Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
10.1. МАГНИТНОЕ РАВНОВЕСИЕ 151
Отметимвтакомслучае,чтоα(r) также является мерой магнитного
крутящего момента, передаваемого вдоль поля. В простом случае, когда
контур C представляет собой небольшую окружность радиуса a,крутящий
момент Θ можно записать как
1/2
dη(ξBη− ηBξ),
1/2
Θ=
B
4π
−a
+a
+(a2−ξ2)
dξ
−(a2−ξ2)
где ξ и η — локальные декартовы координаты в плоскости, перпендикулярной B, с началом в точке заданной линии поля, причем B
координат обращаются в нуль. Разложим B
и Bηв ряд около начала ко-
ξ
и Bηвначале
ξ
ординат, пренебрегая слагаемыми третьего и более высоких порядков по ξ
и η. В результате получим
где Φ=πa
Θ=
2
B. Это отношение гласит, что момент Θ, переносимый задан-
16π
=
2
2
αΦ
2
αΦ
157,910
,
ным потоком Φ, одинаков вдоль всей линии поля. Численное выражение
коэффициента пропорциональности, безусловно, зависит от точной формы
области, для которой вычисляется крутящий момент, ибо крутящий момент
относится к квадратичным эффектам. Выбери мы квадрат со стороной 2a
и центром в начале координат, мы получили бы
где Φ=4a
2
αΦ
48π
=
Θ=
2
. Крутящий момент определяется радиусом инерции обла-
2
αΦ
157,796
,
сти, ограниченной контуром C. На самом деле, выбери мы прямоугольник с неравными сторонами, мы не смогли бы выразить крутящий момент
только лишь через α и Φ.
В заключение заметим, что хотя отношение Θ/Φ
2
является прямой
мерой α, из этого не следует, что крутящий момент, переносимый определенным пучком потока, который простирается вдоль заданной силовой
линии, остается постоянным на протяжении всего пучка потока. Это следует из того, что площадь поперечного сечения пучка потока изменяется
по всей его длине, причем так происходит практически с каждым пучком
потока при условии, что ∇×B в общем случае не равно нулю. Таким образом, необходимо понимать, что α — это мера крутящего момента, который
152 ГЛАВА 10
передается через определенное симметричное поперечное сечение повсеместно на протяжении всего поля. И это не имеет ничего общего с пучком
потока.
10.2. Вычисление равновесного поля
Рассмотрим возможный вариант вычисления итогового единственно
возможного равновесного поля, которое создается при определенном выборе ψ(x, y, kzt). К примеру, обеспечивает ли задание поля на концевой
пластине полное и единственно возможное равновесное решение в промежутке 0 <z<L? Ответ на этот вопрос будет положительным, как явствует
из того, что задание B
z>0 в восходящих степенях z:
B
(x, y, z)=Bi(x, y, 0) +
i
Вышесказанное следует из того, что составляющую уравнения равновесия (10.4) по оси x можно найти для ∂B
(x, y, 0).Составляющуюy можно аналогичным образом определить для
B
i
/∂z вточкеz =0.Составляющаяпоz дает α. Затем решим уравне-
∂B
x
ние ∇·B =0для ∂B
на слагаемые первого порядка по z. Далее, продифференцируем выражения
для ∂B
/∂z по z и получим вторые производные в точке z =0, используя
i
те же выражения для ∂B
(x, y, 0). Эту операцию можно повторить сколь угодно раз, распростра-
B
i
няя разложения по z на все порядки. Тогда получается, что, исключая сингулярности поля, полное равновесное решение, в принципе, можно распространить на всю область 0 <z<L. Аналогичным образом выстраивается
и распространяется вплоть до z =0разложение по восходящим степеням
L − z через B
(x, y, L).
i
Это, конечно же, ни в коей мере не способно помочь нам в поисках
равновесного поля, потому что мы не в состоянии описать равновесное поле ни при z =0,ниприz = L, пока не решена проблема равновесия. Нам
известно лишь поле, заданное уравнением (10.3), перед самым началом релаксации, в итоге которой возникает равновесие. Из простых физических
соображений нам известно, что из поля, описанного уравнением (10.3), вытекает единственно возможное итоговое поле равновесия. Таким образом,
информация, определяющая итоговое поле равновесия, некоторым образом
(x, y, 0) на z =0позволяет выразить Biпри любых
i
∂B
i
∂z
/∂z вточкеz =0. Это сопряжено с разложением
z
/∂z, чтобы вновь выразить все величины через
i
z +
0
/∂z вточкеz =0, задающей
y
∂
∂z
2
B
2
i
z
2
+ ....
