Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
3.2. СВЯЗЬ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ 41
ток, является источником энергии, создающей магнитное поле, поэтому
можно сказать, что источником магнитного поля являются электродвижу-
щая сила и ток. С другой стороны, в космосе, где магнитные поля погружены в движущуюся плазму и деформируются ею, именно они и вызывают
электрический ток (см. уравнение 1.6), потому что энергия, создающая ток,
идет как раз от магнитного поля. Таким образом, величина 4πj остается
близкой к величине c∇×B, так как любое отклонение производит ∂E/∂t,
которое быстро создает E,подгоняющееj к необходимой величине. Поэтому в космосе ∂E/∂t просто обязывает крупномасштабные токи подчиняться закону Ампера
4πj = c∇×B. (3.2)
Рассматривая небольшое, но не нулевое трение между относительными
движениями электронов и ионов, обратим внимание на постоянный поток
энергии от поля к току, позволяющий поддержать ток, требуемый законом
Ампера, так что именно поле вызывает ток, а не наоборот.
Интересно, что популярная точка зрения, будто электрический ток со-
здает магнитные поля в космосе, влечет за собой еще более странную
мысль, будто электрический ток является более фундаментальной динамической переменной. Тогда, поскольку ток вызывается электрическим полем,
возникает мнение, что фундаментальными динамическими переменными
являются E и j. Как мы уже отмечали, сложность в данном случае состоит в том, что достаточно простых динамических уравнений для E и j не
существует. С динамической точки зрения ток пассивен, ибо являет собой
лишь крошечную инерцию скорости проводимости электронов, в то время как напряжения электрического поля являются малыми второго порядка
по v/c, и обычно ими можно пренебречь. Динамика системы, представляющей собой поле магнитной плазмы, управляется магнитными напряжениями, а также инерцией и давлением плазмы.
3.2. Связь с экспериментом
Реальность нашей Вселенной такова, что в лабораторных условиях
невозможно добиться магнитных зарядов, удобных для описания близкой
аналогии, существующей между свойствами электрического и магнитного
полей. Поэтому здесь мы рассмотрим более сложный, но при этом куда
более интересный путь возникновения физики магнитных полей из лабораторных экспериментов.
Связь между магнитным полем и электрическим током была впервые
замечена в 1819 году Эрстедом, поместившим стрелку компаса в непосред-
42 ГЛАВА 3
ственной близости от проволоки с током I. Стрелка компаса устанавливалась параллельно магнитному полю Земли и оставалась в этом положении
до тех пор, пока по проволоке не пускали ток. Как только ток появлялся
в проволоке, ориентация стрелки мгновенно изменялась, указывая на существование магнитного поля, связанного с электрическим током. Стрелка
компаса стала средством, позволившим отобразить магнитное поле тока.
Это открытие привело к активным поискам связи магнитного поля и электрического тока, и в 1820 году Био показал, что магнитное поле dB(r)
вточкеr, созданное бесконечно малым элементом тока dI(r
вточкеr
, задается выражением
dB(r)=K
dI(r
|r − r|
) × (r − r)
3
. (3.3)
)=I(r)ds
Впоследствии Био, Савар и Ампер провели множество лабораторных экспериментов, проверяя связь между током и полем, а также определяя коэффициент пропорциональности K. Оказывается, что в единицах СГС K
равен 1/c,гдеc — скорость света. Поэтому, учитывая, что K =1/c, уравне-
ние (3.3) можно использовать для определения единицы магнитного поля
в единицах тока.
Для непрерывного распределения плотности тока j(r
связанный с элементом объема d
3r
,должениметьвид
dI(r
)=j(r)d3r, (3.4)
) элемент тока,
что в силу действия принципа линейной суперпозиции отдельных распределений уравнения (3.3) дает
B(r)=
1
c
j(r) × (r − r)
3r
d
|r − r|
. (3.5)
3
Последняя формула известна как закон Био–Савара, описывающий магнитное поле для заданного распределения электрического тока.
3.3. Дифференциальная форма закона Ампера
Дифференциальная форма закона Ампера, описывающая электрический ток для заданного магнитного поля, без труда получается взятием
ротора от интеграла Био–Савара:
1
∇×B(r)=
d
c
3r
∇×j(r) ×
r − r
|r − r|
=
3
3.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНА АМПЕРА 43
=
1
c
+j(r
3r
d
)∇·
|r − r|
r − r
|r − r|
r − r
3
·∇j(r) − [j(r) ·∇]
3
r − r
−
|r − r|
∇·j(r), (3.6)
3
r − r
|r − r|
+
3
где используется хорошо известное векторное равенство для ротора векторного произведения. Оператор градиента ∇ действует только в точке r,вто
время как ток зависит только от r
. Таким образом, первый и четвертый
члены обращаются в ноль, в результате чего (3.6) сводится к
∇×B(r)=
1
c
3r
d
j(r
)∇·
r − r
|r − r|
− [j(r) ·∇]
3
r − r
|r − r|
3
. (3.7)
Нужно понимать, что объем, по которому берется интеграл, включает в себя
все токи, без исключения объемов, в которых j(r
) =0. Следовательно, j(r)
обращается в ноль на поверхности объема.
