Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
3.5. ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 51
в соленоиде. Количество полос, смещенных из-за этой разности фаз, равно S/h.
Важно, что система электронных полос смещается из-за присутствия
магнитного потока Φ между двумя половинками пучка, даже если электроны не проходят через магнитное поле. Магнитного поля нет в объеме,
пронизываемом электронным пучком. Электронный пучок ощущает присутствие в соленоиде магнитного поля через векторный потенциал А,создающий относительную разность фаз волновой функции при обходе соленоида с двух сторон.
В классической (в отличие от квантово-механической) физике, которая
является предметом наших «Бесед», векторный потенциал А представляет собой всего лишь математически удобный способ описания магнитного
поля B (= ∇×A), гарантирующий, что для любого А ∇·B =0.Век-
торный потенциал, в отличие от электрического поля E и магнитного поля B, обеспечивающих напряжение и плотность энергии в каждой точке,
не обладает непосредственным физическим присутствием. Таким образом,
физический эффект Ааронова–Бома является квантово-механическим проявлением векторного потенциала, несмотря на то, что в классическом мире
векторный потенциал неизмерим. Электроны не ощущают магнитного поля как такового, однако общий магнитный поток проявляет себя в сдвиге
интерференционных полос.
Ааронов и Бом заметили, что аналогичный эффект получается при расщеплении электронного пучка надвое, причем каждый из получившихся
пучков проходит через две длинные тонкие параллельные клетки Фарадея (металлические трубки), электрические потенциалы которых различаются на Δφ. Разность фаз, возникающая между электронными пучками,
равна (2πe/h)dt Δφ(t). Далее обе половинки электронного пучка, про-
шедшие электрическое поле в клетках Фарадея с разными электрическими
потенциалами, падают на фосфоресцирующий экран. Отметим, что краевые эффекты не зависят от времени прохождения через две клетки Фарадея
с заданной разностью потенциалов. Кроме того, клетки Фарадея, в принципе, могут иметь произвольную длину, обеспечивая произвольно большую
разность фаз, при которой краевыми эффектами можно пренебречь.
Чтобы получить некоторое представление о величине эффекта Ааронова–Бома, отметим, что смещение фазы равно
2πS
=1,5 × 10
h
где Φ измеряется в максвеллах. Смещение составляет S/h =2,5 × 10
7
Φ радиан,
6
полос, так что описываемый эффект обнаруживается при работе с очень
Φ
52 ГЛАВА 3
маленькими магнитными потоками, позволяющими сосчитать количество
смещенных полос. Данный эффект был обнаружен и подтвержден в лаборатории, благодаря изобретательности нескольких экспериментаторов (см.
Rohrlich and Chambers, 1960; Olariu and Popescu, 1985; Tonomura et al.,
1986), разработавших крохотные магнитные системы, позволяющие проецировать интерференционные полосы, причем авторы третьей ссылки
окружили эту микросистему микросверхпроводящим экраном для того,
чтобы убедить критиков в отсутствии случайных магнитных полей.
ГЛАВА 4
Линии поля
4.1. Основные положения
Около полутора столетий назад Майкл Фарадей обратил внимание на
важность концепции линий поля при изображении формы поля: как электрического, так и магнитного. Сюда же мы могли бы отнести и гравитационные поля, хотя в общем случае эти поля очень близки по форме к радиальным, и теоретики обращаются к ним лишь при изучении статического гравитационного состояния в рамках ньютоновской механики. В то же
время магнитные линии, переносимые целиком крупномасштабной движущейся плазмой, являются основой основ в магнитогидродинамике космоса.
Линии любого векторного поля B
ференциальных уравнений
Переходя к длине дуги ds вдоль магнитной линии, это же уравнение можно
записать как
где B — значение напряженности поля B
ну B
заменить на Ei, то, естественно, получатся линии электрического
i
поля. Читатель, скорее всего, знаком с линиями радиального поля, создаваемого точечным зарядом, замкнутой петлей линий диполя, а также двойными петлями линий квадруполя и т. д.
