Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
7.5. РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЙ ЗАРЯД В ЗАКРУЧИВАЮЩЕЙСЯ ПЛАЗМЕ 91
Нам известно, что ∇×v не зависит от системы отсчета, так что с этим
слагаемым особых проблем нет. Интересный эффект дает первое слагаемое в правой части уравнения, отличное для каждой движущейся системы.
Предположим, что скорость v равномерна, так что при использовании закона Ампера, уравнение (3.11)
1
v
δ =
Тогда если u — это средняя скорость проводимости электронов относительно ионов с N электронов/см
·∇×B =
c
4π
3
,значитj = −Neu,а
Ne
δ = −
2
c
v · j
. (7.4)
2
c
v · u. (7.5)
Именно эта маленькая плотность заряда связана с радиальным электрическим полем, создающим вектор Пойнтинга, который представляет собой
поток энергии, связанный с электрическим током.
Электростатическая сила на единицу объема равна
F = δE =
Ясно, что это малая величина O(υ
e(v · j)(v × B)
16π2c
2/c2
), которой можно пренебречь по срав-
. (7.6)
3
нению с силой Лоренца j × B/c. Основной вопрос связан с плотностью
заряда δ, которая, в принципе, представляет собой измеримую физическую
величину, сколь бы мала она ни была. При этом она имеет разное значение
в разных движущихся системах отсчета. Безусловно, общее число устойчивых частиц одинаково во всех системах отсчета. Так каким же образом
разность плотности числа электронов и ионов отличается от одной системы отсчета к другой? Хорошо известный ответ состоит попросту в том, что
плотность частиц связана с объемом в каждой из рассматриваемых систем
отсчета, так что плотности можно сравнивать только при условии существования такой системы отсчета, в которой и электроны, и ионы находятся
в состоянии покоя. Однако, в присутствии ненулевого тока j движения электронов и ионов отличаются скоростью проводимости u, так что сравнивать
их плотности напрямую некорректно.
Ради простоты предположим, что скорость v параллельна j,причем
ионы имеют одиночные заряды и ту же самую массу, что и электроны. Тогда если v — это среднее движение всего объема плазмы, в котором как
ионы, так и электроны играют одинаковую роль, значит среднее движение
92 ГЛАВА 7
всего объема электронов составляет v + u/2, тогда как среднее движение
всего объема ионов равно v − u/2.ЕслиN — это плотность числа электронов и ионов в собственной движущейся системе отсчета, то из сокращения
Лоренца можно заключить, что плотность числа электронов равна
N
=
e
∼
=
1 −
N1+
N
(υ − u/2)
2
c
(υ + u/2)
2c
2
2
1/2
2
∼
=
+ ...,
а плотность числа ионов —
N
=
i
∼
=
1 −
N1+
N
(υ + u/2)
2
c
(υ + u/2)
2c
2
2
1/2
2
∼
=
+ ....
В таком случае плотность заряда в лаборатории составляет ровно
δ = e(N
= −
=
i
eNv · u
v · j
2
c
− Ne)=
=
2
c
.
Ясно, что это и есть суммарная плотность заряда, заданная уравнением
(7.5). Таким образом, полный заряд инвариантен при преобразовании Лоренца, чего, вследствие сокращения Лоренца, нельзя сказать о плотности
заряда. На плотность заряда δ = ∇·E/4π автоматически влияет сокращение Лоренца. Реальный случай, когда масса иона M велика по сравнению
с массой электрона m, рассматривается в приложении D.