Далее
r − r
3
|r − r|
Таким образом, первый член в подынтегральной функции уравнения (3.7)
можно записать в виде −j(r
где δ(r − r
рования по r
) — это дельта-функция Дирака. Следовательно, после интегри-
первый член принимает вид 4πj(r).
)∇2
= −∇
|r − r|
1
. (3.8)
|r − r|−1,чторавно+4πj(r)δ(r − r),
Второй член в подынтегральном выражении уравнения (3.7) можно
преобразовать, принимая во внимание, что
где ∇
r − r
∇
|r − r|
представляет собой градиент по r. Затем, переходя к индексам, по-
= −∇
3
r − r
|r − r|
, (3.9)
3
лучаем
[j(r
) ·∇]
r − r
|r − r|
3
= −
∂x
∂
k
r − r
(r)
j
k
|r − r|
+
3
r − r
|r − r|
∂jk(r)
3
∂x
. (3.10)
k
Первый член в правой части уравнения представляет собой полную дивергенцию и, по теореме Гаусса, сводится к интегралу по поверхности. Однако
44 ГЛАВА 3
ток на поверхности, как мы уже отмечали, равен нулю, из-за чего весь этот
член обнуляется. Второй член обнуляется потому, что в силу сохранения
тока ∇·j(r)=0. Следовательно, уравнение (3.7) принимает вид
∇·B(r)=4πj(r). (3.11)
Это и есть общеизвестная дифференциальная форма закона Ампера.
Дифференциальная форма закона Ампера полностью соответствует интегральной форме Био–Савара. Отметим еще и третью форму записи этого
закона с помощью полного тока, проходящего через поверхность S,ограниченную замкнутым контуром Λ. С помощью теоремы Стокса и уравнения (3.11) криволинейный интеграл от B по замкнутому контуру можно
преобразовать в полный ток I через поверхность S.Витоге,
ds · B =
Λ
dS ·∇×B =
S
4π
=
c
S
4π
=
I.
c
dS · j =
(3.12)
Из этого следует, что криволинейный интеграл от B по любому замкнутому контуру равен произведению 4π/c на полный ток I , протекающий через
ограниченную площадь. Так, например, скрученный пучок линий тока конечного радиуса не несет суммарного тока, поскольку если магнитное поле
пучка ограничивается конечным радиусом, то за пределами оного криволинейный интеграл, взятый по полю вокруг этого пучка, обнуляется.
3.4. Энергия и давление
Разберемся теперь, что такое плотность энергии, давление и натяжение
магнитного поля для случая квазистационарного магнитного поля, созданного электрическим током по принципу, описанному в законе Ампера. Из
аналогии с электрическим полем, связанным с электрическими зарядами
и описанным уравнением (3.1), результат нам уже известен, так что будем
кратки.
Рассмотрим круговое магнитное поле между двумя концентрическими
круглыми цилиндрами радиусов a и b (a<b) и длины L ( a, b). Электри-
ческий ток I течет через внутренний цилиндр, а обратный ток −I —через
3.4. ЭНЕРГИЯ И ДАВЛЕНИЕ 45
внешний цилиндр. Цилиндры представляют собой идеальные проводники,
ограниченные идеально проводящими дисками, передающими ток с одного
цилиндра на другой. Применим закон Ампера в виде уравнения (3.12) для
круговых магнитных линий
дров. Из уравнения (3.12) следует, что 2π
ω = const, где ω — расстояние от оси цилин-
ωB(ω)=4πI/c,поэтому
ω)=
2I
. (3.13)
cω
ω = a)надли-
B(
Полный магнитный поток Φ вокруг внутреннего цилиндра (
ну L равен
b
Φ=L
=
dωB(ω)=
a
2IL
ln
c
(3.14)
b
.
a
Вычислим энергию магнитного поля. Предположим, что изначально I =0. В момент t =0возникает электродвижущая сила V (t),ипо-
является ненулевой ток I(t),приэтомзавремяt система приобретает суммарную энергию W (t),равную
t
W (t)=
dtV (t)I(t).
