Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
9.8. ИЗМЕНЯЮЩЕЕСЯ ВО ВРЕМЕНИ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ 141
увеличивается и средняя общая скорость, потому что частицы с б ´ольшим
углом падения, а значит с меньшей скоростью v
, вновь отражаются от
s
области с б´ольшим значением B.
В качестве последнего замечания предположим, что функция распре-
деления F (s, θ, t) имеет вид f (s)sin
α
θ при условии тепловой изотропности
для α =1. Тогда из уравнения Больцмана следует, что
df
ds
+
α − 1
2
f
dB
=0,
B
ds
откуда
f(s) ∝ B(s)
(1−α)/2
. (9.65)
Таким образом, в случае изотропности зеркальная сила и сходящееся поле
находятся в равновесии, а плотность частиц f (s) однородна на протяжении
всего поля. С другой стороны, когда преобладают тепловые скорости, перпендикулярные полю, то α>1, и плотность уходит в область поля с более
высокой напряженностью. Отметим еще раз, что эта ситуация (p
>pn)
s
иногда возникает в солнечном ветре, предположительно вследствие селективного волнового нагрева w
в плазме. Вблизи земной орбиты, напротив,
n
основное расширение солнечного ветра относительно примерно радиального магнитного поля происходит в двух нерадиальных (поперечных) направлениях. Следовательно, в отсутствие значительного волнового нагревания
p
>pn,всилучегоα<1, и плотность частиц увеличивается в области
s
поля с более высокой напряженностью, потому что действие сходящихся
полевых линий преобладает над зеркальной силой.
9.8. Изменяющееся во времени магнитное поле
Рассмотрим теперь изменения psи pnв присутствии неоднородного
объемного движения в нестационарном магнитном поле. Для этого необходимо найти разрешимые уравнения для p
и vn. Обычно предпринимается попытка решить уравнение Больц-
B, v
s
мана одновременно с уравнениями Максвелла. Однако успешное продвижение в этом направлении сильно ограничено математической сложностью
(см. Wu 1966). Мы полагаем, что в духе наших «бесед» гораздо полезнее
будет рассмотреть бесстолкновительный случай в рамках дважды адиабатического формализма Чу–Голдбергера–Лоу (Chew–Goldbereger–Low, 1956)
для вычисления p
и pnв плазме, отличающейся большей или меньшей
s
изотермальностью.
и pn, выраженные через N,
s
142 ГЛАВА 9
Представьте ион или электрон, движущийся параллельно линии крупномасштабного магнитного поля B(s), которое очень медленно изменяется
во времени. На ум сразу приходит несколько инвариантных величин. Вопервых, это поперечный инвариант
2
w
(s)
n
= const,
B(s)
представленный в приложении E. Теперь представьте, что эта частица свободно движется вдоль поля на расстояния, сравнимые с характерным масштабом l магнитного поля. Само поле значительно изменяется в масштабе l, поэтому вполне разумно предположить, что происходит зеркальное
отражение частицы, причем к частицам, отражаемым взад и вперед вдоль
магнитного поля относительно длины l рассматриваемой области, применим продольный инвариант, т. е.
lw
= const.
s
Пучок потока с площадью поперечного сечения A(s) удовлетворяет инварианту потока
B(s)A(s)=const,
параллельному полю. Закон сохранения частиц требует существования
некоторого произвольного отношения типа
N(s)A(s)l = const.
С помощью этих четырех отношений избавимся от l и A(s).Помня,что
1
p
=
n
2
постоянны в каждом пучке потока, т.е.