В таком случае важным моментом является тот факт, что если пренебречь удельным сопротивлением, электрическое поле E
влокальном
лагранжевом элементе объема плазмы, движущейся с вихревой скоростью
v(r, t), попросту нейтрализуется. Таким образом, электрическое поле в лаборатории равно E(r,t)=−v(r,t)×B(r,t)/c, причем оно не отвечает ни за
7.5. РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЙ ЗАРЯД В ЗАКРУЧИВАЮЩЕЙСЯ ПЛАЗМЕ 93
какие динамические эффекты. В какой-то другой системе отсчета, движущейся относительно лаборатории со скоростью V, электрическое поле E
V
заданное уравнением
,
E
V
(r,t)=
− [v(r,t) − V] × B(r,t)
c
,
определенно присутствует. Суть в том, что динамика движения всего объема плазмы может быть описана в любой желаемой системе отсчета, движущейся относительно лаборатории с произвольной скоростью V,причем
каждое значение V характеризуется своим электрическим полем. Отличие
E
(r,t) от электрического поля в лаборатории имеет вид +V × B(r,t)/c,
V
причем вид этой величины может количественно варьироваться от одной
системы отсчета к другой, особенно если B(r,t) имеет не слишком про-
стую форму. Таким образом, электрическое поле нельзя включить в динамику движения плазмы v, не создав противоречий. Этому «требованию
о неучастии» удовлетворяет тот факт, что напряжение и энергия электрического поля по сравнению с натяжением и энергией магнитного поля малы
до второго порядка по υ/c, а значит, ими можно пренебречь.
ГЛАВА 8
Гидродинамика
8.1. Основные положения
В космическом пространстве магнитные поля «погружены» в плазму,
так что их динамика включает в себя механику движения плазмы, подверженную влиянию натяжений магнитного поля. Таким образом, если мы
хотим понять динамику магнитного поля, мы должны понять динамические
свойства крупномасштабного движения всего объема плазмы. Крупномасштабная динамика плазмы описывается гидродинамическими уравнениями
при условии сохранения плотности числа частиц в плазме N , описанной
уравнением
∂N
+ ∇·(N v)=0, (8.1)
∂t
а также при условии сохранения импульса, заданном выражением
где M — атомная масса, p — давление плазмы, F — сила, приложенная
к единице объема, а v — скорость всего объема плазмы.
В научных кругах почему-то бытует устойчивое мнение, будто гидродинамика неприменима в отсутствие столкновений между частицами. При
этом считается, что при таких условиях невозможно определить давление,
тепловое распределение скоростей не может быть максвелловским и т. д.,
и т. п. Более того, бытует мнение о неприменимости магнитной гидродинамики в силу того, что в ней не работает закон Ома и т. д. Стандартные учебники по гидродинамике и магнитной гидродинамике обычно не рассматривают эти вопросы напрямую, обратив все свое внимание на формальный
математический вывод уравнений из уравнения Больцмана и т.д. Мы же
в своей работе не используем слишком пространных математических выкладок, а руководствуемся элементарными физическими принципами. Ибо
при формальном математическом подходе слишком часто вводятся ограничения, необходимые для математической части, но совершенно излишние для физической составляющей. Мы намерены показать, что известные
NM
∂v
+(v ·∇= ∇p + F, (8.2)
∂t
8.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 95
гидродинамические уравнения неизбежно вытекают из простейших физических принципов и могут использоваться как при наличии столкновений
между частицами в изотропии температуры, так и в отсутствие оных. Принципы сохранения частиц и импульса безразличны к столкновениями, поскольку при столкновениях и частицы, и импульс тоже сохраняются. Таким образом, уравнения (8.1) и (8.2) неизбежны как в присутствии, так
и в отсутствии столкновений. Частота столкновений между частицами появляется только тогда, когда дело доходит до вычисления давления, которое
в отсутствие столкновений превращается в тензор p
нитного поля давления p
и p, перпендикулярное и параллельное вектору
⊥
. В присутствии маг-
ij
напряженности этого поля B, могут отличаться. Циклотронное движение
электронов и ионов в магнитном поле гарантирует изотропность крупномасштабного давления P
в двух измерениях, перпендикулярных этому
⊥
полю.
Для предельного случая бесстолкновительной плазмы уравнения (8.1)
и (8.2) принято выводить, вычисляя моменты скорости уравнения Больцмана для функции распределения скоростей f(r, u,t), скоростей отдель-
ной частицы u. Функция распределения скоростей получается из этой системы путем интегрирования, причем в результате образуются уравнения
(8.1) и (8.2), описывающие распределение скоростей (максвелловское или
какое-либо еще). Однако, уравнения (8.1) и (8.2) можно получить более
простым путем, что и объясняет их универсальность. Следует помнить, что
скорость изменения плотности некоторой сохраняющейся величины равна
взятой с обратным знаком дивергенции плотности потока этой величины.