0
Согласно экспериментальному закону индукции Фарадея (см. главу 6),
V (t)=+(1/c)dΦ/dt, так что при помощи уравнения (3.14) получаем
t
W (t)=
=
1
2L ln b/a
2
Φ
4L ln b/a
dtΦ(t)
0
.
dΦ
dt
=
(3.15)
Сохранение энергии предполагает, что энергия уходит на создание магнитного поля, поэтому полная магнитная энергия Z(t) равна W (t).Воспользуемся уравнением (3.14),чтобывыразитьI через Φ и перепишем
уравнение (3.13) ввиде
B(
ω)=
Φ(t)
L ln(b/a)ω
. (3.16)
46 ГЛАВА 3
Квадратичность W (t) по Φ(t) свидетельствует о том, что плотность маг-
нитной энергии квадратична по B(
что плотность энергии записывается в виде QB
ω). Таким образом, если предположить,
2
(ω), можно определить
постоянную Q.Тогда
b
Z(t)=2πL
dω ωQB2(ω)=
a
2πQΦ(t)
L ln(b/a)
2
.
Сопоставив полученный результат с уравнением (3.15), мы видим, что Q =
=1/8π, а плотность энергии U магнитного поля, как мы и ожидали, равна
U =
. (3.17)
8π
2
B
Далее предположим, что прикладываемая электродвижущая сила обращается в нуль, в результате чего ток течет вдоль обоих цилиндров свободно
и неизменно, так что поле описывается уравнением (3.16).Спомощьюмеханических средств увеличим радиус b внешнего цилиндра до b +Δb.Сум-
марный магнитный поток Φ, конечно, не изменится, потому что его изменение привело бы к возникновению на пути свободно текущего электрического тока электродвижущей силы. Этот ток течет по хорошему проводнику,
из-за чего возникновение в нем ЭДС невозможно. В силу постоянства Φ,
магнитная энергия
Z =
изменяется на
ΔZ = −
2
Φ
4L ln b/a
2
Φ
Δb
(3.18)
. (3.19)
4Lb ln2b/a
Очевидно, это уменьшение энергии поля происходит из-за работы, которую
поле выполняет при увеличении радиуса цилиндра от b до b +Δb.Обозна-
чив магнитное давление в точке
ω = b через P , получим, что данная работа
равна ΔW =2πbLPΔb. Принцип сохранения энергии требует соблюдения
следующего равенства: ΔZ +ΔW =0, откуда заключаем, что магнитное
давление на расширяющемся цилиндре
ω = b равно, как и ожидалось,
2
B(b)
. (3.20)
8π
P =
8πLb2ln2b/a
2
Φ
=
Тот же результат получается при изменении внутреннего радиуса a или
длины L.
3.5. ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 47
Напряжение магнитного поля несложно вывести из равновесия между
напряжением вдоль поля на радиусе
давления B(
через Θ(
ω)2/8π. Если силу натяжения на единицу площади обозначить
ω), то направленная внутрь сила на единицу объема равна Θ(ω)/ω.
ω и радиального градиента магнитного
Сравнивая это с градиентом внешнего давления, получим
2
B(
Θ
ω
= −
= −
=+
d
dω
2
I
2πc
2
I
πc2ω
ω)
=
8π
2
dω
3
d
1
=
ω
.
Следовательно,
Θ=
I
πc2ω
2
2
B
, (3.21)
=
2
4π
как и ожидалось. Таким образом, как уже предполагалось из аналогии с напряжениями электрического поля, тензор напряжений Максвелла для магнитного поля имеет вид
2
B
M
ij
= −δ
B
ij
8π
iBj
+
. (3.22)
4π
Подобно электрическому полю, магнитное поле представляет собой энергосодержащую систему напряжений. Это реальная физическая сущность,
участвующая в инерционной и гравитационной массе системы. Не будь она
таковой, мы получили бы грандиозную проблему, а именно: энергия W (t),
потраченная на создание магнитного поля, представляла бы суммарные потери эффективной массы системы, что не вяжется с основными физическими принципами.
На физическую реальность магнитного поля можно взглянуть и с другой стороны, через МГД, где магнитное поле неразрывно связано с бурлящей плазмой, наделяя ее системой внутренних напряжений и внутренней
энергией, которая движется вместе с ней.
3.5. Измерение магнитного поля
Вернемся к вопросу о том, как обнаружить и измерить магнитное поле, который мы кратко рассмотрели в разделах 2.1 и 3.2. Мы говорили, что,
48 ГЛАВА 3
следуя примеру Эрстеда (1819 г.), магнитное поле несложно обнаружить
и измерить с помощью небольшой свободно висящей стрелки компаса.
Стрелка направляется паралельно B, и возникающий вращающий момент
для стрелки с магнитным моментом М равен M × B .
