Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДА И ПОЛЯ 31
а для получения снимков мозга с помощью магнитно-резонансной томографии голову живого человека на ограниченные промежутки времени подвергают воздействию полей порядка 10
5
Гс. Эта область медицины и биологии
нуждается в серьезных исследованиях, поскольку она играет центральную
роль в разработках магнитных экранов, способных защитить астронавтов
от воздействия космических лучей.
В силу вышесказанного, нам не остается ничего, кроме создания простых приборов для обнаружения электрических и магнитных полей в обычных условиях. Сила (отличная от гравитации), действующая на заряд q,
свидетельствует о присутствии электрического поля. Измеренная сила, обозначаемая через F, полагается равной qE и тем самым определяет вектор напряженности электрического поля E. Тогда свободно подвешенная
стрелка магнитного компаса отклоняется, совпадая с направлением локального геомагнитного поля B, а крутящий момент, действующий на стрелку, равен M × B,гдеM — магнитный момент стрелки. Таким образом,
стрелка свидетельствует о наличии магнитного поля. Зная, что диэлектрическая стрелка, равно как и металлическая (электропроводящая), поляризуется электрическим полем и поворачивается в одном направлении с ним,
можно использовать две свободно висящие стрелки, одну намагниченную,
другую — немагнитную, но диэлектрическую или электропроводящую, чтобы добиться полной уверенности в том, что получаемый отклик имеет исключительно магнитную природу, а не частично (или полностью) электростатическую.
А сейчас мы попросим читателя набраться терпения и прочесть дальнейшее повествование, каким бы знакомым оно ни было, для того, чтобы
автор мог прояснить некоторые важные моменты, в толковании которых
нередко допускаются неточности.
2.2. Определение заряда и поля
Прежде всего определим единицу измерения электрического заряда,
чтобы изложение данной темы можно было перевести на количественную
основу. Для этого рассмотрим три электрических заряда q
1,q2,q3
ные трением шелка о стеклянную палочку, трением эбонита о шерсть кошки или просто шарканьем тапочек по сухому шерстяному ковру. Из закона Кулона следует, что радиально направленная сила электростатического
отталкивания F
циональна q
, создаваемая зарядами q1и q2на расстоянии r, пропор-
12
/r2,еслиr значительно превышает диаметр любого из этих
1q2
зарядов. Следуя фундаментальному закону теоретической экономии Окка-
,создан-
32 ГЛАВА 2
ма, выберем единицу измерения заряда таким образом, чтобы коэффициент
пропорциональности равнялся единице, и запишем:
q1q
F
= e
12
где e
— это единичный вектор, направленный от q1к q2. Положение заря-
r
относительно q1определяется вектором r = err. Сила отталкивания
да q
2
возникает при q
Отметим, что сила F
> 0, а сила притяжения — при q1q2< 0.
1q2
, которую заряд q1прикладывает к заряду q2,
12
в точности равна и противоположна силе F
2
, (2.1)
r
2
r
, прикладываемой зарядом q
21
кзарядуq1, причем обе эти силы независимы от присутствия других зарядов в непосредственной близости от них. Таким образом, электростатическая сила, заданная уравнением (2.1), линейно складывается с другими
электростатическими силами. Такая линейная суперпозиция электрических
полей в вакууме является важной характеристикой электромагнитных полей, но вместе с тем она применима и к магнитным поля.
В электростатической системе СГС единичный заряд создает силу
в одну дину при его удалении на один сантиметр от равного ему заряда.
В системе МКС единицу заряда можно определить как заряд, создающий
силу в один ньютон при удалении на один метр от равного ему заряда. Полученная единица заряда в 10
и очень мала по сравнению с кулоном (она равна 3 × 10
9/2
раз превышает единицу в системе СГС,
9
электростатических единиц заряда в системе СГС). Однако в основу измерения в единицах
МКС или СИ, был положен принцип измерения заряда в кулонах. Внедрение данной точки зрения предполагает использование в уравнении (2.1)
коэффициента пропорциональности, впоследствии получившего название
диэлектрической проницаемости ε
вакуума, что весьма усложнило дан-
0
ную теорию (см. раздел 6.4).
