Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
9.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ ЗАКОНУ АМПЕРА 131
выражает общее движение плазмы. Суть в том, что движение u помещает
плазму в локальную систему отсчета, где нет электрического поля, E
=0.
Только в такой системе отсчета ионы и электроны способны к совместному
движению.
В таком случае необходимо отметить, что u представляет скорость
движения плазмы под действием наложенного извне электрического поля E(t), перпендикулярного B(t). С другой стороны, в условиях космоса,
где вмешательство извне отсутствует, объемная скорость u определяется
ньютоновским уравнением импульса (8.12). В этом случае уравнение (9.37)
определяет E в системе отсчета, связанной с лабораторией, исходя из того, что в плазме E
=0. Решая уравнение (9.37) для E в системе отсчета,
связанной с лабораторией, мы получаем для составляющей электрического
поля, перпендикулярной B, уже известное нам отношение
⊥
= −
u × B
. (9.38)
c
E
Заметим, что отдельный ион или электрон, обладающий тепловой скоростью w относительно общего движения u, подвергается действию электрического поля w × B/c, т. е. силы Лоренца, которая заставляет его совершать знакомое циклотронное движение.
А теперь разделим уравнение (9.33) на Ω(t). Затем продифференцируем полученный результат по времени и воспользуемся уравнением (9.34),
чтобы исключить d
2
y/dt2. В результате получим
dt
d
1
Ω(t)
2
x
d
2
dt
E(t)
d
dt
c
B(t)
=
− Ω(t)
dx
dt
.
Усреднение на циклотронный период позволяет исключить левую часть,
отвечающую за быстрые колебания, так что
dx
dt
d
=
dt
du
=
dt
Ω(t)
E(t)
c
B(t)
1
1
=
Ω(t)
,
где u — величина скорости электрического дрейфа u, заданной уравнением (9.37). Движение dx/dt называется поляризационным дрейфом иобозначается через u
,причем
p
1
u
=
p
ΩBB
du
. (9.39)
×
dt
132 ГЛАВА 9
Очевидно, что средний дрейф частицы dx/dt зависит от знака q в Ω(t),
поэтому ионы и электроны дрейфуют в противоположных направлениях,
создавая полный ток. Этот поляризационный дрейф обусловлен инерциальной силой, которую каждый ион и электрон ощущают из-за ускорения
плазмы du/dt. Связанный с ним поляризационный электрический ток имеет вид
j
=
p
n(M + m)c
2
B
B ×
du
, (9.40)
dt
где M — это уже масса иона, а m — масса электрона. Совершенно очевидно,
что электрическое поле создает электрический ток, только пока ускоряется плазма. Таким образом, это может происходить неопределенно долго. С
другой стороны, ∇×B в направлении, перпендикулярном B,вполнеможет оказаться ненулевым. Другими словами, пока плазма выдавливает магнитное поле или наоборот, мы можем говорить о силе Лоренца, имеющей
составляющую ∇×B, перпендикулярную B, что требует токового потока,
перпендикулярного B. Очевидно, мы должны обратить более пристальное
внимание на движение отдельных ионов или электронов, потому что присутствие силы Лоренца способно тем или иным образом создать связанный
ток, требуемый законом Ампера.