Отметим, что одновременное присутствие электрического поля E будет индуцировать в стрелке электрический дипольный момент и, следовательно, дополнительный вращающий момент. Поэтому, в принципе, чтобы
изолировать магнитную стрелку от действия окружающего E, проще всего
расположить ее в немагнитной клетке Фарадея.
Электрическое поле E в лабораторной системе отсчета мы определили путем измерения силы F, действующей на заряд q, который покоится
в системе отсчета лаборатории, и получили E = F/q (разделы 2.1 и 3.2).
Чтобы определить магнитное поле в лаборатории с помощью заряда q,начнем двигать q со скоростью v,врезультатечегонаq будет действовать
электрическое поле E
разование Лоренца определяет E
в другой системе отсчета. Нерелятивистское преоб-
как
E
= E +
v × B
c
,
то есть изменение ΔE в электрическом поле в точке q равно
ΔE =
v × B
c
,
а сила, действующая на заряд q,изменяетсяна
ΔF = qΔE =
q
=
v × B.
c
Из этого следует, что компонента напряженности магнитного поля B,перпендикулярная v,равна
c
=
qv
2
ΔF × v.
Затем измерим силу ΔF
B
⊥
, действующую на q,когдаq движется со скоро-
u
стью
B
u = v
⊥
B
⊥
3.5. ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 49
относительно лаборатории. Поскольку
q
u × B =
=
ΔF
u
c
qv
=
cB
B⊥× B,
⊥
компонента поля B
(= B − B⊥), параллельная v,равна
B
c
=
qvB
ΔFu× B⊥.
⊥
В качестве другого подхода можно было бы измерить силу, действующую на q, для разных скоростей v и определить такое направление v,для
которого ΔF =0. Такое же направление, безусловно, имеет и B,тоесть
любая скорость w, перпендикулярная этому направлению, дает силу
q
qw
c
2
w × B,
c
ΔF × w.
ΔF =
так что
B =
Излишне говорить, что существуют гораздо более удобные способы
измерения B, основанные на эффекте Зеемана и других атомных процессах.
Здесь же нас занимали только основные принципы прямого обнаружения и
измерения магнитного поля B.
Ни одно обсуждение, связанное с обнаружением магнитного поля, не
будет полным без упоминания об эффекте Ааронова–Бома (Ehrenberg and
Siday, 1949; Aharonov and Bohm, 1959; Wu and Yang, 1975;Olariuand
Popescu, 1985), который возникает благодаря «волшебству» квантовой механики. Данный эффект позволяет осуществить прямое измерение полного
магнитного потока через заданную поверхность на основе разницы в значениях некоторых интегралов, вычисленных по контурам, охватывающим
область с каждой из сторон. Точнее говоря, фаза волновой функции электрона изменяется как exp i2πS/h,где
e
S
=
h
dt φ −
h
ds · d A
,
c
если использовать интеграл действия вдоль траектории волны. Здесь
φ(r,t) — электрический потенциал, а A(r,t) — векторный потенциал,
50 ГЛАВА 3
причем B(r, t)=∇×A. Сопряженный момент равен p − eA/c,агамильтониан имеет вид
H =
(p − eA/c)
2m
2
+ eφ.
Теперь рассмотрим длинный, тонкий, плотно намотанный, открытый
на концах соленоид с током и суммарным магнитным потоком Φ. Открытые
концы соленоида настолько удалены друг от друга, что его внешнее поле
пренебрежимо мало везде вдоль средней линии соленоида. Если через dS
обозначить элемент площади поперечного сечения соленоида, то
Φ=dS · B =
=ds · A,
где B =Δ× A. Мы применили теорему Стокса, интегрируя по периферии
поперечного сечения соленоида.
В отсутствие электрического поля (ϕ =0) полный вклад в фазу от
магнитного поля равен
= −
eΦ
hc
.
S
h
Заэкранируем соленоид таким образом, чтобы моноэнергетический
электронный пучок, направленный на него, не имел возможности проникнуть внутрь магнитного поля, но свободно проходил по обе стороны соленоида. Таким образом, волновая функция электрона внутри соленоида сводится к нулю, а заэкранированный соленоид дает тень шириной d вэлектронном пучке, где d — внешний диаметр экрана, окружающего соленоид.
На большом расстоянии L от соленоида по ходу пучка расщепленный электронный пучок падает на фосфоресцирующий экран. Дифракция
электронного пучка вокруг непрозрачного соленоида создает интерференционные полосы с угловым расстоянием Δθ для близких частот, где
λ
Δθ =
,
d
а λ = h/p — длина волны де Бройля. Тогда линейное расстояние между
полосами равно LΔθ = Lλ/d.
Присутствие магнитного потока Φ в соленоиде дает дополнительную
разность фаз между двумя интерферирующими электронными пучками,
равную 2πS/h, причем ее можно менять, управляя электрическим током
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]