Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
9.3. ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ МАГНИТНОЙ ДИФФУЗИИ 121
В сущности, размер скин-поля должен быть сравним с половиной глубины
конвективной зоны или с шириной полосы тороидального магнитного поля, составляющего l =1×10
В силу вышесказанного коэффициент диффузии должен равняться пример-
11см2
но 10
/с. Однако в глубине конвективной зоны, где предположительно
действует динамо, T имеет порядок 10
диффузии η равен всего 4 × 10
ров под видимой поверхностью, где T составляет всего 10
диффузии равен 4 × 10
10
за одиннадцатилетний солнечный полуцикл.
6
3см2
6см2
/с. Таким образом, здесь мы имеем дело с ка-
K, а коэффициент резистивной
/с. Даже в нескольких сотнях километ-
4
K, коэффициент
чественной задачей. Обыкновенно считается, что турбулентная диффузия
магнитных полей преобладает над обычной резистивной диффузией. Выражение турбулентности через длину перемешивания, т.е. размерностный
анализ турбулентной конвекции под верхними слоями Солнца, дает фактический турбулентный коэффициент диффузии η
≈ 0,1lv для вихрей мас-
t
штаба l с характерной скоростью v. Так, например, гранулы на видимой поверхности имеют размеры порядка 500 км и характерные скорости порядка
0,5 км/с, что дает расчетный коэффициент диффузии η
≈ 2,5 × 1011см2/с.
t
В более глубоких слоях конвективной зоны масштаб l увеличивается, а скорость уменьшается, в результате чего магнитное число Рейнольдса остается
близким к 10
11
см/с, значительно уменьшаясь только по мере приближения
к нижней части зоны конвекции. Таким образом, магнитное поле Солнца
вполне может создаваться и преобразовываться турбулентной диссипацией
каждые 11 лет.
К сожалению, концепция турбулентной диффузии становится сложной
для понимания (Parker, 2001), когда осознаешь, что наблюдаемый запас магнитного потока в активных областях (Gaizauskas et al., 1983) за год превосходит 10
23
максвеллов. Если только Солнце не имеет какого-то хитрого
способа переработки магнитного потока, это означает, что в азимутальном
магнитном поле в основании конвективной зоны, где этот поток может накапливаться, содержится более 10
щади поперечного сечения, равной 5 × 10
23
максвеллов. На меридиональной пло-
9
см на 1 × 1010см (около 20
широты), это требует среднего значения поля не меньше 2 × 103Гс. Это
значение довольно близко к величине максимального поля, соответствующего энергии равнораспределения (составляющей 3 × 10
3
Гс), при котором максвелловские напряжения поля не меньше напряжений Рейнольдса
в случае с конвективной турбулентностью. Так каким же образом конвекция
способна свободно смешивать и рассеивать среднее крупномасштабное поле? Любое завихрение в поле значительно увеличивает его напряженность,
которая уже и так почти находится в равнораспределении с турбулентностью.
◦
122 ГЛАВА 9
Та же дилемма возникает и в случае с галактическим динамо, для которого необходим коэффициент диффузии порядка 10
о длине перемешивания вытекает коэффициент турбулентной диффузии,
равный примерно 0,3×10
25см2
/с; в его основе лежат характерный масштаб
l =10пк и характерная межзвездная турбулентная скорость v =10км/с.
Магнитное поле галактики имеет порядок 4 × 10
25см2
/с. Из теории
−6
Гс, что опять-таки сравнимо с полем равнораспределения с энергией межзвездной турбулентности.
Таким образом, у нас нет ни малейшего представления о том, каким образом может происходить значительное турбулентное перемешивание. Логично предположить, что определенную динамическую роль могут играть космические лучи, раздувая неустойчивое поле галактики и вытягивая некоторые области поля от газового диска, в результате чего образуется галактическое гало. Не исключено, что быстрое пересоединение между соседними
биполярными областями обеспечивает необходимое рассеяние и истечение
магнитного потока (Parker 1992). Однако это всего лишь наши домыслы.
Самое главное заключается в том, что до понимания αω-динамо в контексте звезд и галактик нам пока что далеко. Но каким образом мы сможем
применять динамо к множеству неразрешаемых, но магнитно-активных
объектов, наблюдаемых в космосе, не обладая полным пониманием принципа его действия?