2!
0
10.3. РАВНОВЕСИЕ В ВЫТЯНУТОМ ПОЛЕ 153
переходит в процессе релаксации из уравнения (10.3) в уравнение (10.4).
Единственное, что сохраняется в процессе релаксации, — топология переплетения линий поля. Таким образом, очевидно, что важная информация
содержится в топологии линий поля. Линии поля, безусловно, представляют собой семейство вещественных характеристик, поэтому итоговое равновесное поле в некотором смысле определяется топологией вещественных
характеристик. В этом и заключается базовая природа математики равновесного поля. Топология вещественных характеристик итогового равновесного решения уравнения (10.4) тождественна топологии магнитного поля
уравнения (10.3). Этот факт, а именно, что инвариантная топология переплетения является важной определяющей особенностью итогового равновесия, играет центральную роль в обсуждении, которое приводится в следующем разделе.
10.3. Равновесие в вытянутом поле
Подойдем к рассматриваемому вопросу с другой стороны. Важные
особенности топологии линий поля сохраняются, если область поля растянуть с помощью большого коэффициента Q 1 в направлении z.Таким образом, мы вводим отображение растяжения, которое претерпевает
каждая точка z при переходе в новую координату Z(z),гдеZ(z)=Q(z).
Составляющая z поля не слишком изменяется под воздействием этой операции растяжения, но две поперечные составляющие B
расширяются в Q раз, а их интенсивность уменьшается в 1/Q раз. Данная операция не превращает уравнение равновесия (10.4) в линейное, но
упрощает его вид, приводя уравнение (10.4) к более понятному уравнению
гидродинамической завихренности в двумерном потоке идеальной невязкой несжимаемой жидкости. Извлечем максимум из того, что уравнение
завихренности уже изучено «от и до».
Предположим, что l — характерный масштаб изменения начального
поля уравнения (10.3) в каждом из трех направлений x, y и z.Тогдапосле
растяжения характерный масштаб в направлении z равен Ql, в то время как
поперечный масштаб (x и y) по-прежнему задается через l. Таким образом,
после растяжения градиент в направлении z записывается в виде ∂/∂Z,
а это величина малая, O(ε)∂/∂x и O(ε)∂/∂y, где для удобства мы полагаем
ε =1/Q 1. Запишем ∂/∂Z = ε∂/∂ς так, что при выражении через
новую координату ς = εZ производная ∂/∂ς имеет тот же порядок, что
и ∂/∂x и ∂/∂y. Запишем магнитное поле в виде
и By,очевидно,
x
B
= εBbx,By= εBby,Bz= B(1 + εbz), (10.9)
x
154 ГЛАВА 10
где B — напряженность исходного однородного поля, причем эта величина
остается полезной мерой поля. Коэффициент скручивания α вытягивается
вдоль поля в направлении z и сводится к той же степени, что и поперечные
составляющие поля, в силу чего мы записываем α = εa.Составляющие
уравнения равновесия (10.4) принимают вид
∂b
∂ς
y
z
∂b
x
∂x
− ε
−
− ε
x
∂b
y
∂ς
∂b
z
∂x
∂b
x
∂y
∂b
+
∂y
=+εab
=+εab
x
y
= a(1 + εb
y
= O(ε
2
, (10.10)
, (10.11)
). (10.12)
z
мала O(ε) по срав-
z
). (10.13)
∂b
∂y
ε
∂b
∂x
Из уравнений (10.10) и (10.11) явствует, что величина b
нению с b
и by. Таким образом, условие ∇·B =0сводится к уравнению
x
Если пренебречь слагаемыми второго порядка по ε по сравнению с единицей, то b
и byможно выразить через функцию потока θ(x, y, ς):
x
b
x
=+
∂θ
,b
∂y
y
= −
∂θ
. (10.14)
∂x
Уравнение (10.12) принимает вид
2
θ
∂
+
. (10.15)
2
∂y
a = −
2
θ
∂
2
∂x
Продифференцируем уравнение (10.10) по y, а уравнение (10.11) по x.Вычтем второе уравнение из первого и получим
∂
∂x
2
2
b
2
b
∂
z
z
+
∂y
2
=+ε
∂
∂x
∂θ
a
∂x
∂
+
∂y
∂θ
a
∂y
(10.16)
при использовании уравнения (10.15) для исключения θ, выраженной через a. В итоге уравнение (10.6) принимает вид
∂a
∂ς
=
∂θ
∂x∂a∂y
−
∂θ
. (10.17)
∂y∂a∂x
10.3. РАВНОВЕСИЕ В ВЫТЯНУТОМ ПОЛЕ 155
Уравнения (10.15) и (10.17) в совокупности дают одно нелинейное уравнение для θ в частных производных.
