Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 61
Этот дополнительный член нужно добавить к уравнению (3.11), в силу чего
оно примет вид
c∇×B(r,t)=4πj(r,t)+
∂E(r,t)
∂t
, (5.7)
а это уже уравнение Максвелла (1.6). Таким образом, уравнение Максвелла
вытекает из закона Био–Савара при условии, что заряд сохраняется в нестационарном поле.
Максвелл пришел к этому уравнению совсем другим путем: он ввел
гипотетический ток смещения (1/4π)∂E/∂t. Таким образом, он представил электрический ток, связанный со скоростью изменения поляризации
эфира, по прямой аналогии со смещением заряда, т.е. электрический ток,
∂Π/∂t, связанный со скоростью изменения дипольного момента Π на еди-
ницу объема в диэлектрике. С этой точки зрения, Максвелл счел свое уравнение обобщением закона Ампера (см. уравнение (3.5)) и включил в него
полный ток L(r,t)=j(r,t)+(1/4π)∂E/∂t. Присутствие в уравнении тока
смещения, безусловно, свидетельствует о сохранении заряда, и это видно
из дивергенции уравнений (1.6) или (5.7). Здесь же мы обнаружили, что
элементарная концепция сохранения заряда, описанная уравнением (5.4),
автоматически помещает ток смещения в предложенную Био и Саваром
интегральную форму закона Ампера, в результате чего получается полное
уравнение Максвелла.
Любопытно, что стандартные учебники не всегда указывают на эту
связь. Нельзя сказать, что о ней мало кто знает, поскольку время от времени ее «вновь открывают» и бурно обсуждают (см. Mello, 1972; Biswas,
1988). Она приводит к интересным вопросам, связанным с замыканием тока, и спорам о необходимости включения тока смещения в интеграл Био–
Савара. Суть в том, что если учесть все движущиеся электрические заряды,
в том числе и упруго связанные, обусловленные поляризацией диэлектрика,
то интеграл Био–Савара описывает магнитное поле через плотность полного тока j(r,t). С другой стороны, если к уравнению Максвелла применить
теорему Стокса и при этом взять интеграл по площади S, ограниченной
замкнутым контуром Γ,получится
dS · B =4π
c
Γ
dS · j +
S
∂E
∂t
,
dS·
S
причем ток смещения здесь тоже присутствует, и во многих случаях им
нельзя пренебречь (см. обсуждение French and Tessman, 1963; Bartlett, 1990;
62 ГЛАВА 5
Vasyliunas, 1999). Однако, суть в том, что эти два подхода к вычислению
магнитного поля точно эквивалентны, причем один вытекает из другого.
Вернемся теперь к интегралу Био–Савара и попробуем разобраться, каким образом данное интегральное соотношение между статическими j и B
позволяет ввести так называемый ток смещения (1/4π)∂E/∂t, являющийся
важной составляющей электромагнитного излучения в вакууме. Во-первых,
следует отметить, что ток j, а следовательно, и интеграл Био–Савара, исчезает в отсутствие электрических зарядов, в силу чего в вакууме этот интеграл будет равен нулю. Физический смысл интеграл Био–Савара приобретает только в присутствии подвижных электрических зарядов, т. е. вещества
(диэлектрика или плазмы) или электрического тока, вызываемого в проволоке наведением ЭДС. Тогда j(r,t) нельзя считать тождественно равной ну-
лю. Во-вторых, мы полагаем, что статическое отношение, представленное
интегралом Био–Савара, справедливо для поля и тока, медленно изменяющихся во времени. Учитывая закон сохранения заряда, данное предположение должно подкрепляться выполнением равенства ∇·j = −∂δ/∂t,
дополняющего дифференциальную форму закона Ампера небольшим слагаемым ∂δ/∂t, которое, в итоге, приводит к небольшой поправке ∂E/∂t.
Таким образом, если учесть концепцию сохранения заряда в медленно изменяющихся полях, интеграл Био–Савара попросту вынуждает нас принять
выдвинутую Максвеллом гипотезу о токе смещения. Однако, самое интересное заключается в том, что когда мы впоследствии переходим к быстро
изменяющимся полям, процессам излучения и распространения, электромагнитные уравнения уже не требуют никаких дополнений. Таким образом,
быстро изменяющиеся поля удовлетворяют тем же уравнениям, что и поля,
которые изменяются медленно.