Рис. 9.3. Траектория заряженной частицы в проекции на плоскость, перпендикулярную локальному магнитному полю. Магнитноеполенесколькосильнеенаверхней
стороне орбиты частицы и несколько слабее на нижней ее стороне, что создает
изменение циклотронного радиуса и закономерный дрейф ведущего центра орбиты
Прежде всего как электроны, так и ионы дрейфуют в системе отсчета, где электрическое поле отсутствует, то есть скоростью электрического
дрейфа является u. Рассмотрим тогда обычную конфигурацию крупномасштабного магнитного поля и плазмы, в которой характерный масштаб l
плазмы и магнитного поля велик по сравнению с циклотронным радиусом R отдельных ионов и электронов. В этом случае движение отдельных
заряженных частиц можно достаточно точно описать с помощью общеизвестного приближения ведущего центра, оговаривая, что главным попереч-
9.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ ЗАКОНУ АМПЕРА 133
ным движением частицы с массой M изарядомq является циклотронное
движение по окружности радиуса R = w
цы, движущейся с тепловой скоростью w
/Ω,гдеΩ = qB/Mc для части-
n
, перпендикулярной B.Напря-
n
женность поля, направленная поперек диаметра 2R круговой циклотронной траектории, обычно характеризуется небольшим, но отличным от нуля
градиентом O(B/l). Таким образом, кривизна во всех других отношени-
ях идеально круглой траектории несколько изменяется от одной стороны
к другой, из-за чего круговая траектория медленно смещается, как можно
увидеть из рис. 9.3. Определим l через
|∇
B|
1
l
n
=
, (9.41)
B
где ∇
няя скорость дрейфа v
обозначает перпендикулярную составляющую градиента B.Сред-
n
круговой траектории определяется выражением
G
2
Mw
c
v
G
n
=
2qB
B ×∇
4
2
B
. (9.42)
2
Тогда скорость дрейфа вдоль локального контура постоянной B можно записать как
R
w
=
v
G
Та же частица, двигаясь со скоростью w
ощущает центробежную силу F = Mv
. (9.43)
n
2l
по линии поля кривизны K ,
s
2
K, которая вызывает смещение
s
этой частицы в направлении, перпендикулярном F и B, со скоростью
v
F
=
C
=
MΩ
2
w
s
Ω
K
=
(9.44)
,
причем лоренцева сила этого смещения направлена в сторону, противоположную центробежной силе F, в результате чего эти силы взаимоуничтожаются. Формально
2
c
Mw
s
=
B × [(B ·∇)B], (9.45)
4
qB
где w
v
C
2
выражает среднеквадратичную тепловую скорость, вектор которой
s
направлен параллельно вектору напряженности магнитного поля.
134 ГЛАВА 9
Вектор скорости частицы, направленный перпендикулярно B,состоит
из движения u
+ vG+ vC+ vPцентра циклотронной окружности (веду-
P
щего центра) и кругового циклотронного движения вокруг центра с тепловой скоростью w
следует, что диагональная составляющая тензора давления p
в плоскости, перпендикулярной B. Из уравнения (8.7)
n
вследствие
n
тепловых движений, перпендикулярных B, имеет вид
1
1
2
p
=
n
V
2
Mw
, (9.46)
n
где сумма берется по всем частицам, содержащимся в небольшом объеме V ,аM обозначает общую массу иона или электрона. В таком случае,
очевидно, что p
— это полная тепловая энергия на единицу объема в двух
n
направлениях, перпендикулярных B. Аналогично диагональная составляющая тензора давления p
, обусловленная тепловыми движениями wsпарал-
s
лельно B, имеет вид
Очевидно, что p
1
p
=
s
V
обозначает удвоенную суммарную кинетическую энергию
s
2
. (9.47)
Mw
s
тепловых движений вдоль вектора B.
Далее нужно вычислить суммарную плотность тока j
, перпендику-
n
лярную B, путем суммирования всех движений частиц, заданных уравнениями (9.40), (9.42) и (9.45), не забывая про ток, связанный с циклотронным движением отдельных ионов и электронов в присутствии градиентов
плотности и температуры. Для этого необходимо выполнить ряд запутанных геометрических построений (Parker, 1957a), воспроизводить которые
здесь не имеет смысла. Важная особенность этой суммы, берущейся по
всем ионам и электронам, состоит в том, что тепловые движения в сумме
дают p
j
или psв каждом слагаемом, причем итоговый результат имеет вид
n
c
=
⊥
B ×∇pn+
2
B
4π(p
− pn)
s
2
B
(B ·∇)B
4π
+ N (M + m)
du
dt
. (9.48)
Подставляя полученный ток в уравнение Ампера (3.11), получаем
N(M + m)
du
dt
= −∇
p
n
n
2
B
+
8π
[(B ·∇)B]
+
4π
1 −
p
B2/4π
n
s
− p
n
, (9.49)
где индекс n обозначает составляющую, перпендикулярную B. Мы видим,
что это уравнение представляет собой магнитогидродинамическое уравне-
9.7. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ ВДОЛЬ ВЕКТОРА B 135
ние импульса для движения, перпендикулярного B, с дополнительным слагаемым 4π(p
− pn)/B2. Это слагаемое представляет центробежную силу
s
любых избыточных тепловых движений по искривленным линиям поля,
действующую вовне в противовес натяжению поля, направленному внутрь.