Однако еще важнее то, что уравнения (10.14), (10.15) и (10.17) по виду
тождественны двумерному уравнению завихренности идеальной несжимаемой невязкой жидкости. Для такой жидкости несжимаемость, ∇·v =0,
означает, что составляющие скорости можно выразить через функцию потока s(x, y, t)
v
x
=+
∂s
,v
∂y
y
= −
∂s
, (10.18)
∂x
т. е. мы получили точную копию уравнения (10.14). Таким образом, завихренность имеет вид
∂v
∂v
ω =
= −
∂x
y
−
∂
∂x
x
=(10.19)
∂y
2
s
2
2
∂
s
+
, (10.20)
2
∂y
что представляет собой аналог уравнения (10.15). Уравнение завихренности, dω/dt =0, становится
∂ω
∂t
=
∂s
∂x∂ω∂y
−
∂s
, (10.21)
∂y∂ω∂x
что абсолютно аналогично уравнению (10.17), только ω заменяет a,аt заменяет ς. Таким образом, кручение a эволюционирует с расстоянием ς,т.е.
с z, точно так же, как завихренность ω эволюционирует с течением времени t. Завихренность остается постоянной на всей протяженности мировой
линии каждого движущегося элемента жидкости, равно как остается постоянным на протяжении каждой линии поля коэффициент скручивания.
Эта аналогия важна, потому что уравнение завихренности за последнее столетие было изучено «от и до». Читателю будет полезно ознакомиться
с обзором Крайчана и Монтгомери (Kraichan and Montgomery, 1980). Так,
например, задание ω(x, y, t) в любой момент времени t = t
единственно
1
возможным образом определяет ω(x, y, t) для всех других t,равнокакизадание α(x, y, z
по всем z. Изучение уравнения завихренности показывает, что энтропия
2
ω
с течением времени постепенно каскадирует в сторону уменьшения, то-
гда как кинетическая энергия v
) на некоторой поверхности z = z1определяет α(x, y, z)
1
2
каскадирует в сторону увеличения. Нели-
нейный характер уравнения завихренности приводит к необратимости этих
156 ГЛАВА 10
каскадов. Другими словами, при изменении направления скорости на обратное, s →−s, ω →−ω, правая часть уравнения (10.21) остается неизменной,
тогда как у его левой части изменяется знак, в силу чего мы получаем уже
не уравнение завихренности. Следовательно, аналогичное уравнение магнитного равновесия (10.17) имеет те же свойства, причем решения показывают, что α
шим масштабам, тогда как энергия поперечного поля, b
2
при увеличении ς необратимым образом сдвигается к мень-
2
x
+ b
2
y
,необратимо
движется в б ´ольшую сторону.
В разделе 10.2 мы пришли к заключению, что топология переплетения
линий поля является важной определяющей особенностью равновесия. Топология линий поля сохраняется при релаксации, ведущей к равновесию,
и единственно возможным образом определяет конфигурацию итогового
уникального равновесного поля. Отметим, что, согласно уравнению завихренности (10.21), топология бурлящей струи потока в любой заданный момент времени t
определяет последовательные водовороты на всем пути
1
вплоть до t = ∞. Точно так же бурлящая топологическая струя переплетения линий поля на любом заданном уровне ς
определяет следующие друг
1
за другом переплетающиеся струи вплоть до ς = L.
Противоречие между физикой и математическими решениями состоит в том, что переплетение поля, изначально введенное с помощью
ψ(x, y, kzt), в общем случае представляет собой последовательность независимых и несвязанных друг с другом струй бурления в поле. Мы не можем говорить о систематической эволюции струй бурления при увеличении ς, поскольку мы не выбираем ψ(x, y, kzt) именно с такими особыми
свойствами эволюции. Но не ст´оит забывать, что в природе статистические
свойства переплетений линий поля неизменны на протяжении всего промежутка 0 <z<L.
Таким образом, в заключение отметим, что переплетение линий поля,
введенное функцией ψ(x, y, kzt), не имеет особого эволюционного вида решений уравнения (10.17). С другой стороны, все линии поля связаны в точках z =0и z = L, в силу чего простая физика постоянного соединения
линий магнитного поля гарантирует существование устойчивого равновесия, т. е. наименьшее возможное энергетическое состояние поля, для любой
и каждой из последовательных несвязанных струй переплетения линий поля, которые можно описать с помощью функции ψ(x, y, kzt). С другой стороны, уравнение равновесия (10.17) не имеет решений, которые удовлетворяли бы этим произвольным последовательностям струй переплетения
впромежутке0 <z <L. Так что же нам теперь делать? Как уже было
отмечено, в природе противоречий не бывает. Так в чем же мы ошиблись
в своем теоретическом походе к данной задаче?