Факт эквивалентности интеграла Био–Савара и уравнений Максвелла
вызывает некоторое удивление, если обратиться к истории развития последнего. Непосредственно после появления уравнения Максвелла в 1865
году в Англии к нему отнеслись весьма скептически. Так, Кельвин сказал,
что не понимает этого уравнения, в чем мы особо не сомневаемся. Затем
он заявил, что не нуждается ни в каком уравнении Максвелла, потому что
свет можно также объяснить и как упругий эфир, так что пользы от этого
уравнения ровным счетом никакой. Сегодня мы, конечно, можем представить желаемое упрощение: при наличии тока смещения свет вполне можно
объяснить с помощью электрического и магнитного полей, а громоздкую
концепцию эфира при этом отбросить как избыточную. Однако, несмотря на скептицизм Кельвина в отношении Максвелла, можно предположить,
что Кельвин и прочие неверующие приняли интеграл Био–Савара, не осознавая, что из него вытекает уравнение Максвелла. Отрицание всегда со-
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 63
пряжено с риском. Предлагая выдернуть коврик из под ног соседа, никогда
не знаешь, а не стоишь ли на нем и ты сам.
С другой стороны, необходимо подчеркнуть, что важность уравнения
Максвелла признал Оливер Хевисайд, который, помимо этого, отделил от
оригинальной концепции Максвелла много лишнего. В континентальной
Европе важность этого уравнения осознали Гельмгольц и Роуланд. Между
1885 и 1889 годами Герц, вдохновившись следствиями уравнения Максвелла, провел свои знаменитые опыты, получив, зарегистрировав и измерив
скорость распространения радиоволн в лаборатории, а также отождествив
радиоволны с волнами света, т. к. и те, и другие распространяются со скоростью c, равной отношению электромагнитной единицы заряда в системе СГС к электростатической единице заряда в системе СГС (используемой
в настоящей книге). И все же издание энциклопедии «Британника» от 1894
года содержит обширную статью по электричеству и еще одну по магнетизму, в которых упоминаются электродинамика и предыдущие открытия
Максвелла, но нет ни слова об уравнении Максвелла и его следствиях для
электромагнитных волн. О фундаментальном вкладе, сделанном Максвеллом, упомянул лишь автор биографической статьи об этом ученом, заметив,
что самый первый тест на достоверность электромагнитной теории света
зависит от точности определения скорости света через отношение единиц
заряда в электромагнитных и электростатических единицах. Этот же автор
рьяно советует читателю ознакомиться с «Трактатом об электричестве и
магнетизме» Максвелла (1873 г.).
Таким образом, история личностей в науке содержит немало интересных и порой забавных случаев, если взглянуть на нее по истечении столетия научного прогресса. Каждый новый век приносит не один повод посмеяться над представителями века минувшего, но при этом и сам становится
объектом насмешек для века грядущего.
ГЛАВА 6
Максвелл и Пойнтинг
6.1. Теоремы Пойнтинга о сохранении энергии и импульса
Пойнтингу мы обязаны формальной демонстрацией совместной непротиворечивости ньютоновского уравнения импульса и максвелловских уравнений электромагнитного поля. Действительно, если учесть, что обе эти системы уравнений выражают фундаментальные законы природы, они должны быть совместно непротиворечивы. Другими словами, физические концепции, связанные с одной из них, должны согласоваться с физическими
концепциями, связанными с другой. Уравнения Максвелла вполне подходят для релятивистской теории, чего не скажешь об уравнениях Ньютона.
В силу этого совместимость данных систем в настоящем контексте рассматривается исключительно в рамках нерелятивистской теории (v c),
где актуальны обе эти системы.
Предположим, что плотность массы описывается непрерывной функцией ρ(r,t). На уровне жидкости функция ρ является гладкой, поэтому для
наших целей можно принять, что она изменяется лишь в макроскопическом
масштабе. С другой стороны, если рассматривать плазму (или любое другое вещество) в микроскопическом масштабе, то ρ является совокупностью
классических фундаментальных частиц, которые можно представить в виде
множества движущихся сфер с типичным диаметром порядка 10
чуть больше. Каждая частица соответствует пику на графике функции ρ
в трехмерном пространстве с плотностью ρ между частицами, равными нулю. Аналогичным образом с помощью пиков в положении каждой частицы
вводится плотность заряда δ(r,t). Пики в плотности массы ρ(r,t) и пики
в плотности заряда δ(r,t) связаны друг с другом силами, отличными от
электромагнитных, т.е. в одной частице плотность массы и плотность заряда каким-то образом объединяются и противостоят мощным электрическим
и магнитным силам, стремящимся рассеять δ(r,t). Таким образом, части-
ца имеет постоянное строение, причем функции δ(r,t) и ρ(r,t) состоят из
пиков, которые совпадают для обеих функций, и являются непрерывными
и ограниченными повсюду.