Данный эффект исчезает в случае изотропных тепловых движений, так как
= pn.
p
s
Вывод этого уравнения импульса непосредственно из уравнения Ньютона, без использования уравнения Ампера имеется в работе Биттенкурта
(Bittencourt, 1986).
Здесь важно то, что электрический ток автоматически удовлетворяет закону Ампера при одном лишь условии, что как отдельные тепловые
движения, так и общее движение удовлетворяют ньютоновским уравнениям движения. Таким образом, как уже отмечалось ранее, законы Ньютона
и Максвелла удовлетворяются автоматически, поскольку и тот, и другой
являются фундаментальными законами природы.
Мы выполнили это вычисление много лет назад (Parker, 1957) в надежде найти какое-либо условие, при котором уравнение Ампера не удовлетворялось бы автоматически, в результате чего возникал бы ток смещения ∂E/∂t и неуправляемое электрическое поле. Такая ситуация была бы
интересна, однако полученный нами результат, а именно: полное соответствие в рамках обычной гидродинамики и магнитогидродинамики, — читатель может наблюдать здесь. Именно этот расчет открыл нам глаза на универсальность гидродинамики и магнитогидродинамики даже в присутствии
тепловой анизотропии. Это стало важным первым шагом к признанию гидродинамического происхождения корпускулярного излучения (Parker, 1958,
1963a) в расширяющейся солнечной короне. Концепция корпускулярного
излучения (имевшая таинственное происхождение на Солнце) сменилась
гидродинамической концепцией расширения солнечной короны, создающего солнечный ветер.
В итоге мы можем сказать, что ток автоматически удовлетворяет закону Ампера. Сомнения насчет реализации этого утверждения в высокопроводящей столкновительной плазме, высокопроводящем частично ионизованном газе или бесстолкновительной плазме абсолютно излишни.
9.7. Движение частиц вдоль вектора B
Вдоль вектора B частицы движутся свободно, если не считать зеркальной силы, возникающей от конвергенции или дивергенции магнитного поля
в направлении B. Для конечного циклотронного радиуса R = Mcw
n
/qB
136 ГЛАВА 9
частицы с массой M ,зарядомq и скоростью wn, направленной перпендикулярно B, очевидно, что направление поля на циклотронной орбите
отдельной частицы отличается от направления этого поля в ведущем центре орбиты, что явствует из рис. 9.4. Закон сохранения магнитного потока
Рис. 9.4. Схематическое изображение циклотронной орбиты частицы с зарядом q
и массой M, движущейся перпендикулярно вектору магнитного поля B с скоростью w
стояния s вдоль линий поля, а циклотронный радиус равен R(s)=Mw
. Напряженность магнитного поля B(s) изменяется в зависимости от рас-
n
c/qB(s)
n
(∇·B =0)требует, чтобы произведение площади поперечного сечения
A(s) любогопучкапотокананапряженностьполяB(s) не менялось с рас-
стоянием s, измеренным вдоль поля. Другими словами, суммарный магнитный поток Φ=A(s)B(s) остается постоянным на протяжении всего пучка.