10.4. РАЗРЕШАЯ ПРОТИВОРЕЧИЯ 157
10.4. Разрешая противоречия
Ошибкой в описании возникновения равновесного поля стало традиционное, но избыточное допущение о повсеместной непрерывности этого поля. Мы только что видели, каким образом это допущение приводит
к качественному противоречию в отношении топологий переплетения линий магнитного поля. Невинное допущение непрерывности заставляет нас
принять универсальное ограничение уравнения (10.6), которое гласит, что
локальное движение поля вокруг его усредненного направления одинаково
для каждой отдельной линии поля и не зависит от того, как эта линия поля
движется вокруг соседних с нею линий от одной струи бурления к другой. В разделе 10.1 (Parker, 1972) мы отметили, что вышесказанное должно
приводить к противоречиям, потому что заданная линия поля может перенестись в одном водовороте в одну сторону, а в другом из множества несвязанных друг с другом водоворотов, расположенных по всей линии поля, —
в другую. Допустим тогда возможность существования поверхностей тангенциального разрыва (ТР), т.е. токовых слоев, в равновесном магнитном
поле, изображенном на рис. 10.1. Абсолютная величина и давление этого
поля непрерывны на поверхности ТР, но направление его вектора напряженности резко изменяется на некоторый угол ϑ. Тангенциальный разрыв
разрешен семейством вещественных характеристик, т. е. линий поля, на которых задание направления вектора этого поля на заданной линии поля не
ограничивает его направление на соседних линиях.
Вопрос состоит в том, способен ли тангенциальный разрыв освободить нас от ограничений уравнения (10.6), чтобы решение уравнения равновесия (10.4) удовлетворяло топологии линий поля, введенной произвольным бурлением ψ(x, y, kzt). Важно, что поверхность тангенциального разрыва — это поверхность соприкосновения двух областей сплошного поля
с каждой из сторон. Ни поле B,ни∇×B на поверхности ТР не определены. Следовательно, на этой поверхности не применимы уравнения (10.4)
и (10.6). Сдвиг или скручивание по поверхности ТР, описанные углом ϑ,
уравнением (10.6) при этом не ограничены. Следовательно, любой сдвиг
поля, которого требует переплетение линий поля, но который несовместим
с уравнением (10.6), уравновешивается формированием поверхности ТР.
Тогда необходимо подчеркнуть, что поверхность ТР позволяет обойти необходимость использования уравнения (10.6), поскольку ТР — это самая настоящая математическая сингулярность, в силу чего вектор B на поверхности ТР не определен (Parker, 1972, 1994). Другими словами, связанный
с этой поверхностью токовый слой характеризуется бесконечной силой,
а его толщина стремится к нулю.
158 ГЛАВА 10
При условии существования итогового полного равновесия можно заключить, что релаксация, ведущая к равновесию, является асимптотическим процессом. Самое продолжительное из возможных характерное время
релаксации равно L/C,гдеC — альфеновская скорость в усредненном поле B. В процессе релаксации максвелловские напряжения магнитного поля
толкают жидкость таким образом, чтобы увеличить угол наклона градиента поля в направлении, перпендикулярном зарождающейся поверхности ТР.
Это и есть явление быстрого пересоединения, при котором градиент поля
становится настолько крутым, что резистивная (или любая другая) диссипация, сколь бы слаба она ни была, способна «поглотить» и пересоединить
поле настолько быстро, насколько максвелловские напряжения увеличат
угол наклона градиента. Таким образом, в реальном мире магнитное поле
оказывается в состоянии непрерывного диссипативного почти-равновесия.
Скорость диссипации магнитной энергии в тепло не ограничена огромным
временем пассивной резистивной диссипации l
характерном большом масштабе l. Она, скорее, определяется динамикой
жидкости, направляемой максвелловскими напряжениями неравновесного
магнитного поля к формированию ТР, о котором более подробно мы поговорим в разделе 10.6. Таким образом, магнитное поле, подверженное
непрерывному конвективному переплетению своих линий в конечном итоге должно достигнуть предельного состояния, при котором скорость диссипации магнитной энергии в зарождающейся поверхности ТР равна скорости, с которой конвективное бурление поля выполняет над этим полем
работу.