−13
см или
6.1. ТЕОРЕМЫ ПОЙНТИНГА О СОХРАНЕНИИ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 65
В терминах ρ и δ нерелятивистское уравнение импульса имеет вид
ρ(r,t)
dv
= δ(r,t)E(r,t)+
dt
v × B(r,t)
c
, (6.1)
где E + v × B/c — электрическое поле, действующее на частицу, которое мы опишем в следующей главе. В этом уравнении скорость частицы
v относится к скорости представляющего эту частицу пика в функциях ρ
и δ. Уравнение энергии получается из скалярного произведения скорости v
и уравнения импульса, что дает
ρ(r,t)
dν
= δ(r,t)v·[E(r,t)+v × B(r,t)]. (6.2)
dt
1
2
2
Теоремы Пойнтинга, определяющие плотность электромагнитной энергии,
плотность потока энергии и плотность импульса, получаются из описанных
в стандартных учебниках манипуляций с двумя этими выражениями при
использовании известных векторных тождеств.
Обратите внимание, что плотность электрического тока равна j(r,t)=
= δ(r,t)v, а вот слагаемое v·(v × B), конечно, тождественно равно нулю.
Используя уравнение (5.7), а затем уравнение (5.3), уравнение (6.2) можно
записать как
2
1
dν
= j · E =
ρ
2
dt
=
=
= −
= −
c
4π
c
4π
1
4π
∂
∂t
E·(∇×B) −
B·∇ × E −
∂B
B·
−∇·
∂t
2
2
+ B
E
8π
−∇·P,
2
∂
E
=
8π
∂t
c
∇·(E × B) −
4π
c
(E × B)−
4π
∂
∂t
∂t
∂
E
8π
2
E
8π
=
2
(6.3)
=
где вектор Пойнтинга P имеет вид
E × B
P = c
. (6.4)
4π
Тогда уравнение энергии (6.3) можно записать как
2
2
∂t
1
+
2
∂ν
1
ρ
2
ρν
2
∂ν
j
∂x
j
E
∂
+
∂t
+ B
8π
2
∂P
j
+
=0. (6.5)
∂x
j
66 ГЛАВА 6
Теперь для сохранения вещества умножим уравнение
∂ρν
∂ρ
∂t
2
/2 и сложим полученный результат с уравнением энергии, что дает
на ν
j
+
∂x
=0
j
∂U
= −∇ · P −∇·
∂t
1
2
ρν
v, (6.6)
2
где U — плотность энергии:
ρν
E
2
+
. (6.7)
8π
U =
1
2
2
2
+ B
Согласно уравнению (6.6), скорость изменения плотности энергии U во
времени равна отрицательной дивергентности суммарного потока энергии
1
P +
ρν2v. Другими словами, из общего вида уравнения (6.6) явствует, что
2
вектор Пойнтинга P следует понимать как поток энергии в электрическом
и магнитном полях, причем плотности энергий данных полей составляют
2
E
/8π и B2/8π, соответственно. С помощью простейших механических
манипуляций, произведенных над электрическим и магнитным полями, мы
уже показали, почему выражения E
2
/8π и B2/8π следует рассматривать
как плотности энергий соответствующих полей. На практике же это означает, что уравнения Ньютона и Максвелла совместимы, а поток электромагнитной энергии задается вектором Пойнтинга P.
На первый взгляд, создается впечатление, что данный вывод противоречит интуиции, ведь вектор Пойнтинга показывает, что перенос энергии
вдоль линии питания происходит в пространстве за пределами этой линии,
тогда как мы привыкли считать, что энергия переносится электрическим
током, текущим вдоль некоторой линии. Мы определяем отношение электрического потенциала к напряжению V , приложенному к этой линии, и полагаем, что каждый электрон проводимости обладает потенциальной энергией, равной −eV . Эта точка зрения описывает перенос энергии, но «при
ближайшем рассмотрении» физика оказывается совершенно иной. Вместо
неясной концепции потенциальной энергии −eV , мы имеем четкую картину, согласно которой энергия переносится в электрических и магнитных
полях, связанных с проволокой.