Полевую линию можно описать как путь, который проходит точечный
заряд, двигаясь в направлении локального поля B
ный заряд (электрический или магнитный), погруженный в вязкую жидкость, в силу чего он очень медленно движется под действием силы, которую прикладывает к нему поле (инерцией движущейся частицы и захва-
образуют семейство решений двух диф-
i
dy
dx
B
=
x
dx
i
ds
dz
=
B
y
=
. (4.1)
B
z
B
i
, (4.2)
B
. Если в этих уравнениях величи-
i
. Таким образом, точеч-
i
54 ГЛАВА 4
ченной жидкости мы пренебрегаем), следует по полевой линии. Небольшой электрический или магнитный диполь, имеющий возможность свободно раскачиваться относительно своего положения в пространстве, в месте своего положения ориентируется по направлению поля. Таким образом,
магнитную линию можно отобразить, если диполь непрерывно движется
именно в том направлении, в котором он ориентирован.
Как мы уже отмечали, ничтожно малое количество магнитных монополей во Вселенной свидетельствует о том, что ∇·B =0в отличие от
условия ∇·E =4πδ, справедливого для электрического поля. Поскольку
линии любого поля начинаются и заканчиваются исключительно зарядом,
значит линии магнитного поля не имеют ни начала, ни конца. В двумерном
пространстве линии магнитного поля замыкаются либо сами на себя, либо
простираются в бесконечность. В трехмерном пространстве космоса магнитные линии замыкаются сами на себя только в полях со специальными
симметриями, которые эффективно сводят топологию поля к двум измерениями. Таким образом, в природе линии практически всех полей либо замыкаются в бесконечный круг, приближаясь к эргодической топологии, либо простираются в бесконечность. Вероятность того, что магнитная линия
замкнется на саму себя, ничтожно мала, поскольку для этого, закручиваясь
одно- или многократно, эта линия должна непременно встретить самое себя. Вероятность подобной встречи, естественно, равна нулю (Parker, 1979,
стр. 275–279; 1994, стр. 101–104).
Не так уж редко можно прочитать или услышать, будто равенство
∇·B =0означает, что магнитные линии замкнуты сами на себя в трех-
мерном пространстве. Такая идея продолжает жить, вероятно, лишь в силу
того, что в ее основу положено обсуждение и изображение в учебниках по
магнетизму магнитных линий исключительно точной аналитической формы.
Неоднократно упомянув об отсутствии магнитных монополей, отметим, что для некоторых целей весьма полезным локальным рабочим приближением к таковым служит открытый конец длинного, тонкого, плотно
намотанного соленоида. Обозначим длину такого соленоида через L,аего
небольшой радиус — через ε. Суть в том, что магнитное поле распространяется радиально во всех направлениях от открытого конца соленоида, изображенного на рис. 4.1. Поле, создаваемое противоположным концом соленоида, мало O(ε
2/L2
) по сравнению с полем, которое создает его открытый
конец, так что отклонение поля от радиального становится существенным
лишь на радиальном расстоянии r от открытого конца соленоида, составляющем значительную часть его длины L.Вдиапазонеε<r L напряженность радиального поля B(r) достаточно точно выражается отношени-
4.2. ОПТИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ 55
Рис. 4.1. Схема линий радиального магнитного поля, исходящих от концов тонкого,
плотно намотанного соленоида длинной L, большей по сравнению с его радиусом ε
ем Φ/4πr2,гдеΦ — полный магнитный поток, содержащийся в соленоиде
и истекающий из его открытого конца.
Ясно, что семейство решений уравнений (4.1) или (4.2) является всюду
плотным, поскольку магнитное поле представляет собой континуум. Этот
момент, как ни странно, очевиден далеко не для всех. Так, несколько лет
назад автору предложили написать статью о линиях магнитного поля, топологии магнитных линий в трехмерном пространстве и той фундаментальной концептуальной роли, которую они играют в совместном движении
с проводящей жидкостью в магнитогидродинамике. Статью эту мне предложили поместить в American Journal of Physics как наиболее подходящем
для этого издании. Статья была написана и отправлена в журнал, но через
некоторое время редактор вернул ее мне с однозначным отказом, основанным на заключении одного из рецензентов, считавшегося «специалистом
по магнетизму». Этот рецензент попросту написал, что сама идея о магнитных линиях не выдерживает никакой критики, ибо каждый, кому хоть
что-либо известно о магнетизме, прекрасно понимает, что магнитное поле
представляет собой континуум, а не множество струн.
