Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
8.8. ВЫВОДЫ 111
Составляющая уравнения импульса (8.12) в направлении i =1принимает
вид
∂v
NM
Таким образом, выражение p
∂t
∂p
∂x
∂x
12
=
2
∂
p
22
2
∂v
1
τ
∂x
.
2
1
= −
=+
τ представляет собой вязкость μ, а кинема-
22
тическая вязкость имеет вид
p
τ
22
Поскольку p
= NMw
22
v =
2
при выражении через среднеквадратичную теп-
2
NM
.
ловую скорость в направлении i =2, мы, как и ожидалось, имеем
v = w
Фактическая средняя траектория свободного движения λ имеет вид w
2
τ.
2
2
1/2
2
поэтому
2
ν = w
Мы, конечно, можем включить еще и нагревание p
если рассмотрим рассеяние между p
полную систему линейных уравнений для dp
1/2
λ. (8.50)
2
при вязком рассеянии,
ij
22
/dt.
, p22и p33. После этого мы получим
11
8.8. Выводы
Вышесказанного вполне достаточно для описания основы динамической теории крупномасштабного движения плазмы и подготовки к объяснению магнитной гидродинамики космоса. Развитие данной теории базировалось на основных динамических концепциях объемного потока газа,
как при наличии столкновений частиц, так и в отсутствии оных, чтобы
подчеркнуть общую и неизбежную природу гидродинамических уравнений для сохранения вещества, импульса и энергии. Эти условия и создают
замкнутую систему уравнений N, v
вычисления давления плазмы p или p
позже при рассмотрении влияния магнитного поля. Наша следующая задача состоит во введении крупномасштабного магнитного поля, причем мы
должны стремиться как можно проще и доступнее излагать необходимую
физику, использовав при этом минимум математики.
через различные предписания для
i,pij
. К этому вопросу мы вернемся чуть
ij
τ,
ГЛАВА 9
Магнитная гидродинамика
9.1. Основные положения
Насколько мы знаем, во всем космосе нет такого места, где не было
бы магнитных полей, и крайне мало таких мест, где полностью отсутствуют
свободные электроны и ионы. К числу таковых относятся разве что холодные атмосферы планет или недра чрезвычайно плотного и холодного межзвездного облака. Таким образом, погруженные в плазму свободно проводящие электрический ток магнитные поля присутствуют в космосе практически повсеместно. В первой главе мы отмечали удивительную способность
подвижных электронов переносить электрический заряд, а это означает, что
плазма не обладает значительными электроизолирующими свойствами и не
способна поддерживать хоть сколько-нибудь ощутимое электрическое по-
в связанной с ней системе отсчета. Именно в силу этого просто-
ле E
го факта магнитная гидродинамика вполне адекватным образом описывает
динамику магнитного поля. Ведь если значение E
уравнение (7.1) сводится к уравнению
пренебрежимо мало, то
E = −
v × B
c
+ E
, (9.1)
где v — это локальная скорость всего объема плазмы. Если данное уравнение подставить в уравнение индукции Фарадея (6.3), то получим
Тогда положим E
∂B
= ∇×(v × B) − c∇×E
∂t
равной нулю, что дает хорошо известное нам уравнение
. (9.2)
индукции для идеальной жидкости в магнитной гидродинамике; согласно
этому уравнению, магнитное поле целиком переносится движущейся плазмой. Введя условие о пренебрежимо малом значении E
, необходимо пони-
мать, что результирующие уравнения МГД, включая уравнение импульса,
9.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 113
дают динамические результаты, не противоречащие исходному допущению
того, что E
=0.
Еще раз обратим внимание читателя на то, что в системе отсчета, связанной с лабораторией, электрическое поле E = −v × B/c присутствует
потому, что в локальной системе отсчета, движущейся вместе с плазмой,
такого поля нет. Лабораторное поле E является слабым O(v/c) по сравнению с магнитным полем B, а напряженность и энергия электрического поля малы O(v
2/c2
) по сравнению с напряженностью и энергией магнитного поля. Следовательно, динамические эффекты электрического поля
малы до того же порядка величины, что и замедление времени и сокращение координат Лоренца–Фитцджердльда, которыми в нерелятивистской
динамике мы пренебрегаем. Таким образом, динамическое взаимодействие
плазмы и магнитного поля представляет собой прямое механическое взаимодействие магнитного напряжения, описанного уравнением (4.10) или
(7.12), инерции и давления плазмы, описанных в восьмой главе. Динамика крупномасштабного магнитного поля в космосе — это, по сути, задача
из гидромеханики с элементами уравнения индукции (9.2), выражающего
совместное движение плазмы и поля.