Поскольку два этих выражения для p
NMw
2
,аps= NMw
n
dp
n
=
dt
2
, несложно показать, что pn/N B и psB2/N
s
dt
3
d
N
. (9.66)
2
B
d
dt
NB,
dp
s
=
dt
и psзависят от условий вдоль дли-
n
3
ны l, они в общем случае неприменимы к отдельной точке. Они выражают усредненные условия, существующие в поле. Поэтому можно сказать,
что даны они исключительно для общего сведения. Биттенкурт (Bittencourt
1986, стр. 314–319) приводит более подробный вывод этих двух выражений и описывает некоторые элементарные способы их применения к однои двумерному сжатию. В результате он получает наше уравнение (8.18) для
9.9. КОММЕНТАРИИ 143
одномерного сжатия и уравнение (8.22) с τ1= τ2, τ3= ∞ для изотропного
двумерного сжатия.
Как мы уже отмечали, формально правильный подход заключается
в том, чтобы рассмотреть в контексте кинетики плазмы задачу, которая в общем случае является нерешаемой и может использоваться исключительно
в простейших случаях. В правильном решении несомненно присутствует
затухание волн сжатия Ланадау.
Теперь мы можем продвинуться еще на один шаг в рамках дважды
адиабатического процесса Чу, Голдбергера и Лоу и рассмотреть последствия столкновений частиц и волнового рассеяния. Слагаемое, которое отвечает за линейное рассеяние, можно ввести для выражения столкновительной тенденции в направлении тепловой изотропности, что даст
NB +
3
N
2
B
p
s
n
, (9.67)
τ
− p
p
s
n
−
, (9.68)
τ
dp
dt
dp
dt
s
n
d
=
dt
d
=
dt
− p
где τ — характерное время рассеяния. Волновое рассеяние можно ввести аналогичным образом, причем оно способно принимать самые разные
формы в зависимости от природы волн. Например, возможно как простое
стремление к тепловой изотропности, так и доминирующее увеличение p
как в солнечном ветре.
В целом, необходимо отметить, что частицы рассеиваются в результате кулоновских столкновений с другими частицами, локальными волнами,
возникающими из-за тепловой анизотропии, а также волнами, которые приходят в рассматриваемую область откуда-то извне. В силу вышесказанного
степень анизотропии тепловых движений зачастую невозможно вычислить
с какой бы то ни было определенностью. Поэтому на практике мы изучаем простые модели, которые позволяют исследовать теоретические возможности, начиная с базовых случаев тепловой изотропности и скалярного давления. При этом мы ожидаем, что в большинстве случаев фактическая степень анизотропии не будет преобладать над основной динамикой
сколько-нибудь значимым образом.
,
n
9.9. Комментарии
Итак, посмотрим, куда завела нас беседа в ходе исследования динамики плазмы и магнитных полей в космосе. На ум приходит сразу несколько
144 ГЛАВА 9
вещей. Во-первых, еще раз проясним, когда плазма является бесстолкновительной, а когда в ней преобладают столкновения. Концепция общего
потока v в масштабе l применима, когда l имеет большое значение по
сравнению с циклотронным радиусом теплового иона и его инерциальной длиной. Масштаб l задает характерное динамическое время l/v,которое может быть длинным или коротким по сравнению с характерным
временем, за которое кулоновские столкновения между частицами, а также корпускулярно-волновое рассеяние приводят плазму в состояние тепловой изотропности. Если l/v невелико, то мы имеем дело с бесстолкновительной плазмой. В этом случае динамика будет в общих чертах совпадать
с описанной в предыдущих разделах. Если данное отношение больше, то
принято считать, что в такой плазме преобладают столкновения, а ее динамическое поведение можно приблизить с помощью простого скалярного
давления p, описанного уже известным нам уравнением энергии (8.46). На
следующем уровне исследования используется изотропная модель, которая позволяет оценить степень тепловой анизотропии и суммарный приток тепла от корпускулярно-волнового рассеяния, что можно сделать только в той степени, в которой изучена неустойчивость плазмы и волновой
спектр. Солнечный ветер в космическом пространстве на расстоянии одной
астрономической единицы служит примером плазмы, которая не является ни полностью столкновительной, ни абсолютно бесстолкновительной.