Далее для градуирования трех неизвестных зарядов q
1,q2,q3
всистеме СГС (электростатических единиц) достаточно измерить электростатические силы в трех сочетаниях q
1q2,q2q3,q3q1
на некотором стандартном
расстоянии r. В результате, получается три независимых измерения, для
которых несложно показать, что
= ±
F
q
1
12F31
F
23
1/2
,q2= ±
F
23F12
F
1/2
31
,q3= ±
F
31F23
F
1/2
(2.2)
12
,
2
где F
ны независимо от выбора знака зарядов q
= qiqj/r2. Величины, заключенные в круглые скобки, положитель-
ij
1,q2,q3
, а знаки зарядов опреде-
ляются опытным путем в зависимости от знаков отдельных сил F
.Это,
ij
2.3. ПОНЯТИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 33
несомненно, сохраняет определенный произвол в выборе знака заряда, поскольку электростатические силы F
не меняются при смене знака всех
ij
зарядов сразу. Как уже ранее отмечалось, заряд, приобретаемый стеклянной палочкой после её трения о шелк, принято считать положительным,
т. е. электроны, переходящие со стекла на шелк, по определению, считаются обладателями отрицательного заряда.
2.3. Понятие электрического поля
На каком же этапе в нашей теме появляется электрическое поле? Из
опытов явствует, что электрические заряды прикладывают друг к другу силу, причем каждый элемент заряда действует на другой согласно закону, который описал Кулон (уравнение (2.1)). Электрическое поле возникает, когда
мы задаем вопрос, каким образом заряд q
отталкивания F
. Отметив, что данный эффект сосредоточен на заряде q
12
(который считается очень маленьким — точечным), и при увеличении расстояния r убывает, асимптотически стремясь к нулю, мы склонны считать,
что q
окружен некой «сферой влияния», чем бы она ни была. Определим
1
электрическое поле заряда q
,т.е.F12= q2bfE. Из этого следует, что электрическое поле E вточке,
к q
2
где расположен заряд q
2
как силу на единицу заряда, приложенную
1
,равно
E(r)=e
прикладывает к заряду q2силу
1
q
1
, (2.3)
r
2
r
1
где e
зом, в общем случае силы, действующие со стороны q
ны F
положение q
— единичный вектор, направленный радиально от q1. Таким обра-
r
= q2E(r12) и F13= q3E(r13), соответственно, где r12определяет
12
относительно q1,аr13— положение q3относительно q1.
2
на q2инаq3,рав-
1
Важно, что измеряемая сила F = qE, действующая на заряд q,определяет электрическое поле E на месте заряда q в системе отсчета, движущейся вместе с самим зарядом. Таким образом, если электрический заряд q подвергается действию силы (отличной от гравитационной), значит
в системе отсчета, движущейся вместе с q, существует электрическое поле. Безусловно, в иных движущихся системах отсчета существуют другие
электрические поля, но они возникают лишь вокруг тех зарядов, которые
покоятся в этих системах отсчета. Этот, на первый взгляд, тривиальный момент не всегда принимается во внимание, и обсуждение данного вопроса
в контексте проблемы частично ионизованного газа можно найти в работе
Vasyliunas and Song, (2005).
34 ГЛАВА 2
Таким образом, электрическое поле, связанное с обширным распределением заряда с плотностью δ(r), является линейной суперпозицией электрических полей бесконечно малых элементов δ(r)d
E(r)=
где подынтегральное выражение r
d3rδ(r)(r − r)
|r − r|
v
берется по объему V при δ(r),неравной
3
3
r заряда, т. е.
, (2.4)
нулю.