Возвращаясь к уравнению (7.1), получаем, что в используемом здесь
нерелятивистском приближении, если пренебречь слагаемыми O(v
в сравнении с единицей, магнитное поле B
вдвижущейсяплазметожде-
2/c2
ственно магнитному полю B в системе отсчета, связанной с лабораторией.
В традиционном доказательстве того, что магнитное поле движется вместе с плазмой, присутствует скорость изменения магнитного потока через замкнутый контур C
=0). Расчет начинается с неподвижного замкнутого контура C,ското-
(E
рым C
вначале совпадает. Скорость изменения магнитного потока через C
, движущийся вместе с идеальной плазмой
при использовании уравнения индукции (9.2) и теоремы Стокса определяется уравнением
∂
∂t
dS · B =
C
∂B
dS·
∂t
C
=
dS ·∇×(v × B)=
C
=
)
=ds · v × B =
=dB · ds × v.
114 ГЛАВА 9
Таким образом, за время Δt изменение в магнитном потоке через контур C
равно
ΔΦ =Δt
∂
∂t
dS · B =
C
(9.3)
=dB · ds × vΔt.
На рис. 9.1 представлена геометрия контуров C и C
vΔt — это смещение движущегося контура C
ds обозначить элемент длины контуров C и C
го произведения ds × vΔt можно описать площадь, которую покрывает
ds, движущийся вместе с контуром C
изменение в магнитном потоке через контур C отклоняется на площадь, покрываемую контуром C
т. е. ∇·B =0, можно сделать вывод, что изменения магнитного потока
через контур C
, движущийся со скоростью v плазмы, не происходит. Это
. Поскольку магнитный поток должен сохраняться,
,завремяΔt. Но это означает, что
за время Δt. Если через
, то с помощью векторно-
справедливо для любого контура C и его движущегося аналога C
. Очевидно, что
,такчто,
судя по всему, магнитное поле движется вместе с плазмой. Ведь если бы
где-то поле не двигалось вместе с плазмой, то результат (9.3) нарушался бы
для контура, проходящего по этой области.
Рис. 9.1. Боковая поверхность, покрываемая контуром C, свободно движущимся
вместе с жидкостью из исходного положения C
Это весьма наглядно представлено с помощью специального профиля
магнитного поля на рис. 9.2. Тонкие слои магнитного потока удаляются из
поля с целью создания маркеров. Каждый движущийся слой плазмы, в котором нет поля, остается не содержащим поля в то время, как он переносится
9.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 115
с плазмой со скоростью v. Области магнитного поля между движущимися
слоями, свободными от поля, определяются слоями, свободными от поля.
Таким образом, плазма движется, а свободные от поля фидуциальные слои
движутся вместе с плазмой; поле же между свободными от поля слоями
в процессе движения плазмы остается между слоями, свободными от поля.
В этом заключается суть МГД, и это вытекает непосредственно из исчезновения электрического поля E
в локальной движущейся системе отсчета,
связанной с плазмой.
Рис. 9.2. Схематическое изображение напряженности магнитного поля B(x),изкоторой для получения маркеров на определенных промежутках были удалены тонкие
пластинки потока
Как мы уже отмечали, перенос магнитного поля скоростью v плазмы
подтверждает и вектор Пойнтинга. Из уравнения (6.4) следует, что электрическое поле, заданное уравнением (9.1), представляет плотность потока
электромагнитной энергии
P = −
а именно: реальный перенос магнитной энтальпии B
мы v
, перпендикулярной вектору напряженности магнитного поля B.