Высокая температура ионов, причем иногда p
бывает не меньше, чем ps,
n
и обе величины намного превышают расчетные адиабатические значения,
свидетельствует о важности распределенного притока тепла. Дважды адиабатический подход Чу–Голдбергера–Лоу используется в данном случае в качестве общей диагностики, поскольку позволяет получить некоторое представление об изменении тепловой анизотропии на основе одного лишь движения плазмы. Затем следует отметить, что приток тепла содержит волны,
генерированные вблизи Солнца, возможно, и в его короне, так что задача
утрачивает локальность. Взаимодействие солнечного ветра с магнитосферами планет управляет общей конвекцией магнитосфер, которая представляет собой еще одну нелокальную задачу, в значительной степени зависящую от состояния плазмы и магнитного поля ветра, проносящегося через
магнитосферу, а также фактического динамического трения и тяги, через
которые ветер воздействует на магнитосферу. Таким образом, конвекции
противостоят трение и тяга, которую диэлектрическая атмосфера прикладывает к основанию конвективной магнитосферы.
Любопытно, что крупномасштабные магнитные поля в космосе, описанные линейным уравнением индукции (9.2), имеют столь сложную динамику из-за взаимодействия с электропроводящей плазмой. Основной объем
9.9. КОММЕНТАРИИ 145
сложности определяется именно плазмой, но при этом квадратичная форма
тензора напряжений Максвелла для магнитного поля вводит целый новый
мир гидродинамики. Такие явления, как быстрое пересоединение, северное
сияние, волокнистая структура магнитных полей на поверхности Солнца,
расширяющаяся солнечная корона и солнечный ветер, магнитные бури на
Земле и ускорение частиц при быстром пересоединении и во фронтах ударной волны, — вытекают непосредственно из динамики, создаваемой магнитными полями в плазме. Таким образом, ясно, что сейчас самое время исследовать один из более экзотических аспектов тензора напряжений Максвелла, ответственный за быстрое пересоединение магнитного поля в зарождающихся сингулярностях, которые образуются в нечеткой топологии линий
магнитного поля, возникающего в хаотической Вселенной.
ГЛАВА 10
Необычные свойства тензора натяжений
Максвелла
10.1. Магнитное равновесие
Итак, мы «добрались» до магнитных полей, погруженных в плазму
с высокой электропроводностью и подверженных смешению и сплетению
полевых линий, которые происходят из-за бурления плазмы. Все дело в том,
чтотензорнатяженийМаксвелла,
2
B
M
ij
= −δ
B
ij
8π
для магнитного поля с «нечеткой» топологией полевых линий обладает любопытным свойством, а именно: способностью создавать внутренние поверхности тангенциального разрыва, т.е. токовые слои, как только магнитное поле приходит в состояние равновесия (Parker, 1972). Таким образом,
в то время как динамическое бурление магнитного поля определяет крупномасштабную длину перемешивания l, магнитные натяжения, действуя
в одиночку, приводят к беспредельному росту крутизны градиентов магнитного поля, когда поле приходит в состояние максимально низкой энергии.
Для пущей ясности рассмотрим однородное магнитное поле B, расположенное в направлении z от z =0до z = L в идеальной несжимаемой
жидкости с бесконечной проводимостью. В точке z =0имеется жесткая
концевая пластинка с бесконечной электропроводностью, на которой магнитное поле не изменяется никогда. Концевая пластинка в точке z = L тоже
обладает бесконечной электропроводностью, но она подвергается произвольному несжимаемому двумерному механическому отображению в своей
собственной плоскости. В момент времени t =0мы включаем произвольное двумерное движение жидкости
iBj
+
, (10.1)
4π
v
x
=+kz
∂ψ
∂y
,v
y
= −kz
∂ψ
∂x
,v
=0, (10.2)
z
10.1. МАГНИТНОЕ РАВНОВЕСИЕ 147
задействующее концевую пластинку в точке z = L,гдеψ = ψ(x, y, kzt).