Наверное, сейчас вполне уместно отметить, что вышеупомянутые
уравнения остаются неизменными в нерелятивистском случае при их
6.1. ТЕОРЕМЫ ПОЙНТИНГА О СОХРАНЕНИИ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 67
усреднении на расстояниях, больших по сравнению с межчастичными, но
малых по сравнению с масштабом изменчивости макроскопических полей.
При этом из общей схемы выпадают локальные кулоновы поля, создаваемые отдельными ионами и электронами, поскольку их энергия обычно рассматривается как часть энергии покоя самих этих частиц. Таким образом,
крупномасштабные поля являются непрерывными и гладкими в отношении
отдельных пиков частиц по ρ и δ.
Перейдем теперь к уравнению импульса (6.1), отметив, что с помощью
уравнения (2.10) из него можно исключить плотность заряда. В результате
получаем
dν
dt
E∇·E
=
4/π
ρ
B∇·B
+
4/π
+
j × B
;(6.8)
c
сюда же для сохранения симметрии мы добавили еще и слагаемое по ∇·B
(равное нулю). Тогда, если с помощью уравнения (5.7) исключить j,получим с учетом уравнения (5.3)
E∇·E + B∇·B
dν
ρ
=
dt
=
∂B
−
=
−
∂t
4/π
(E∇·E + B∇·B
4/π
E
∂t
×
4πc
=
E∇·E + B∇·B
4/π
∂
P
.
2
c
(∇×B) × B
+
(∇×B) × B
+
(∇×B) × B +(∇×E) × E
+
Использовав векторное тождество
(∇×A) × A =(A ·∇)A −∇
это уравнение можно переписать в виде
dν
dt
∂∂tP
+
ρ
E∇·E +(E ·∇)E + B∇·B +(B ·∇)B
=
2
c
2
E
−∇
+ B
8π
2
.
4π
4π
4/π
4π
∂
∂t
B
×
4πc
E × B
4πc
=
−
∂E
−
∂t
−
(6.9)
−
1
2
A
,
2
−
(6.10)
68 ГЛАВА 6
Используя матрицу напряжений
M
ij
= −δ
E2+ B
ij
8π
iEj
+
4π
j
, (6.11)
2
E
+ BiB
получаем
dν
∂
i
ρ
+
dt
∂t
∂M
P
i
2
c
ij
=
. (6.12)
∂x
j
Очевидно, что здесь мы использовали матрицу напряжений Максвелла, которую получили ранее в уравнениях (2.15), (3.1) и (3.22) из простых физических соображений.
Левую часть уравнения (6.12) можно переписать, умножив уравнение
непрерывности на ν
и сложив его с уравнением (6.12), что даст
i
∂
∂t
ρν
P
+
i
c
∂M
i
2
ij
∂
−
=
∂x
j
ρνiνj. (6.13)
∂x
j
Очевидно, что выражение ρν
импульса, а P
/c2— плотность импульса, переносимого электромагнитным
i
+ Pi/c2представляет суммарную плотность
i
полем. Тогда следует обратить внимание, что плотность потока импульса
равна M
− ρνiνj, где первым слагаемым является напряжение Максвелла,
ij
а вторым — поток плотности импульса, переносимого совокупным движением ν
энергии P
нитном поле. Другими словами, для заданного потока энергии плотность
электромагнитного импульса мала O(ν
частиц или жидкости. Заметим также, что поток электромагнитной
i
равен произведению c2на плотность импульса в электромаг-
i
2/c2
), так что в нерелятивистской
динамике ею можно пренебречь.
6.2. Приложения
В магнитной гидродинамике, где E = −v × B/c, поток электромагнитной энергии P равен v
плазмы, вектор которой направлен перпендикулярно вектору напряженности магнитного поля, а B
ность электромагнитного импульса равна ν
ность импульса, переносимого плазмой, составляет ρv. Таким образом, очевидно, что электромагнитный момент имел бы ощутимое значение только в том случае, если бы поле было настолько сильным, что скорость
Альфана, B/(4πρ)
1/2
, т. е. скорость распространения крупномасштабных
B2/4π,гдеv⊥— это скорость всего объема
⊥
2
/4π — плотность магнитной энтальпии. Плот-
(B2/4πc2),тогдакакплот-
⊥
6.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЯ В ВЕЩЕСТВЕ 69
электромагнитных волн в плазме, была сравнима со скоростью света c,
а именно: при выполнении равенства B
2
/8π ≈ ρc2/2, так что плотность
энергии поля сопоставима с остальной энергией частиц или плазмы.