⊥
Другими словами, отсутствие электрического поля E
(v × B) × B
2
vB
=
v
B
⊥
=
4π
4π
− B(v · B)
4π
2
,
=
=
2
/4π скоростью плаз-
связанной с плазмой, означает, что вектор Пойнтинга P
(9.4)
в системе отсчета,
всистемеотсче-
116 ГЛАВА 9
та плазмы тоже становится равным нулю, т. е. переноса электромагнитной
энергии относительно плазмы не происходит. В этой системе отсчета (связанной с плазмой) магнитное поле остается неподвижным. Можно построить и другие доказательства реального переноса магнитного поля плазмой
(см. Parker, 1979, стр. 32–42).
Раз магнитное поле должно двигаться вместе с плазмой, значит плазма
испытывает магнитные напряжения, описанные тензором напряжений M
ij
который задается уравнениями (3.22) или (6.11). Уравнение импульса (8.12)
для плазмы принимает вид
= −
∂p
∂x
∂v
i
j
∂x
j
∂M
ij
j
ij
+
, (9.5)
∂x
j
NM
∂v
i
+ v
∂t
причем рассматривать его нужно вкупе с уравнением индукции (9.2) для
связанного изменения B
. Индивидуальная физическая ситуация в крупно-
i
масштабной плазме космоса определяется граничными условиями, которые
накладываются на B
нечно проводящей плазмы, граничным условием для B
, viи pij. За исключением идеального случая беско-
i
служит непрерыв-
i
ность как нормальной, так и тангенциальной составляющих. В идеальном
случае тангенциальная составляющая может быть дискретной. К v
и p
i
можно применить обычные гидродинамические соображения, однако нельзя забывать, что учитывать необходимо не только p
ление B
2
/8π. О граничных условиях для E и j не ст´оит даже говорить,
, но и магнитное дав-
ij
потому что при наложении правильных граничных условий на B и v они
выполняются автоматически.
Далее закон Ампера, уравнение (3.9), гласит, что существуют электрические токи, связанные с деформацией магнитного поля. Это значит, что
в присутствии небольшого (но ненулевого) удельного сопротивления плазмы в движущейся системе отсчета, связанной с ней, имеется небольшое
электрическое поле E
. В первой главе (уравнение (1.9)) мы упоминали
о том, сколь ничтожны эти электрические поля. Напряженность в поле E
мала O(E/B) по сравнению с напряженностью в магнитном поле, поэтому
ею можно пренебречь, если только речь идет не о релятивистском распространении удара или каком-либо аналогичном предельном явлении. Напряженность электрического поля E в лабораторной системе отсчета гораздо
выше напряженности в поле E
,новсеравнооченьмалаO(v2/c2) по сравнению с магнитной напряженностью. Напряжения в электрическом токе j
являют собой не что иное, как инерцию электронов проводимости, в силу
чего j, E и E
не играют в динамике никакой роли и вычисляются постфак-
тум после решения уравнений для v и B.
,
ij
9.2. ДИФФУЗИЯ И ДИССИПАЦИЯ 117
Заметим, что в самой лаборатории плазменной физики поле E может играть прямую динамическую роль. Так, экспериментатор может произвольным образом приложить разность потенциалов в 10
2
статвольт) или более к 10 см плазмы ради ускорения последней до ско-
10
рости электрического дрейфа cE×B/B
2
(см. приложение C), ради создания
5
вольт (3 ×
быстрых ионов или ради чего-нибудь еще. Нужно понимать, что в космосе,
где имеется только гидродинамика плазмы, управляемая напряженностью
магнитного поля, давление плазмы, инерция, и, возможно, еще силы тяготения, таких интересных возможностей обычно не бывает. Важным исключением из общего правила, судя по всему, служат быстро вращающиеся
нейронные звезды, релятивистские скорости частиц в разреженных газах
которых выходят далеко за пределы магнитной гидродинамики бурлящей
плазмы, видимой в астрономический телескоп.