Предположим, что ψ(x, y, kzt) — это произвольно ограниченная, непрерывная, гладкая n-дифференцируемая функция каждого из ее аргументов. Другими словами, ψ представляет собой произвольно сложную функцию ее
аргументов с четким поведением. Из уравнения (10.2) видно, что v
и v
x
выражают произвольное закручивание плазмы с движением, которое подается в точке z = L и с течением времени распространяется вниз в область
0 <z<L. На рис. 10.1 представлено сплетение полевых линий по истече-
нии некоторого времени t, когда поле имеет вид (Parker, 1986)
y
B
x
=+Bkt
∂ψ
∂y
,B
y
= −Bkt
∂ψ
∂x
,B
= B. (10.3)
z
По истечении времени t = τ движение жидкости прекращается, и концевая
пластина в точке z = L удерживается в неподвижном состоянии, пока вся
жидкость из области 0 <z<Lне будет выпущена наружу, после чего
поле сможет прийти в состояние с минимально возможной энергией при
существующей застывшей топологии магнитного поля. Давление жидкости p остается постоянным и равномерным на обеих концевых пластинах,
в силу чего давление p остается равномерным на протяжении всей области 0 <z<L. Мы также добавляем некоторую вязкость для диссипации
движений жидкости, чтобы добиться конечного времени релаксации магнитного поля.
Теперь оба конца поля соединены с конечными пластинами в точках
z =0и z = L, а само поле погружено в бесконечно проводящую жидкость
на протяжении всей области 0 <z<L, так что линии поля не разрываются
и не пересоединяются. При этом состояние энергии данного поля, безусловно, является минимально возможным, т.е. достигнуто устойчивое равновесие. Ясно и то, что переплетение линий поля, которое происходит из-за
ψ(x, y, kzt), является произвольным и подвержено неограниченным ослож-
нениям, а именно: различным произвольным типам переплетения и нечеткостиповсейдлинеL поля. Эта длина L может быть выбрана сколь угодно большой с любым числом последовательных типов переплетения вдоль
вектора напряженности этого поля, потому что переплетение представляет
собой лишь способ установления движения жидкости.
Любопытное свойство M
тематические свойства условия равновесия, ∂M
проявляет себя, когда оказывается, что ма-
ij
/∂xj=0, не могут при-
ij
способиться к произвольному переплетению линий поля. На первый взгляд,
мы получаем противоречие. Но в природе противоречий не бывает. Противоречия возникают исключительно тогда, когда теоретик сделал неоправданное допущение. Таким образом, следующий шаг заключается в том,
148 ГЛАВА 10
Рис. 10.1. Схематичное изображение переплетенных линий магнитного поля (уравнение (10.3)), созданного из вначале однородного магнитного поля B несжимаемым
бурлением плазмы, описанным уравнением (10.2)
чтобы определить, на каком этапе исследования была допущена ошибка.
Ответ, конечно же, состоит в том, что мы имели смелость предположить,
будто конечная конфигурация поля равновесия непрерывна повсюду. Такое
предположение накладывает чрезмерно строгие ограничения на математическую составляющую нашей задачи вплоть до того, что для переплетения почти всех линий поля не существует аналитических решений. Введение разрывов в виде поверхностей тангенциального разрыва (т. е. токовых
слоев) дает дополнительную степень свободы для математики и позволяет встроить в эту схему произвольное переплетение линий поля. Отсюда
следует, что состояние равновесия для почти всех топологий линий поля
содержит поверхности тангенциального разрыва.
Если рассуждать последовательно, то равномерное давление жидкости
означает, что магнитные натяжения находятся в равновесии сами с собой,
2
так что натяжение B
/4π вдоль изгибающихся линий поля уравновешивает
градиент изотропного давления B
ввиде
(∇×B) × B =0,
∂M
ij
=0,
∂x
j
2
/8π. Это условие также можно записать
10.1. МАГНИТНОЕ РАВНОВЕСИЕ 149
так что баланс натяжения–давления выражается уравнением
2
(B ·∇)B
B
∇
8π
=
4π
.