9.4. Обсуждение
Подводя итоги нашего разговора, отметим, что магнитное и электрическое поля в космосе имеют замечательный вид. В каждой движущейся
системе отсчета (v c) имеется магнитное поле, определенное единственно возможным образом, причем B
отличаются в каждой из различных движущихся систем отсчета. Электрическое поле в бурлящей неоднородной системе отсчета, связанной с движущейся плазмой, непременно равно нулю, но, по определению, в любой
заданной точке в любой системе отсчета при скорости −v относительно
плазмы электрическое поле имеет вид E = −v × B/c. Таким образом,
электрическое поле лаборатории E определяется выбором системы отсчета, связанной с лабораторией.
Как мы уже отмечали, динамика описывается уравнениями (9.2)
и (9.5), так что результат определяется взаимодействием инерции скорости
плазмы v, давления плазмы p
поле. Начальные условия, вкупе с граничными условиями на v и B позволяют описать динамическое состояние системы единственно возможным
образом.
= B, тогда как электрические поля
и напряжения Максвелла Mijв магнитном
ij
9.5. ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННЫЕ ГАЗЫ 123
Кроме того, иногда встречается мнение, что электрический ток j и
электрическое поле E тоже необходимо рассматривать с их собственными особыми граничными условиями (см. Melrose, 1995; Parks, 2004). Такое
произвольное мнение никоим образом не учитывает того, что граничные
условия, которые мы накладываем на v и B, уже способствовали определению единственно возможного решения, так что смысла накладывать
еще какие-то независимые граничные условия уже нет (Parker, 1996b). Как
бы то ни было, сторонники такого мнения без труда выяснят, что j и E
несложно получить из решений для v и B, а граничным условиям для j
и E автоматически удовлетворяют решения уравнений (9.2) и (9.5), в основе которых лежат граничные условия для v и B. Такая непротиворечивость
является универсальным свойством физики, и в ее отсутствие между фундаментальными законами физики существовали бы неразрешимые противоречия, а это означало бы, что некоторые из этих законов сформулированы
неправильно.
Теперь настало время обратиться к различным условиям, при которых
магнитная гидродинамика может применяться в астрономическом масштабе. Прежде всего, рассмотрим динамику магнитного поля в газе, который
ионизован довольно слабо, и покажем, что в условиях достаточного количества свободных электронов, способных обеспечить высокую электропроводность, магнитная гидродинамика вполне применима в крупных масштабах. Эффект Холла, коэффициент диффузии Педерсона (амбиполярная
диффузия) и обычное удельное сопротивление — это всего лишь небольшие
эффекты, которые имеют место в крупномасштабных магнитных полях. Затем мы рассмотрим идеальный случай бесстолкновительной плазмы, где не
существует резистивной диссипации и электрические токи не получаются
просто из наличия электрического поля E
в локальной системе отсчета,
связанной с движущейся плазмой. В результате, некоторые авторы были
озадачены тем, как в таких условиях удовлетворить закону Ампера. Однако беспокоиться здесь, конечно, не о чем, потому что как закон Ампера,
так и уравнения Максвелла — это фундаментальные законы природы, в силу чего они не нарушаются никогда. Однако посмотреть, каким образом
на самом деле возникает автоматическая согласованность законов Ампера
и Максвелла, довольно любопытно.
9.5. Частично ионизованные газы
Некоторая часть газа в космосе ионизована частично, тогда как другая его часть ионизована лишь слегка, поэтому, помимо простого удельного сопротивления, учтенного в уравнениях магнитогидродинамической
124 ГЛАВА 9
индукции (9.5) и (9.8), имеет место также ряд других эффектов. Одним из
примеров таковых служит ионосфера Земли, где степень ионизации увеличивается от нуля в верхних областях стратосферы до практически полной
ионизации на высоте 10
3
км. Чтобы увидеть эффекты важного нейтрального компонента, обратимся к трехкомпонентному газу, но сделаем некоторое
упрощение, а именно: газ ионизован очень слабо, в силу чего нейтральный
компонент представляет основную плотность массы.
Обозначим плотность числа молекул нейтрального газа через N , массу молекулы через M , а локальную среднюю скорость нейтрального газа
через v. Каждый из ионов потерял один электрон массой m( M ),такчто
плотность числа ионов и электронов составляет n( N ),чтопозволяет
сохранить общую электронейтральность. Предположим, что средняя скорость всей совокупности ионов равна w,тогдакакu обозначает скорость
только электронов (не путать с используемой в восьмой главе u = v + w).