Несложно подсчитать полный поток электрической индукции Φ =
=dS · E, направленный вовне через замкнутую поверхность S,окружающую точечный заряд q. Совместим начало координат с точкой положения
заряда и обозначим за r расстояние до начала координат. На рисунке 2.1
изображен поток электрической индукции от точечного заряда q вбесконечном малом телесном угле dΩ. Из уравнения (2.3) следует, что если элемент площади, на который опирается угол dΩ, равен dS = r
2
dΩ,поток
электрической индукции через dΩ составит
dΦ=qdΩ. (2.5)
Поскольку полный угол равен 4π стерадианам, получим
Φ=4πq, (2.6)
вне зависимости от формы и размера окружающей поверхности S.Независимость Φ от размера окружающей поверхности означает сохранение потока электрической индукции по всему пространству между зарядами, т.е.
∇·E =0. (2.7)
Это также можно показать, вычислив ∇·E из уравнения (2.3) для поля,
создаваемого каждым элементом заряда q или dq, и используя принцип
линейной суперпозиции электрических полей. Общий поток, выходящий
через S , зависит лишь от общего заряда, содержащегося внутри S.
Отметим, что если δ(r) — это плотность заряда внутри S,то
Φ=4π
dV δ(r). (2.8)
S
Согласно теореме Гаусса, определение Φ как интеграла dS · E по поверхности S можно переписать следующим образом:
Φ=
dV ∇·E. (2.9)
S
2.4. ФИЗИЧЕСКАЯ РЕАЛЬНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 35
Рис. 2.1. Схематическое изображение радиального электрического поля, создаваемого точечным зарядом q. Показан элемент телесного угла dΩ и произвольная
окружающая поверхность S
Эти два выражения для Φ применимы ко всем поверхностям S.Отсюда,
подынтегральные выражения должны быть равны в каждой точке, и
∇·E =4πδ (2.10)
повсеместно, поскольку существуй область, где это не так, то ее попадание
на поверхность S привело бы к противоречию.
2.4. Физическая реальность электрического поля
Описав свойства электрического поля E, связанного с электрическим
зарядом, совершенно естественно задаться вопросом, является ли E всего лишь удобной математической конструкцией или оно, помимо этого,
существует и на самом деле? Ответ, безусловно, заключается в том, что
электрическое поле — это некое состояние в пространстве, представляющее локальную плотность энергии, и, следовательно, локальную плотность
массы. Кроме того, электрическое поле передает напряжения из одной области пространства в другую. Действительно, мы и начали разговор с напряжений, которые электрическое поле передает от одного заряда к другому.
Более того, электрическое поле в одной системе отсчета предполагает наличие электрического поля практически в любой другой системе отсчета,
движущейся относительно первой системы отсчета.
36 ГЛАВА 2
Для того чтобы изучить физические свойства электрического поля,
рассмотрим ряд простых смещений электрических зарядов, создающих
электрическое поле E. При перемещении зарядов совершается работа, а согласно закону сохранения энергии, энергия, связанная с работой, должна
браться из какой-то части физической вселенной. Но откуда ее взять, если
не из вновь созданного электрического поля?
Рассмотрим два расположенных на расстоянии h друг от друга параллельных листа (шириной a и длиной b) из электроизолирующего материала
с постоянной поверхностной плотностью заряда +σ на одном листе и −σ —
на другом. Поле между этими двумя листами равно E =4πσ,поскольку
полный поток электрической индукции на единицу площади равен заряду
этой площади, помноженному на 4π. Поле самого листа с плотностью заряда σ представляет собой поле напряженности 2πσ, направленное в обе
стороны от листа, см. рис. 2.2. Суперпозиция полей обоих листов создает
в пространстве между слоями поле 4πσ, в то время как за пределами этого
пространства оба поля взаимно уничтожаются, так что не остается ничего.