Рассмотрим тогда пучок потока с радиусом ξ(s),т.е.A(s)=πξ(s)
2
.Из
вышесказанного следует, что
= −
ξ
. (9.50)
2BdBds
dξ
ds
Таким образом, если рассмотреть пучок потока, ограниченный циклотронной орбитой с радиусом R, получается, что угол наклона поля на орбите
к полю в центре орбиты равен
dξ
ds
= −
R2BdB
. (9.51)
ds
Угол наклона, конечно, мал, потому что B(s) изменяется в большом масштабе l R. Сила Лоренца, действующая на частицу и направленная в сторону, противоположную центробежной силе w
2
/R, наклонена к радиально-
n
9.7. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ ВДОЛЬ ВЕКТОРА B 137
му направлению под небольшим углом dξ/ds, так что имеет составляющую
2
Mw
dξ
n
F
= −
s
= −
R
Mw
2B
=
ds
2
n
dB
,
ds
(9.52)
которая совпадает с направлением этого поля. Это так называемая зеркальная сила, которая отталкивает частицу в направлении, параллельном векто-
ру напряженности поля из областей большого значения B. Таким образом,
уравнение движения скорости частицы u
сать как
du
s
= −
dt
вдоль вектора поля можно запи-
s
2
w
n
2BdBds
. (9.53)
В более общем случае имеем
2
= −
w
n
B{B·[(B ·∇)B]}. (9.54)
4
2B
du
dt
s
Иногда этот результат ошибочно интерпретируется как доказательство того, что зеркальная сила вызывает уменьшение плотности частиц в областях
большого значения B(s). Если частицы отражаются от области плотного
поля, то плотность там, конечно, будет становиться меньше. Вообще, при
изотропном тепловом распределении зеркальная сила изгоняет частицы из
области с высокой напряженностью поля именно в таком количестве, которое способно компенсировать увеличение плотности частиц, возникающее из-за сжатия, как в трубе, создаваемого сходящимися силовыми линиями. Как мы увидим чуть позже, уменьшение плотности частиц происходит
только в том случае, когда тепловые скорости демонстрируют перевес перпендикулярного движения w
.
n
В таком случае следует отметить, что кинетическая энергия движения
частицы вдоль поля со скоростью u
1
d
Mu
2
ds
изменяется согласно формуле
s
= −
1
2
Mw
2
s
dB
1
2
n
, (9.55)
B
ds
где
du
dt
du
s
=
s
dsdsdt
= u
du
s
s
ds
d
1
=
ds
2
u
s
2
138 ГЛАВА 9
в присутствии магнитного поля, стационарного во времени. Полная кинетическая энергия частицы не изменяется с течением времени, так что
2
(s)+u
w
n
Тогда, принимая во внимание, что отношение w
2
(s)=w
s
2
(0) + u
n
2
(0).
s
2
(s)/B(s) инвариантно (см.
n
приложение E), получаем, что
2
w
n
(s)=w
B(s)
2
(0)
n
B(0)
.
При этих условиях уравнение (9.55) можно переписать и проинтегрировать
полученный результат, чтобы получить
2
u
(s)=u
s
2
(0) + w
s
Обратите внимание, что скорость u
2
(0)1 −
n
(s) падает до нуля, причем частица
s
B(s)
B(0)
.
отражается обратно, в зеркальной точке,гдеB(s) возрастает до
B(s)
B(0)
2
w
(0) + u
n
=
2
(0)
s
2
w
(0)
n
. (9.56)
Далее общее совокупное движение бесстолкновительных частиц вдоль
стационарного поля нельзя рассматривать так же просто, как мы это делали
при построении уравнений (8.5), (8.12) и (8.15), потому что теперь частицы отклоняются между параллельным и перпендикулярным направлениями
путем отражения при изменении dB/ds напряженности поля. Поэтому мы
используем более детальный подход, в котором имеется очень удобный инструмент: бесстолкновительное уравнение Больцмана. Расчет производится
в локальной системе отсчета, движущейся со средней скоростью плазмы
перпендикулярно стационарному крупномасштабному полю B(s).Обо-
v
n
значим полную скорость частиц через u и введем угол падения θ между
векторами u и B. Таким образом, скорость, параллельная вектору поля,
имеет вид u
= ucos θ, а скорость, перпендикулярная полю, — wn= usin θ.
s
Уравнение Больцмана описывает изменение функции распределения частиц
F (s, θ, t)dθ, задавая число частиц на единицу объема в промежутке dθ.