Нейтральный газ связывается с электронами и ионами в результате столкновений между частицами, поэтому уравнение движения для нейтрального
газа можно записать как
NM
dv
= −∇p +
dt
nM(w − v)
τ
i
nm(u − v)
+
τ
+ N F, (9.13)
e
где p — это давление изотропного газа, а F — любая внешняя сила, например, тяготение, приложенная к отдельной молекуле. Время, за которое
ион совершает столкновение с нейтральным атомом обозначается через τ
тогда как время, за которое электрон сталкивается с нейтральным атомом,
обозначается через τ
. Мы вновь описываем столкновительное взаимодей-
e
ствие между разными видами частиц, используя модель простого линейного трения.
Уравнение движения ионов можно записать как
nM(w − v)
−
τ
−
i
(9.14)
—этолю-
i
+ nf
w × B
c
,
i
nM
dw
dt
= −∇p
nm(w − u)
−
+ neE +
i
τ
где τ — это время, за которое электрон сталкивается с ионом, а f
бая внешняя сила, приложенная к отдельному иону. Давление ионов обозначается через p
необходимости, очевидно. Среднее электрическое поле E
и считается изотропным. Обобщение на тензор pij, в случае
i
, которое ощуща-
ет ион, имеет вид E + w × B/c.
,
i
9.5. ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННЫЕ ГАЗЫ 125
Для электронов
nm
где p
du
= −∇p
dt
— давление электронов, а среднее электрическое поле E
e
− neE +
e
u × B
c
nm(u − v)
−
+
τ
e
nm(w − u)
+
+ nf
, (9.15)
τ
e
, которое
e
ощущают электроны, имеет вид E + u × B/c. Внешняя сила, действующая
на отдельный электрон, обозначается через f
.
e
В простейшем случае мы пренебрегаем инерцией ионов и электронов,
а также их давлением. Другими словами, мы считаем электроны и ионы
холодными, а их движение управляемым, главным образом, силой Лоренца, покуда они связаны с относительно плотным нейтральным газом через
столкновительное трение. В силу вышесказанного, для последующих алгебраических манипуляций было бы удобно ввести небольшие величины
dw
nG = −∇p
nH = −∇p
− nM
i
− nm
e
dt
du
dt
+ nf
, (9.16)
i
+ nf
. (9.17)
e
Теперь мы решаем уравнения движения для ионов и электронов, а также закон Ампера для u, w и электрического поля E. Таким образом, u и w
можно исключить из уравнения (9.13), которое описывает движение нейтрального газа. Подставляя E в уравнение индукции Фарадея, мы получаем
уравнение для ∂B/∂t.
Для начала отметим, что плотность электрического тока равна j =
= ne(w − u), поэтому закон Ампера, выражаемый уравнением (3.11), принимает вид
u = w −
c∇×B
4πne
. (9.18)
Сложим теперь уравнения движения ионов и электронов, что в результате
даст
nM(w − v)
τ
i
nm(u − v)
+
j × B
τ
=
e
+ nG + nH. (9.19)
c
Принимая во внимания это выражение для столкновительных слагаемых,
при использовании закона Ампера для замены j на ∇×B уравнение движения (9.13) для нейтрального газа примет вид
NM
dv
= −∇p +
dt
(∇×B) × B
4π
+ N F + nG + nH. (9.20)
Поправка на приложенную силу F, как мы и ожидали, имеет вид n(G +H).
126 ГЛАВА 9
Следующим шагом будет решение уравнений (9.18) и (9.19) для u и w,
что дает
где Q = M/τ
cm/τ
w = v +
u = v −
+ m/τe. Затем решим уравнение движения для ионов (9.14)
i
4πneQ
cM/τ
4πneQ
e
∇×B +
i
∇×B +
(∇×B) × B
4πnQ
(∇×B) × B
4πnQ
+
+
G + H
Q
G + H
Q
, (9.21)
, (9.22)
и получим электрическое поле E:
E = −
G
w × B
−
e
c
w
+
M
e
τ
m
−
i
m
+
τ
eτ
u −
M
eτ
v.
i
Далее используем уравнения (9.21) и (9.22) для исключения w и u,получив
E = −
+
+
v × B
c
(M/τ
4πneQ
HM/τ
eQ
+
4πne
− m/τe)
i
i
−
c
m
τ
2
(∇×B) × B −
Gm/τ
e
−
eQ
(m/τ
)(M/τi)
+
e
Q
(H + G) × B
cQ
∇×B+
[(∇×B) × B] × B
4πncQ
.