Каждый лист находится в поле другого, из-за чего каждый лист притягивается к другому с силой 2πσ × σ на единицу площади, что дает E
Это означает, что по полю распространяется суммарное натяжение, рав-
2
ное E
/8π.
2
/8π.
Предположим теперь, что расстояние между этими двумя листами увеличивается на некоторую малую величину Δh в сторону, противоположную
действию силы E
образом, возрастает на Δh/см
2
/8π, притягивающей их друг к другу. Объем поля, таким
2
, а работа равна Δh(E2/8π)/см2. Такой расход энергии явно приходится на только что созданное электрическое поле
вобъемеΔh, из чего следует, что плотность энергии U поля равна
2
E
U =
. (2.11)
8π
Если расстояние между листами вновь уменьшится до h,тоэтаэнергия
поля вновь перейдет в работу сил притяжения листов. Таким образом, поле
ведет себя так, словно действительно обладает этой плотностью энергии,
и, как мы уже говорили, реальность выглядит именно так, как это демонстрирует эксперимент.
Теперь, если поле обладает плотностью энергии E
ладает и плотностью массы E
2
/8πc2. Из этого следует, что у электрическо-
2
/8π, значит оно об-
го поля есть инерция, и следовательно, оно создает гравитационное поле.
В следующей главе мы увидим, что магнитное поле B имеет эквивалентную плотность массы B
2
/8πc2. Безусловно, эта эквивалентность энергии
и массы электрических и магнитных полей вполне ожидаема, поскольку
2.5. ДАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 37
Рис. 2.2. Схема электрического поля E =2πσ, направленного вовне в обоих на-
правлениях от двух плоских параллельных листов с противоположными поверхностными плотностями зарядов ±σ, расположенных на расстоянии h друг от друга
электромагнитное излучение, например, солнечный свет, как раз и состоит
лишь из магнитного и электрического поля и несомненно переносит энергию. Таким образом, энергия электрического и магнитного полей — это
реальность, которую невозможно не заметить. Позже мы приведем формальный вывод Пойнтингом плотности электромагнитной энергии и тензора напряжений из уравнений Максвелла.
Что касается физической реальности электрического поля, заметим,
в заключение, что в гипотетической вселенной магнитных монополей, упоминавшейся в конце раздела 2.1, заполняющая ее монопольная плазма была
бы привязана к крупномасштабным электрическим полям точно так же, как
магнитное поле и плазма связаны в нашей Вселенной. Поэтому электрическое поле в той вселенной было бы неотъемлемым элементом осязаемой
жидкой среды, представляющим напряжения и энергию, переносимую движениями монопольной плазмы.
2.5. Давление электрического поля
Предположим, что расстояние между двумя параллельными и противоположно заряженными листами поддерживается равным h,втовремя
как сами листы равномерно растягиваются в направлении своей длины b на
некоторую небольшую величину Δb, см. рис. 2.3. Суммарный заряд ±abσ
на каждом листе сохраняется, в силу чего плотность заряда на каждом из
них уменьшается на некоторую малую величину Δσ. Закон сохранения заряда требует выполнения следующего равенства:
a(b +Δb)(σ − Δσ)=abσ.
38 ГЛАВА 2
Отсюда, при Δb b
Δσ = σ
Рис. 2.3. Схематическое изображение равномерного расширения двух противоположно заряженных параллельных листов, увеличивающих свою длину от b до b+Δb
при сохранении суммарного заряда
Δb
. (2.12)
b
Электрическое поле между этими двумя листами уменьшается до E −
− ΔE,гдеΔE =4πΔσ. Плотность энергии составляет
U − ΔU =
(E − ΔE)
8π
2
,
откуда
=
EΔE
4π
2
E
Δb
4π
=
(2.13)
.
b
ΔU =
Суммарная энергия поля равна
2
E
(b − Δb),
8π
что на aΔbE
a(b +Δb)(U − ΔU )=a
2
/8π меньше первоначального значения abE2/8π.Понятно,
что энергия поля E была потрачена на совершение работы над механической системой в процессе увеличения длины на Δb. В таком случае очевидно, что поле создает поперечное давление P ,равное
2
E
P =
, (2.14)
8π
то есть P совершает работу aΔbP =ΔU.
