,
который позволяет избежать электрического поля E в лабораторной системе отсчета.
Литература
Aharonov, Y. and D. Bohm 1959, Significance of electromagnetic potentials in the
quantum theory, Phys. Rev. 115, 485–491.
Alfv`en, H. 1966, Worlds and Antiworlds: Antimatter in Cosmology, W. H. Freeman, San
Francisco.
Alfv`en, H. and P. Carlquist 1967, Currents in the solar atmosphere and a theory of solar
flares, Solar Phys. 1, 220–228.
Alfv`en,H.andC.G.F¨althammer 1963, Cosmical Electrodynamics, Fundamental Prin-
ciples, Clarendon Press, Oxford, UK, pp. 195–198.
Bartlett, D. F. 1990, Conduction current and the magnetic field in a circular capacitor,
Am.J.Phys.58, 1168–1172.
Batchelor, G. К. 1967, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press,
Cambridge, UK.
Batchelor, G. K. 1971, The Theory of Homogeneous Turbulence (2nd ed.), Cambridge
University Press, Cambridge, UK.
Biskamp, D. 1986, Magnetic reconnection via current sheets, Phys. Fluids 29, 1520–1531.
Biskamp, D. and J. F. Drake 1994, Dynamics of the sawtooth collapse in Tokomak
plasmas, Phys. Rev. Lett. 73, 971–974.
Biskamp, D., E. Schwartrz, and J. F. Drake 1997, Two-fluid theory of collision-less
plasma reconnection, Phys. Plasmas 4, 1002–1009.
Biswas, T. 1988, Displacement current — a direct derivation, Am.J.Phys.56, 373–374.
Bittencourt, J. A. 1986, Fundamentals of Plasma Physics, Pergamon Press, New York,
Chap. 12.
Born, M, and E. Wolf 1975, Principles of Optics (5th ed.), Pergamon Press, Oxford, UK,
Chap. 3.
Braginsky, V. B. and V. I. Panov 1971, Verification of the equivalence of inertial and
gravitational masses, Zh. Eksp. Teor. Fiz 61, 873–879; перевод на англ. язык в Sov.
Phys. JETP 34, 464–466.
Chapman, S. 1954, The viscosity and thermal conductivity of a completely ionized gas,
Astrophys. J. 120, 151–155.
Chew, G. F. M. L. Goldberger, and F. E. Low 1956, The Boltzman equation and the one-
fluid hydromagnetic equations in the absence of collisions, Proc. R. Soc. London
Ser. A, 236, 112–118.
Drake, J. F., R. G. Kleva, and M. E. Mandt 1994, Structure of thin current layers:
implications for magnetic reconnection, Phys. Rev. Lett. 73, 1251–1252.
Drake, J. F., M. A. Shay, W. Thongthai, and M. Swisdak 2005, Production of energetic
electrons during magnetic reconnection, Phys. Rev. Lett. 94, 095001, 1–4.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]