Как уравнение (8.1), так и уравнение (8.2) следуют именно из этого простого факта, только к правой части уравнения, описывающего сохранение
импульса, впоследствии добавляется приложенная извне сила F
.
i
Рассмотрим в таком случае, каким условиям нужно удовлетворить,
чтобы описать динамику бесстолкновительного газа уравнениями вида (8.1)
и (8.2). Очевидно, что для получения достаточно точного статистического распределения локальной плотности числа N мы должны располагать
достаточным количеством частиц (атомов, ионов, электронов). Нас интересует динамика крупномасштабного потока (характерный масштаб Λ), описываемого гидродинамическими дифференциальными уравнениями в частных производных. Рассмотрим эти дифференциальные уравнения в частных производных как разностные уравнения с малым шагом решетки
λ(λ Δ). Затем посмотрим на ожидаемое число частиц Nλ
3
вкаждой
базовой ячейке. Если мы хотим получить с помощью разностных уравнений полезное математическое приближение, λ должна быть достаточно
мала по сравнению с Λ. Ясно также, что каждая базовая ячейка должна
96 ГЛАВА 8
содержать достаточное количество частиц Nλ3, чтобы обеспечить статистически определенную плотность N , поскольку в разностных уравнениях
используется средняя плотность без учета статистических флуктуаций порядка (Nλ
3)1/2
, которые приводят к тому, что реальная физическая система
отклоняется от точного математического решения разностных или дифференциальных уравнений. Таким образом, необходимо уравновесить статистическую точность средней плотности и требуемое малое значение λ по
сравнению с Λ. Относительная величина двух этих требований зависит от
точности начальных условий и того, насколько долго мы хотим проследить
динамику системы.
В большинстве астрономических ситуаций статистическому требованию, связанному с Nλ
в большинстве случаев вполне приемлемо принять λ =10
в частности, крупномасштабное взаимодействие солнечного ветра (N ≈ 5
3
ион/см
а Nλ
) с магнитосферой Земли (Λ ≈ 109см). В этом случае λ =106см,
3
=5× 1018ионов. Статистическая неопределенность по N составля-
ет меньше одной единицы на 10
3
, удовлетворить достаточно легко. К примеру,
9
, что гораздо точнее требуемого значения.
−3
Λ. Рассмотрим,
Масштаб λ мог бы быть гораздо меньше. Однако следует понимать, что мы
не намерены учитывать все сложности детального циклотронного движения ионов в их воздействии на геомагнитное поле (см. Parker, 1967). Так
что исключительно из гидродинамических соображений мы рассматриваем
движение плазмы только на расстояниях, достаточно больших по сравнению с циклотронным радиусом иона и т. д.
Даже сильно разреженный релятивистский газ, из которого состоят
космические лучи (N ≈ 10
частиц, чтобы обеспечить статистически определенную плотность числа на
расстоянии в 10
7
см, при Nλ =1011частиц. Вообще, циклотронные радиусы частиц космических лучей обычно составляют не менее 10
гидродинамика такого газа неприменима на расстояниях менее 10
составляет двукратное расстояние от Земли до Луны. В масштабах порядка
12
10
см (0,07 астрономических единиц) и более такой газ ведет себя как
−10
ион/см3), содержит достаточное количество
11
см, так что
11
см, что
жидкость. Короче говоря, суть в том, что когда речь заходит о крупномас-
штабных движениях плазмы, проблемы недостатка частиц для обеспечения
четко определенного N , как правило, не возникает.
8.2. Вывод уравнений гидродинамики
Рассмотрим принцип формальной применимости двухмасштабного
подхода при λ Λ. Если плотность числа N статистически определена
четко, значит так же определены и средняя скорость всего объема, факти-
8.2. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ 97
ческая кинетическая температура ионов и электронов, а также давление.