(9.23)
+
Вклад, вносимый G и H, отражается здесь совершенно явным образом
в сравнении с другими слагаемыми, а величину этих параметров вполне
можно оценить, чтобы решить, можно ли ими пренебречь. Их главное действие относится к силе тяготения, а также давления ионов и электронов.
Чтобы чрезмерно не удлинять уравнения, на данном этапе мы отказываемся от использования G и H и далее будем рассматривать только основные
вклады от эффектов Ома, Холла и Педерсена. Читатель может без труда
довести вычисление с использованием G и H до логического конца, если
у него есть такое желание.
Для удобства дальнейших вычислений введем коэффициенты α, β, η,
а также коэффициент Холла в виде
α = cB
M/τ
− m/τ
i
4πneQ
e
(9.24)
9.5. ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННЫЕ ГАЗЫ 127
и коэффициент Педерсена
β =
. (9.25)
4πnQ
2
B
Удельное сопротивление Педерсена — это второе название амбиполярной
диффузии, которая получается из-за того, что сила Лоренца, (∇×B)×B/4π,
действует только на ионы и электроны, тем самым побуждая их двигаться
через нейтральный газ в противовес сопротивлению трению, что можно
увидеть в правой части уравнений (9.14) и (9.15) (см. Parker, 1979, стр. 45,
117). В результате, магнитное поле медленно скользит через нейтральный
газ по мере продвижения в нем электронов и ионов.
Коэффициент резистивной диффузии Ома определяется как
. (9.26)
η =
2
c
4πne
)(M/τi)
(m/τ
m
+
τ
2
e
Q
Величина B, введенная в коэффициент Педерсена, выражает заданную характерную напряженность поля; она необходима для сравнения эффектов
Холла, Педерсена и Ома. Запишем безразмерное магнитное поле в виде
b = B/B,такчто
B
E =
−v × b + η∇×b + α(∇×b) × b−
c
− β[(∇×b) × b] × b. (9.27)
Подставляя это выражение вместо E в уравнение индукции Фарадея, получаем
∂b
= ∇×(v × b) −∇×(η∇×b) −∇×[α(∇×b) × b]+
∂t
+ ∇×{β[(∇×b) × b] × b}. (9.28)
Здесь удобно ввести безразмерную силу Лоренца
(∇×b) × b
L =
4π
, (9.29)
чтобы показать ее роль в эффектах Холла и Педерсена. Тогда электрическое
поле, уравнение (9.27), принимает вид
B
E =
(−v × b + η∇×b + αL − βL × b), (9.30)
c
128 ГЛАВА 9
а уравнение индукции (9.28) превращается в уравнение
∂b
= ∇×(v × b) −∇×(η∇×b) −∇×αL + ∇×[β[L × b]. (9.31)
∂t
Эффект Холла является следствием существования в направлении L электрического поля, необходимого для сохранения электрической нейтральности. Из уравнения (9.24) явствует, что коэффициент α появляется из-за
разницы в сопротивлении трению ионов и электронов при их движении
между нейтральными молекулами, M/τ
− m/τe. Таким образом, при усло-
i
вии совместного движения ионов и электронов под действием силы L внаправлении их движения должно существовать электрическое поле. Эффект
Педерсена (амбиполярная диффузия) обусловлен дрейфом ионов и электронов между нейтральными молекулами, движущимися под действием силы
Лоренца. Магнитное поле совершает работу над ионами и электронами,
проталкивая их через нейтральный газ с силой L, а эффект Педерсена представляет собой потерю магнитной энергии в процессе выполнения полем
этой работы.
Чтобы вывести все вышесказанное непосредственно из уравнений, отметим, что уравнение магнитной энергии вытекает из скалярного произведения b и уравнения индукции:
4π
2
−
(9.32)
2
∂
b
= − L · v − 4πβL
8π
∂t
−∇·(ηL + βb
η(∇×b)
2
−
2
L + αL × b.)
Первое слагаемое в правой части уравнения представляет работу, произведенную над ионами и электронами силой Лоренца L. Вторым слагаемым является работа, выполненная движением ионов и электронов через
нейтральную составляющую. Это слагаемое содержит квадрат L,потому
что скорость этого движения пропорциональна L, поэтому скорость выполнения работы пропорциональна L
2
. Третьим слагаемым является общеизвестная резистивная диссипация. Четвертое слагаемое представляет собой
дивергенцию потока энергии
2
W = ηL + βb
L + αL × b.