В качестве крайнего примера можно было бы привести магнитную
нейтронную звезду с магнитным полем, равным B =10
величины; плотность энергии такой звезды сравнима с плотностью всей
остальной энергии, равной примерно ρ ≈ 4 × 10
ность недр магнитной нейтронной звезды сравнима с ядерными плотностями, которые имеют порядок 10
нению с ρc
2
действительно мала. Однако характерный масштаб внешнего
14
г/см3, так что величина B2/8π по срав-
7
г/см3. Характерная плот-
магнитного поля нейтронной звезды сопоставим с радиусом этой звезды,
тогда как плотность ρ на ее поверхности быстро падает, а произведение ρc
15
Гс по порядку
2
быстро падает ниже B2/8π, так что вблизи ее поверхности МГД становится
релятивистской, и током смещения ∂E/∂t уже невозможно пренебрегать.
Динамика становится намного сложнее общеизвестной нерелятивистской
МГД, действующей во всем остальном мире.
6.3. Электрическое и магнитное поля в веществе
В присутствии диэлектриков иногда удобно использовать вектор электрического смещения D, определяемый как
D = E + 4πΠ, (6.14)
где Π — дипольный момент на единицу объема, обусловленный электрической поляризацией диэлектрика электрическим полем E.ПолеE деформирует каждую молекулу, превращая ее в крошечный электрический диполь
с дипольным моментом m. Если в единичном объеме содержится N таких поляризованных молекул, то Π = Nm. Неравномерная поляризация
создает локальную плотность электрического заряда δ = ∇×Π/4π,потому что «начала» и «концы» микроскопических диполей не полностью
уничтожаются противоположными зарядами, соответственно, концов и начал микроскопических диполей, соседствующих с ними как спереди, так
и сзади. Таким образом, наложение электрического поля E перпендикулярно пластине диэлектрика приводит к появлению на противоположных
гранях этой пластины плотностей поверхностного заряда +Π и −Π.Таким образом, электрическое поле E
величину ΔE =4πΠ, которая определяется поверхностным зарядом Π,
изображенном на рис. 6.1. Таким образом, в свободном пространстве за
внутри диэлектрика уменьшается на
D
70 ГЛАВА 6
пределами диэлектрика D = E, тогда как в пластине диэлектрика D =(E−
− ΔE)+4πΠ = E. Так что вектор D обладает очень удобным свойством
непрерывности по границе диэлектрика. Электрическое смещение D реагирует только на свободные заряды δ
, а связанные заряды описываются
f
включением Π,причем
∇·D =4πδ
Рис. 6.1. Схематическое изображение поля D = ED+4πΠ в пластине диэлектрика,
возникшего в результате приложения поля D = E.ПолеD одинаково как внутри,
так и снаружи диэлектрика
. (6.15)
f
Обращаясь к магнитному материалу, обратим внимание, что приложение внешнего магнитного поля B синхронизирует отдельные блуждающие токи спина электрона, движущиеся по орбите электроны и магнитные моменты молекул, создавая суммарный конвекционный ток. Каждый
ток I, циркулирующий по микроскопической площади A, создает в направлении, перпендикулярном поверхности A, дипольный момент IA/c,обо-
значаемый единичным вектором e. Суммирование по единичному объему,
в котором содержится N таких диполей, дает общий магнитный момент
M = eNIA/c на единицу объема. С этим локальным намагничиванием,
или циркуляцией тока, связан магнитный поток 4πM. Таким образом, если
бы существовала возможность как-то зафиксировать локальный магнитный
момент M на одном месте и отключить приложенное извне магнитное поле,
то осталось бы только магнитное поле 4πM, созданное локальной циркуляцией тока. Поэтому иногда бывает весьма полезно записывать общее поле
B в виде суммы 4πM и вектора H,гдеH — это составляющая полного
вектора B, связанная с электрическими токами, блуждающими где-то еще.
Таким образом, можно записать, что
B = H + 4πM. (6.16)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]