Следовательно, общее условие, которое накладывается на B, имеет вид
∇×B = α(r)B, (10.4)
где коэффициент «скручивания» α(r) представляет собой некоторую скалярную функцию положения.
Во-первых, необходимо отметить, что уравнение (10.4) не является линейным уравнением для B,потомучтоα(r) зависит от B(r).Крометого,
ротор уравнения (10.4) можно записать в виде
∇2B + α2B = B ×∇α. (10.5)
Слагаемое ∇
2
B указывает на квазилинейное эллиптическое уравнение.
Другими словами, уравнение (10.4) имеет два семейства комплексных характеристик, а определение B на любой вмещающей поверхности однозначным образом определяет B во всем вмещающем объеме. Однако на
деле ситуация оказывается более сложной, и это подтверждает тот факт,
что дивергенция уравнения (10.4) принимает вид
B·∇α =0. (10.6)
Из этого уравнения следует, что коэффициент α(r) остается постоянным
вдоль каждой линии поля. Очевидно, что линии поля представляют семейство вещественных характеристик уравнения равновесия (10.4). Определение α(r) на заданной линии поля никоим образом не ограничивает α(r)
на любой соседней линии поля. Другими словами, непрерывность α(r)
от одной линии поля к другой не требуется. Таким образом, оказывается,
что уравнение равновесия не является чисто эллиптическим, и это очень
важно. Оно обладает смешанными характеристиками: двумя семействами
комплексных характеристик и одним семейством вещественных характеристик, что весьма отличает его от общеизвестных чисто эллиптических
уравнений и чисто гиперболических уравнений, в которых можно выразить
б´ольшую часть классической физики. Таким образом, мы должны понимать физические следствия незнакомых математических свойств уравнения (10.4) (см. обсуждение в книгах Parker, 1979, глава 14; Parker, 1994).
Ограничение, описанное уравнением (10.6), указывает на прямую про-
блему, а именно: коэффициент скручивания α(r) остается постоянным
150 ГЛАВА 10
вдоль каждой отдельной линии поля B на всей ее протяженности от z =0
до z = L независимо от природы сменяющих друг друга типов бурления и переплетения, через которые проходит рассматриваемая линия поля.
Правая спираль, расположенная в одном месте линии поля, должна иметь
тот же коэффициент скручивания α(r), который характеризует левую спираль, претерпевающую совершенное иное топологическое бурление в другом месте линии поля. Возможность этого соответствия далеко не очевидна,
поэтому для начала рассмотрим вкратце физический смысл коэффициента α(r).
Из уравнения (10.4) явствует, что α(r) является мерой напряженности
∇×B относительно B. Это можно выразить через локальную магнитную
циркуляцию по небольшому замкнутому контуру C , который движется вокруг любого заданного тонкого пучка потока. Эта циркуляция определяется
как
Γ ≡
ds · B.
C
С помощью теоремы Стокса это выражение превращается в интеграл, взятый по площади S, ограниченной контуром C:
Γ=
dS ·∇×B =
s
=
dS · Bα(r).
s
Если α(r) — это непрерывная функция положения r,тодлядостаточно
маленького контура C коэффициент α(r) можно приблизить его значением
на линии поля. В результате имеем
Γ=αΦ, (10.7)
где Φ — магнитный поток, проходящий через контур C:
Φ =
dS · B. (10.8)
C
Уравнение (10.7) гласит, что коэффициент α(r) выражает магнитную циркуляцию на единицу потока. Таким образом, согласно уравнению (10.4),
циркуляция на единицу потока имеет одно и то же значение повсюду, на
всем протяжении каждой линии поля.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]