Таким образом, напряжения электрического поля E,всущности,представляют собой изотропное давление E
щее по периметру поля, что дает суммарное натяжение E
2
/8π и натяжение E2/4π, действую-
2
/8π вдоль поля,
2.5. ДАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 39
как отмечалось в разделе 2.4. Все вышесказанное описывается тензором
напряжений
2
E
− δ
E
ij
8π
M
ij
причем давление отрицательно, а напряжение положительно.
Читатель может спросить, почему суммарное натяжение E
поля понимается как сумма давления −E
ло в том, что давление E
и натяжение E
2
/8π в направлении, параллельном полю, нельзя записать
в виде некоторого тензора M
2
/8π в двух измерениях, перпендикулярных полю,
, а значит нельзя построить ковариантные
ij
iEj
+
, (2.15)
4π
2
2
/8π и натяжения E2/4π.Вседе-
/8π вдоль
уравнения для равновесия электрического поля. Рассмотрим, например,
статическое равновесие поля E
параллельном E
.Обозначимчерезs — расстояние вдоль магнитной ли-
i
вточкеQ при натяжении в направлении,
i
нии, проходящей через Q. Абсолютная величина поля равна его составляющей E
Для равновесия необходимо, чтобы выполнялось равенство ∂M
, поскольку его перпендикулярная составляющая обращается в нуль.
s
/∂xj=0,
ij
или
2
E
∂E
∂
E
−
8π
∂x
i
j
4π
∂x
i
j
=0
+
(мы использовали условие бездивергентности, ∂E
/∂xj=0, в пустом про-
j
странстве). Для составляющей, действующей вдоль поля, i = s,этосводится к тривиальному тождеству
2
E
∂
s
−
8π
∂s
С другой стороны, если бы не было ничего, кроме натяжения вдоль по-
2
/8π, мы записали бы условие равновесия в виде ∂/(E2/8π)=0,аэто
ля E
∂E
E
s
s
∂s
=0.
+
4π
привело бы к заключению о том, что равновесие возможно лишь в однородном поле. Однако такое заключение противоречит экспериментальным
данным.
ГЛАВА 3
Магнитные поля
3.1. Основные положения
Магнитное поле B относится к гипотетическому магнитному заряду m, как и электрическое поле к электрическому заряду q,тоестьвыводы, полученные в прошлой главе, можно целиком и полностью перенести
в эту. Тензор напряжений магнитного поля B
зору электрических напряжений. Очевидно, что плотность энергии равна
2
B
/8π, и магнитное поле не менее реально, чем электрическое. Электри-
ческие и магнитные поля подчиняются принципу линейной суперпозиции,
так что суммарный электромагнитный тензор напряжений равен
по форме идентичен тен-
i
M
ij
= −δ
2
E
E
ij
8π
iEj
+
4π
− δ
2
B
B
ij
8π
iBj
+
, (3.1)
4π
а совокупная плотность энергии составляет
U =
E
8π
.
2
2
+ B
Как уже отмечалось ранее, судя по всему, во Вселенной нет (или почти нет)
магнитных зарядов, в силу чего возникает универсальное условие
∇·B =0.
Возможно, сейчас самое время отметить, что магнитное поле не оказывает
на электрический заряд никакого влияния. В системе отсчета, связанной
с заряженной частицей, на нее действует только электрическое поле.
В отсутствие магнитных зарядов магнитные поля проявляются исключительно во взаимодействии с электрическими токами и в связи с нестационарными электрическими полями, см. уравнение 1.6. В лабораторных
условиях статическое магнитное поле создается пропусканием через проволочную катушку электрического тока. Электродвижущая сила, вызывающая
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]