Обозначим скорость отдельной частицы через u
всего объема через υ
или v, а тепловую скорость, определяемую как ско-
i
рость частицы относительно средней скорости, — через w
или u, среднюю скорость
i
или w.Тогда
i
u = v + w. (8.3)
Средняя скорость всего объема получается путем суммирования скоростей
всех частиц, содержащихся в небольшом объеме V = λ
3
. Для наших настоящих целей по установлению гидродинамики достаточно рассмотреть всего
один тип частиц (при этом мы получим одножидкостную теорию) с общей
массой M ; пусть это будут ионы. Оставим без внимания факт некоторого
отличия средней скорости электронов от средней скорости ионов в присутствии электрического тока. Этот ток определяется через закон Ампера, уравнение (3.1), по деформации магнитного поля в ходе динамического
взаимодействия между плазмой и полем. Проясним, что скорости проводимости электронов измеряются м/с в низких плотностях электронов в фотосфере и короне Солнца, куда меньше они становятся в солнечном ветре
и уж совсем ничтожны (10
−6
–10−7см/с) в галактических масштабах. Этот
вопрос вновь всплывает в десятой главе, где мы рассматриваем его более
подробно для частично ионизованного газа (см. также Vasyliunas and Song,
2005).
Средняя скорость υ
вобъемеV определяетсявсех частиц, которые
i
содержатся в V :
1
υ
откуда следует, что
i
=
=
= υ
NV
1
NV
i
+
=
u
i
+ wi)=
(υ
i
1
NV
w
=0, (8.4)
i
,
w
i
поскольку среднее тепловых движений по определению равно 0.
Средний поток частиц равен Nυ
, так что, согласно закону сохране-
i
ния частиц, скорость изменения плотности частиц N определяется взятой
с обратным знаком дивергенцией потока частиц:
= −
∂
Nυi, (8.5)
∂x
j
∂N
∂t
что опять-таки повторяет уравнение (8.1).
98 ГЛАВА 8
Аналогично, плотность импульса NMυiследует из уравнения
1
V
Mu
= NMυi.
i
Составляющая j потока плотности импульса в направлении i при использовании уравнения (8.4) равна
1
Mu
V
iuj
1
=
V
1
=
V
= NMυ
+ wi)(υj+ wj)=
M(υ
i
iυj
1
+
V
+ wiwj)=
M(υ
iυj
Mw
iwj
(8.6)
.
Второе слагаемое в правой части уравнения представляет собой плотность
потока импульса, переносимого исключительно тепловыми движениями.
Именно это и является давлением. Тепловые движения не всегда бывают
статистически изотропными, поэтому давление представляет собой тензор,
определенный выражением
1
p
=
ij
Mw
V
, (8.7)
iwj
а поток плотности импульса принимает вид
1
Mu
V
= NMυiυj+ pij. (8.8)
iuj
Давление не имеет ничего общего со столкновениями между частицами.
Оно являет собой всего лишь плотность потока импульса, переносимую
тепловыми движениями, равно как натяжение Рейнольдса,
R
= NMυiυj, (8.9)
ij
представляет собой плотность потока импульса, переносимую средней скоростью объема. Отметим также, что как R
= Rji,такиpij= pji.
ij
Скорость изменения плотности импульса равна взятой с обратным зна-
ком дивергенции потока плотности импульса, т. е.
∂
∂t
NMυ
i
= −
∂
(NMυiυj+ pij). (8.10)
∂x
j
8.3. ТЕНЗОР ДАВЛЕНИЯ 99
Это уравнение выражает принцип сохранения импульса в статистически
определенной жидкости.