Далее нельзя не отметить, что изначально общая теорема о том, что
нечеткая топология поля приводит к возникновению поверхностей тангенциального разрыва (см. Van Ballegooijen, 1985, и обсуждение в Low, 1990),
была воспринята с изрядной долей скепсиса. Однако это базовое сингулярное условие, судя по всему, математически неизбежно. Кроме того, появляются все новые и новые данные наблюдений, которые свидетельствуют
в пользу того, что эта теорема работает в солнечной короне, излучающей
рентгеновские лучи. Этот момент вкратце изложен в конце раздела (10.6).
В силу вышесказанного мы полагаем, что данная теорема работает в магнитных полях других звезд.
2
/η дляполявцеломпри
10.5. Формирование поверхностей тангенциального
разрыва
Каким образом формируется тангенциальный разрыв? Как линии поля проходят сквозь область с нечеткой топологией? Чтобы ответить на эти
10.5. ФОРМИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО РАЗРЫВА 159
вопросы, обратимся к оптической аналогии (Parker, 1989a, b, 1991, 1994),
описанной в пятой главе уравнениями (4.3)–(4.11). Оптическая аналогия
гласит, что линия поля в потенциальном поле (∇×B =0)движется
по тому же пути, что и оптический луч при коэффициенте преломления,
пропорциональном величине |B| поля. Рассмотрим произвольную поверхность потока в поле, описанном уравнением равновесия (10.4). Проведем
через поле произвольную непрерывную кривую H . Линии поля, пересекающие H , образуют поверхность, обыкновенно называемую поверхностью
потока. Поверхность потока представляет собой двумерное пространство.
Как правило, это пространство не плоское, т. е. обычно оно неевклидово,
но необходимо отметить, что поле в трех измерениях, удовлетворяющее
уравнению (10.4), является потенциальным полем на любой двумерной поверхности потока. Поскольку двумерное поле имеет нестремящийся к нулю ротор, этот ротор будет перпендикулярен поверхности потока. Согласно
уравнению (10.4), векторное произведение ∇×B параллельно B на поверхности потока. Перпендикулярной составляющей у ∇×B нет. Таким
образом, поле на поверхности потока не имеет ротора и может быть представлено скалярным потенциалом. Оптическая аналогия здесь вполне применима, поэтому можно утверждать, что линия поля, связывающая точку 1
с точкой 2, совпадает с траекторией на поверхности потока, минимизирующей интеграл от |B|, взятый от точки 1 до точки 2.
Рассмотрим действие локального максимума абсолютной величины
поля в некотором месте траектории, соединяющей точки 1 и 2. На рис. 10.2
представлена схема локальной усиленной величины поля ΔB над окружающим полем B с размерами w и l. Локальный максимум отстоит на расстоянии λ
разделяет расстояние λ
от точки 1 и на расстоянии λ2от точки 2, так что точки 1 и 2
1
.Предположим,чтоw, l λ1,λ2. Линия поля,
1+λ2
или траектория луча, может либо пройти кратчайшим путем через вершину
максимума, либо обойти его вокруг с одной стороны, чтобы избежать увеличенного значения напряженности. Прохождение по верху добавит к интегралу от |B| слагаемое 2l ΔB, тогда как обход сбоку не связан с прибавлением ΔB, но зато увеличивает общую длину пути на w
2
(1/λ1+1/λ2)/2.
Если величина l ΔB достаточно велика, то обход сбоку минимизирует интеграл от |B|. Это имеет место для
ΔB
|B|
2
w
2l
1
λ
1
>
1
+
, (10.22)
λ
2
поскольку эта величина мала по сравнению с единицей при w, l λ
В простом случае, когда λ
= λ2и w = l, этот критерий сводится
1
1,λ2
.
160 ГЛАВА 10
к неравенству
ΔB
|B|
Рис. 10.2. Схематическое изображение возможных минимальных траекторий линии
поля, связывающей точки 1 и 2, при наличии локализованного максимума абсолютной величины поля, расположенного между конечными точками 1 и 2
w
1. (10.23)
>
λ
1
Небольшого увеличения напряженности поля достаточно, чтобы исключить линию поля из локального максимума ΔB. Таким образом, линии
поля избегают ΔB, создавая разрыв на поверхности потока. На самом деле,
локальное значение ΔB создает разрыв в пластине поля конечной толщины, схематически изображенной на рис. 10.3. Необходимо отметить, что
магнитные поля на каждой из сторон пластины сжимают этот разрыв. Два
этих поля обычно не параллельны, поэтому они создают тангенциальный
разрыв на поверхности, где они и соприкасаются через этот разрыв.
Рис. 10.3. Схематическое изображение разрыва в пластине магнитного поля, созданного локальным максимумом давления в полях на каждой стороне от разрыва
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]