4.2. Оптическая аналогия
Принцип расположения отдельной магнитной линии в некоторой области поля B
1991, 1994, глава 7) для случая безвихревого поля, т.е. когда поле можно описать градиентом скалярной величины. Данное описание применимо
к любым электростатическим полям и ко всем областям с безвихревым
магнитным полем, т. е. не содержащим электрических токов, текущих пер-
(r) можно описать с помощью оптической аналогии (Parker,
i
56 ГЛАВА 4
пендикулярно этому полю. Как мы увидим в шестой главе, вышесказанное
справедливо для любого потока через поверхность так называемого без-
силового равновесного магнитного поля, в котором дивергенция ∂M
ij
/∂x
тензора напряжений Mijравна нулю, потому что вихрь не перпендикулярен, а параллелен вектору напряженности магнитного поля.
Используя в качестве примера магнитное поле B
B
= −∂φ/∂xi. Тогда уравнения магнитной линии имеют вид
i
,предположим,что
i
j
∂φ
i
= −
∂x
=(∇φ)2.
, (4.3)
i
где
dx
B
ds
2
B
Это уравнение имеет такой же вид, будучи записанным в форме уравнения
эйконала
ds
∂ψ
i
=
∂x
i
(4.4)
dx
n
для траекторий оптического луча волны exp iψ в среде с неоднородным коэффициентом преломления n (см. Born and Wolf, 1975). Уравнение эйконала
получается из того, что траектория луча по направлению совпадает с градиентом фазы волны ψ, а скорость, с которой фаза волны движется вдоль
траектории луча, пропорциональна волновому числу, а следовательно, и n.
Таким образом, (∇ψ)
2
= n2.
Если сравнить уравнения (4.3) и (4.4), становится очевидно, что линия
поля проходит сквозь рассматриваемую область поля подобно оптическому
лучу при коэффициенте преломления, пропорциональном напряженности
B(r) поля B
(r). Таким образом, к магнитной линии применимы законы
i
преломления Снеллиуса, а также принцип Ферма, согласно которому магнитная линия, соединяющая точки 1 и 2, следует траектории, для которой
интеграл от B является экстремумом (как правило, минимумом):
2
δ
dsB(r)=0. (4.5)
1
Тогда данную траекторию можно описать с помощью уравнений Эйлера.
Двумерное поле B(x, y) на плоскости требует выполнения равенства
2
δ
1
dx1+y
1/2
2
B(x, y)=0 (4.6)
4.2. ОПТИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ 57
при использовании x в качестве независимой переменной и при y≡ dy/dx.
Уравнение Эйлера имеет вид
dx
d
(1 + y
y
B(x, y)
2)1/2
− (1 + y
2)1/2
∂B
=0, (4.7)
∂y
причем его можно записать как
y
1+y
∂ ln B
+ y
2
∂x
−
∂ ln B
=0. (4.8)
∂y
В полярных координатах (, ϕ),когда выступает в качестве независимой
переменной, имеем
2
2)1/2
2)1/2
ϕ
− (1 +
− (
B(, ϕ)=0, (4.9)
∂B
2
2
=0. (4.10)
)
∂ϕ
∂B
=0. (4.11)
∂
2
+
ϕ
2)1/2
δd(1 +
где ϕ
≡ dϕ/d. Тогда уравнение Эйлера принимает вид
d
d
С другой стороны, если независимой переменной является ϕ,топри
≡ d/dϕ мы имеем
2ϕ
(1 + 2ϕ
B
d
dϕ
(2+
B
2)1/2
Теперь, когда нам известно поле B
(r), магнитные линии проще все-
i
го вычислить из уравнений (4.1) или (4.2). Однако в МГД, где известна
топология поля, но не точный вид B
(r), эффективным инструментом для
i
работы с разрывами в поверхностях, на которых лежат линии тока, и связанных с ними поверхностях тангенциального разрыва является оптическая
аналогия. Кроме того, она оказывается полезной для изучения пути отдельной тонкой магнитной трубки, смещенной в результате движения оснований трубки (как, например, на поверхности Солнца) с исходной траектории в равновесном окружающем поле, см. рис. 4.2. Ведь если принять, что
магнитный пучок не скручен, значит его внутреннее поле не содержит вихрей, в силу чего к нему применима оптическая аналогия. Если внутреннее
58 ГЛАВА 4
Рис. 4.2. Схематическое изображение магнитного пучка, смещенного относительно
структуры окружающего биполярного магнитного поля
поле описывается скалярным потенциалом φ, то для компенсации давления между внутренним полем магнитного пучка и внешним полем B мы
должны записать (∇φ)
2
= B2. Если во внешнем поле присутствует еще
и давление газа P (превышающее давление газа, существующее в магнитном пучке), которое тоже необходимо включить в расчеты, то равновесие
будет возможно лишь при выполнении равенства (∇φ)
что это уравнение эйконала для эквивалентного показателя преломления
(B
2
+8πP)
1/2
(см. Parker, 1994, стр. 219–224; 1996a, раздел 6.2). Обрати-
2
= B2+8πP.Ясно,
те внимание, что если смещенный магнитный пучок обладает внутренним
давлением газа, превышающим внешнее давление, то действительное значение P может быть отрицательным. Концепция смещенных магнитных
пучков играет важную роль в понимании мелкомасштабной внутренней
структуры биполярных магнитных полей, распространяющихся от поверхности Солнца, поскольку нужно помнить, что основания магнитных линий
этих крупномасштабных полей на видимой поверхности фотосферы состоят из сотен и тысяч отдельных крошечных, но очень мощных магнитных
пучков, которые переносятся более или менее независимо друг от друга
в ходе подповерхностной конвекции.