Совершенно очевидно, что общая сила F
на единицу объема, напри-
i
мер, сила тяготения или напряжение Максвелла, будучи приложена к жидкости, не оказывает прямого влияния на тепловые движения и просто добавляется к правой части уравнения (8.10), что дает
∂
NMυ
∂t
i
Умножим теперь уравнение (8.5) на υ
= −
∂
(NMυiυj+ pij)+Fi. (8.11)
∂x
j
и вычтем результат из уравне-
i
ния (8.11); в итоге имеем уравнение импульса в хорошо известном нам
виде
NM
∂υ
i
+ υ
∂t
∂υ
j
∂x
∂p
i
j
ij
=
+ Fi. (8.12)
∂x
j
Необходимо отметить, что этот простой вывод гидродинамических
уравнений был проведен для бесстолкновительной плазмы. Однако вполне
очевидно, что аналогичные уравнения можно также составить и для плазмы, частицы которой сталкиваются друг с другом, поскольку при столкновениях сохраняются как частицы, так и их общий импульс. Вообще-то, наверное, единственным допущением, которое может нарушиться в плотном
газе, служит невыраженная явно мысль о том, что диаметры частиц малы
по сравнению с расстояниями между этими частицами. Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса учитывает влияние диаметров частиц и силы, действующей между ними. Однако это, судя по всему, не имеет значения в космической плазме. Даже в плотной атмосфере Земли воздух при 300 градусах Кельвина и давлении 10
19
в 10
/см3. Расстояние между молекулами имеет порядок 4 × 10−7см,
что где-то в десять раз больше размера самой молекулы. Таким образом,
плотность воздуха составляет приблизительно 10
6
дин/см2имеет плотность числа N примерно
−3
плотности тесно упа-
кованных молекул жидкого азота, кислорода или воды.
8.3. Тензор давления
Вычислим тензор давления pij. На данном этапе в общей картине
происходящего появляются столкновения, смещающие тепловые движения
в направлении статистической изотропности. Таким образом, мы обращаемся к бесстолкновительной плазме, чтобы установить базовые отношения
100 ГЛАВА 8
и принципы, и вводим рассеяние, происходящее в результате столкновений, только получив в свое распоряжение базовую динамику. Отметим,
что в отсутствие столкновений и внешних сил отдельные частицы движутся свободно и прямолинейно, с сохранением импульса и энергии каждой составляющей скорости u
. Вопрос заключается в том, каким образом
i
эволюционирует неоднородное распределение этих свободно движущихся
частиц, обеспечивая изменение p
расположенные на диагонали тензора слагаемые p
2
NMw
, NMw
y
ловых движений в каждом направлении. В силу сказанного начнем с кинетического тензора V
2
, — представляют (удвоенную) кинетическую энергию теп-
z
−1
Mu
импульса. С течением времени тензор V
во времени. Для начала заметим, что
ij
, который представляет плотность потока
iuj
−1
, а именно: NMw
ij
Mu
изменяется, потому
iuj
что частицы постоянно перемещаются, входя в объем V , в котором мы и
выполняем суммирование, и покидая его. Следовательно, скорость изменения тензора V
плотности потока V
−1
∂
∂t
Mu
−1
1
V
равна взятой с обратным знаком дивергенции
iuj
M(u
Mu
iuj)uk
iuj
= −
тензора V
∂
1
V
∂x
k
−1
Mu
Mu
iujuk
:
iuj
. (8.13)
Это уравнение принимает вид
∂
∂t
NMυ
= −
+
iυj
∂
NMυiυjυk−
∂x
k
Введем теперь тензор теплового потока T
∂
∂t
1
NMw
V
∂
∂x
T
ijk
=
iwj
1
(υ
k
k
+ υ
1
=
V
V
i
1
V
Mw
ijk
Mw
+ υ
iwj
Mw
jwk
, определенный как
iwjwk
1
j
+
Mw
V
1
Mw
V
+
iwk
iwjwk
).
(8.14)
и представляющий перенос кинетической энергии тепловыми движениями.
Слагаемые первого порядка по w
выпали из уравнения, так как в сумме
i
они равны нулю, что показано в уравнении (8.4). Итоговый результат имеет
вид
1
∂
∂t
NMυ
iυj
∂
+
∂t
NMw
V
iwj
= −
∂
(NMυiυjυk+ υkpij+
∂x
k
+ υ
+ υipjk+ T
jpik
ijk
).
2
,
x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]