9.2. Диффузия и диссипация
Уравнение идеальной индукции (9.2) было выведено для предельного
случая, когда электрическое поле E
равно нулю. Как мы отмечали выше, поле E
дественно нулю. Именно ненулевое E
в движущейся плазме тождественно
чрезвычайно мало, но не тож-
отвечает за резистивную диссипацию магнитного поля, которой мы пренебрегли в уравнении (9.2). В космосе в большинстве случаев диссипация довольно мала, но иногда она играет
важную роль, как, например, при быстром пересоединении магнитного поля, а также в магнитогидродинамических динамо-процессах, происходящих
в планетах, звездах и галактиках. Таким образом, мы еще раз отмечаем,
что в плазме, достаточно плотной для применения скалярного закона Ома,
уравнение (1.7) создает электрическое поле
j
=
E
где σ — это, конечно, электропроводность. Определим коэффициент резистивной диффузии η ≡ c
2
/4πσ, в результате чего уравнение (7.1) можно
c
=
4πσ
∇×B,
σ
записать как
E = −
v × B
η
+
c
∇×B.
c
Тогда уравнение индукции (9.2) принимает вид
∂B
= ∇×(v × B) −∇×(η∇×B)= (9.6)
∂t
= ∇×(v × B)+η∇
2
B + B ×∇η. (9.7)
118 ГЛАВА 9
Уравнение (9.7) обычно упрощается пренебрежением действиями ∇η,так
что слагаемое, выражающее диссипацию, принимает вид лапласиана. Тогда
удельное сопротивление вызывает всего лишь простую диффузию, уравнение индукции которой имеет общеизвестный вид
∂B
= ∇×(v × B)η∇
∂t
2
B. (9.8)
В неподвижной плазме отдельные декартовы составляющие магнитного поля диффундируют независимым образом согласно уравнению
∂B
i
∂t
7Т3/2
При σ =2× 10
Таким образом, η =4×10
фузия в масштабе L происходит за характерное время t = L
в короне в масштабе 100 км (10
ка 6 × 10
9
сили2 × 102лет. Вообще-то, согласно наблюдениям, небольшие
/с для ионизованного водорода мы имеем
4 × 10
η =
6см2
/с при 104Kи4× 103см2/с при 106K. Диф-
7
см) одна только диффузия занимает поряд-
= η∇
3/2
T
2
Bi. (9.9)
12
см2/с. (9.10)
2
/4η,такчто
магнитные конфигурации порой сильно изменяются за промежуток времени, равный часу или около того, что подтверждает важность движений
плазмы и явления быстрого динамического пересоединения. К этому моменту мы еще вернемся в десятой главе.
Итак, как было отмечено ранее, электрическое поле E
, существующее в плазме, отвечает за диссипацию и диффузию магнитного поля, но не
играет прямой активной роли в его динамике.
9.3. Применение понятия магнитной диффузии
Слагаемое, выражающее диффузию, в правой части уравнения (9.8)
мало по сравнению со слагаемым ∇×(v × B), которое представляет конвекцию магнитного поля со скоростью плазмы v в астрофизических явлениях, имеющих место в плазме в крупных масштабах, куда входит в том
числе и динамика магнитосфер планет. Для полей, характеризуемых масштабом l, конвекция представлена слагаемым O(vB/l),адиффузия—слагаемым O(ηB/l
2
). Отношением конвекции к диффузии служит знаменитое
9.3. ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ МАГНИТНОЙ ДИФФУЗИИ 119
магнитное число Рейнольдса
vl
R
m
. (9.11)
=
η
Если за характерную скорость v принять альфеновскую скорость C =
= B/(4πρ)
Этот параметр позволяет напрямую сравнивать характерное время диффузии l
1/2
, получим число Лундквиста
Cl
R
2
/η в масштабе l с динамическим альфеновским временем l/C.Ес-
. (9.12)
=
l
η
ли говорить о крупномасштабной магнитогидродинамической активности
в космосе, то как магнитное число Рейнольдса, так и число Лундквиста
велики по сравнению с единицей, т. е. общая диффузия очень мала по сравнению с конвекцией магнитных полей.
Однако, нельзя забывать, что важную роль играют особые исключения из этого общего факта. Из ряда вон выходящим исключением служит
явление быстрого магнитного пересоединения, при котором магнитные напряжения изгоняют плазму из области между двумя противоположно направленными составляющими магнитного поля, тем самым асимптотически устремляя доминантный масштаб l к нулю. Диффузия и диссипация
становятся значительными в тонком токовом слое (толщиной l) между двумя областями противоположно направленного поля, внедряясь в поле с каждой стороны со скоростями, достигающими нескольких долей от альфеновской скорости C. Предельным примером быстрого пересоединения служит
явление магнитной вспышки. Эта важная тема поднимается в разделе 10.6.