ГЛАВА 5
Уравнения Максвелла
Теперь, когда мы рассказали о свойствах квазистационарных (безызлучательных) электрического и магнитного полей, логично будет перейти
квременн´ым уравнениям Максвелла (1.5) и (1.6). Мы использовали уравнения Максвелла в своем рассуждении и до текущего момента, вернее,
мы применяли закон индукции Фарадея при обсуждении квазистатических
уравнений поля. Однако, автор склонен считать, что более подробное описание основ для окончательного обобщения электромагнитных уравнений
Максвелла будет только на пользу.
Закон индукции Фарадея уходит своими корнями в открытие, которое этот ученый сделал опытным путем, а именно: что электродвижущая
сила V , возникающая в проволочной петле, пропорциональна временн´ой
скорости изменения во времени dΦ/dt суммарного магнитного потока Φ,
проходящего через эту петлю, т.е.
1
V =
куда мы вписали коэффициент пропорциональности 1/c в единицах СГС.
Электродвижущая сила V , которая действует в замкнутом контуре Γ,определяется как
V =
где интеграл берется по замкнутому контуру Λ. Из теоремы Стокса следует,
что
V =
где интеграл берется по поверхности S, ограниченной контуром Γ.Скорость изменения магнитного потока Φ, проходящего через поверхность S,
dΦ
c
dt
ds · E,
Γ
dS ·∇×E,
S
, (5.1)
60 ГЛАВА 5
равна
dΦ
dt
d
=
dt
dS · B.
S
В случае замкнутой петли Γ d/dt можно заменить на ∂/∂t, тогда экспери-
ментальный результат Фарадея примет вид
dS ·∇×E = −
S
1
c
S
dS ·
∂B
, (5.2)
∂t
где знак «минус» вводится на основе экспериментально установленного
направления ЭДС. Это интегральное отношение справедливо для любых
замкнутых контуров Γ, что возможно только в том случае, когда подынтегральные выражения равны в каждой точке. Таким образом, мы требуем
выполнения в каждой точке равенства
∂B
= −c∇×E. (5.3)
∂t
Ясно, что мы получили уравнение (1.5). Это дифференциальная форма закона индукции Фарадея. Интегральная форма этого закона дается уравнением
(5.1), представляющим прямое следствие эксперимента.
Чтобы вывести уравнение Максвелла (1.6), нужно обратить внимание,
что закон сохранения электрического заряда δ требует выполнения равенства
∂δ
∇·j = −
, (5.4)
∂t
ане∇·j =0для стационарных условий. Таким образом, уравнение (3.10)
принимает вид
[j(r
) ·∇]
r − r
|r − r|
∂x
∂
k
r − r
(r)
j
k
|r − r
= −
3
3
|
+
r − r
|r − r|
3
∂δ(r)
∂t
. (5.5)
Вновь обратим внимание читателей на то, что первый член в правой части
уравнения представляет собой дивергенцию, которая исчезает при интегрировании по всему объему, в силу чего при интегрировании по всему
пространству r
1
d
c
3r
при использовании уравнения (2.4) мы получим лишь
r − r
|r − r|
3
∂δ(r)
∂t
=
1
∂
3r
d
c
∂t
δ(r,t)
r − r
|r − r|
3
=+
∂E(r,t)
1
c
∂t
.
(5.6)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]