Если произведение ∇·W проинтегрировать по объему V , настолько большому, что магнитное поле исчезает по всей поверхности V , то поверхностный интеграл W, равно как и объемный интеграл ∇·W превращаются
9.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ ЗАКОНУ АМПЕРА 129
в ноль. Следовательно, W выражает перенос энергии в объеме V ,причем суммарной потери энергии не происходит. Эффект Холла не выражает
суммарной диссипации и отвечает только за перенос и перераспределение
энергии в объеме поля в целом.
Важный момент заключается в том, что диссипативные эффекты диффузии Ома и Педерсена, равно как и недиссипативный эффект Холла включают в себя две пространственные производные, т. е. второй порядок ∇ или
в обратном крупномасштабном отношении 1/l. В то же время слагаемое,
выражающее индукцию, ∇×(v×b),содержитлишь∇ первого порядка. Таким образом, в динамике крупномасштабных полей главенствующую роль
играет индукция, так что мы вновь имеем дело с своей старой знакомой —
магнитной гидродинамикой. И только в предельных случаях коэффициенты α, β и η достаточно велики, а масштаб l достаточно мал, чтобы оказать
какое-либо влияние на динамику в целом. Нечего и говорить, что на малых
расстояниях, которые встречаются на фронтах ударных волн, в токовых
слоях при магнитном пересоединении, лабораторных экспериментах и т.п.,
влияние α, β и η может быть весьма существенным.
9.6. Электрический ток, удовлетворяющий закону Ампера
Вот и настал подходящий момент рассмотреть один вопрос, который
иногда возникает при работе с магнитным полем B и скоростью плазмы v,
а именно: как можно быть уверенным, что закон Ампера, выраженный
уравнением (3.2) или (3.11), удовлетворен? Для начала отметим, что если
вектор электрического тока j параллелен ∇×B, но не дотягивает до нужного значения и, соответственно, не удовлетворяет закону Максвелла, —
скажем,
4πj = c∇×B(1 − ε),
где ε 1, — то уравнение Максвелла (6.7) принимает вид
∂E
= εc∇×B,
∂t
т. е. E быстро растет с течением времени из-за необходимости продвинуть
в направлении ∇×B большее количество тока, чтобы удовлетворить закону
Ампера. Увеличение E происходит безгранично, пока не будет удовлетворен закон Ампера. Таким образом, в столкновительной плазме проблем нет.
В разделе 1.3 мы говорили о том, что обычно электропроводность велика настолько, что даже совсем слабого электрического поля E
достаточно
для получения тока, удовлетворяющего закону Ампера. Более интересная
130 ГЛАВА 9
ситуация возникает в случае идеальной бесстолкновительной плазмы, где
отсутствуют закон Ома, а каждый ион и электрон следует по своей собственной неизменной траектории, предопределенной ньютоновскими уравнениями движения. Что же происходит в этом случае?
Параллельно магнитному полю электрическое поле легко ускоряет
многочисленные ионы и электроны, в результате чего возникает необходимый электрический ток (согласно принципу, описанному в разделе 1.3).
Динамика в двух поперечных направлениях гораздо сложнее. Общее движение заряженной частицы с массой m изарядомq отражено в приложении
C для произвольного поля E(t), перпендикулярного B. На данном этапе
мы должны обратить более пристальное внимание на суммарный эффект,
создаваемый движением частиц. Так, при медленно изменяющемся однородном магнитном поле B(t) в направлении z и медленно изменяющемся
однородном электрическом поле E(t) в направлении x мы имеем
2
x
2
d
=
dt
2
y
2
e
m
= −Ω(t)
E(t)+Ω(t)
d
dt
dy
, (9.33)
dt
dx
, (9.34)
dt
где циклотронная частота задается выражением Ω(t)=qB(t)/vc.Разделим
уравнение (9.33) на Ω(t) иполучим
2
1
Ω(t)
E(t)
x
d
= c
2
dt
B(t)
dy
+
. (9.35)
dt
Усредним это уравнение на циклотронный период, используя медленное
изменение крупномасштабных полей E(t) и B(t). Левая часть уравнения,
ответственная за быстрые колебания, обращается в ноль, так что остается
лишь
dy
dt
= −c
E(t)
. (9.36)
B(t)
Это так называемая скорость электрического дрейфа u, которую в общем
случае можно записать как
E × B
u = c
. (9.37)
2
B
Эта средняя скорость дрейфа не зависит от заряда, причем как электроны,
так и ионы принимают в дрейфе равное участие, поэтому скорость дрейфа
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]