Еще одним серьезным исключением является фотосфера Солнца, где
степень ионизации падает настолько, что η может принимать значения
вплоть до 10
and Kuklin, 1969) в слое с характерной толщиной порядка 10
терное время диффузии l
7
l =10
новская скорость составляет 10
и плотностью газа порядка 2 × 10
10см2
/с (σ =1010/с) (Kopecky and Obridko, 1968; Kopecky
2
/4η составляет порядка одного часа на диаметре
см одного из фотосферных магнитных волокон. Характерная альфе-
6
см/с в поле волокон с индукцией в 1500 Гс
−7
г/см3. Число Лундквиста составляет
7
см. Харак-
всего около 250. Таким образом, соседние волокна могут медленно сливаться, однако общая целостность магнитного потока сохраняется гораздо
более низким удельным сопротивлением более горячих слоев, расположенных непосредственно над и под слоем с относительно высоким удельным
сопротивлением. С другой стороны, быстрое пересоединение между дву-
120 ГЛАВА 9
мя противоположно направленными волокнами способно создать микровспышку. Не меньшую важность имеет и постоянный приток газа в резистивный слой с характерной скоростью порядка 4η, поделенного на радиус
волокна, что близко к 10
4
см/с. Можно предположить, что именно этот при-
ток создает каскад газа, струящийся вниз по волокну.
В отличие от этих исключений число Лундквиста для крупномасштабных полей звезды типа Солнца настолько огромно, что позволяет избежать
любой ощутимой диссипации, помимо явления быстрого пересоединения.
Так, например, среднее поле величиной в 10
области на Солнце может иметь характерный масштаб, равный 10
На уровне хромосферы, где T имеет порядок 10
−12
на 10
ло Лундквиста R
2 × 10
0,5 × 10
ет 10
и 0,5 × 10
г/см3, альфеновская скорость C составляет 2 × 107см/с, а чис-
— 0,5 × 1011. В короне, где T равна 106К,аNM —
−14
г/см3, альфеновская скорость равна 2 × 108см/с, а RLсоставляет
15
. Даже тончайшие различимые полоски, l которых не превыша-
7
см, имеют в качестве чисел Лундквиста 0,5 × 108в хромосфере
12
L
в короне. Следовательно, наблюдаемая быстрая эволюция ак-
2
Гс биполярной магнитной
4
К, а плотность NM рав-
10
см.
тивных биполярных областей короны включает как конвективную деформацию, так и быстрое пересоединение, потому что на одну только общую
диффузию нужно l
2
/4η =6× 109с или около 200 лет в тонких полосках,
как уже отмечалось, и намного больше в целом поле.
Однако, высказавшись о незначительной роли резистивной диффузии
в крупномасштабных магнитных полях в астрономическом масштабе, мы
не должны забывать, что диффузия является неотъемлемой составляющей
действия αω-динамо, которое считается источником магнитного поля Земли, магнитного поля Солнца и, очевидно, даже магнитного поля Галактики.
Магнитное число Рейнольдса, имеющее порядок 10
ально подходит для эффективной работы динамо в базовом режиме. Так,
например, в жидком железном ядре Земли, где σ ≈ 10
движения жидкости имеют порядок 0,03 см/с в масштабах l =10
Магнитное число Рейнольдса оказывается равным 300. В сущности, поле
рассеивается в масштабе l примерно за 10
вращение жидкого ядра осуществляет один поворот вокруг своей оси (радиуса 3 × 10
8
) примерно за этот же период времени.
4
2
–103, практически иде-
16
/с, а η ≈ 104см2/с,
8
см.
лет, тогда как неравномерное
Однако, с тем же самым процессом αω-динамо, предположительно создающим периодические магнитные поля Солнца, возникает одна серьезная
проблема. Подробные численные модели динамо легко воспроизводят магнитный цикл Солнца, выведенный на основе 11- и 22-летнего изменения
магнитных полей, наблюдаемых на поверхности Солнца. При этом, однако,
важно принимать, что коэффициент диффузии η равен порядка 10
11см2
/с.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]