Бесстолкновительное уравнение Больцмана (см. Parker, 1957) можно
записать как
∂F
∂t
+ u cos θ
∂F
∂s
+
u sin θ
2B
dB
ds∂F∂s
−
u cos θ
2B
dB
F =0 (9.57)
ds
9.7. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ ВДОЛЬ ВЕКТОРА B 139
для частиц с постоянной скоростью u в стационарном магнитном поле B(s). Плотность числа частиц равна
π
N(s, t)=
dθF (s, θ, t). (9.58)
0
Средняя общая скорость v
N(s, t)v
(s, t), параллельная полю, задана уравнением
s
π
(s, t)=
s
dθF (s, θ, t)u cos θ. (9.59)
0
Движение, перпендикулярное полю, определяется тепловой циклотронной
скоростью w
, заданной уравнением
n
N(s, t)w
(s, t)=
n
π
dθF (s, θ, t)u sin θ. (9.60)
0
Проинтегрируем уравнение Больцмана (9.57) по θ от 0 до π иполучим
π
∂N
∂t
∂
+
Nv
+
s
∂s
2B
u
dB
ds
0
dθ
∂F
sin θ − F cos θ=0.
∂θ
Интегрирование по частям дает
Nv
∂N
∂t
+ B(s)
∂
∂s
s
=0. (9.61)
B(s)
Чтобы увидеть геометрическую основу для этого отношения, обратите внимание, что площадь поперечного сечения A(s) каждого элемента пучка потока изменяется обратно пропорционально B(s),такчто
∂N
∂t
+
1
A(s)
∂
A(s)Nv
∂s
=0, (9.62)
s
и мы имеем ожидаемое утверждение о том, что скорость изменения числа
частиц A(s)N(s) на единицу длины трубки потока равна взятой с обратным
знаком дивергенции потока этих частиц вдоль поля. Тепловая анизотропия
140 ГЛАВА 9
проявляется лишь неявным образом через изменения в vs, которые мы рассмотрим ниже.
Чтобы вывести уравнение импульса для общего потока частиц Nv
вдоль поля, умножим уравнение Больцмана (9.57) на Mucos θ и заметим,
что
π
dθF (s, θ, t)Mu2sin2θ = NMw
0
2
n
= pn.
Плотность кинетической энергии потока, параллельного B, равна сумме
плотности энергии
1
2
неквадратичной тепловой скорости w
1
2
NMw
2
, с диагональной составляющей тензора давления ps= NMw
s
NMv
2
общего потока и кинетической энергии сред-
s
, параллельной магнитному полю,
s
s
Таким образом,
π
F (s, θ, t)Mu2cos2θ = NMv
0
2
s
+ ps.
Интеграл Mucos θ по уравнению Больцмана дает
s
2
.
∂s
p
s
− p
s
n
+
dB
B
, (9.63)
ds
∂
∂t
NMν
∂
NMν
+
s
∂s
1
dB
2
−
s
NMν
B
ds
2
s
= −
∂p
а при интегрировании по частям вновь слагаемое по ∂F/∂θ.Умножимтеперь уравнение (9.61) на Mν
и вычтем полученный результат из уравнения
s
(9.63). В итоге имеем
NM
∂ν
s
+ ν
∂t
∂ν
s
∂s
= −
s
∂p
∂s
p
− p
s
s
n
+
dB
B
ds
(9.64)
для составляющей уравнения импульса, параллельной B.
В случае тепловой изотропности, когда p
= pn, уравнение (9.64) при-
s
нимает общеизвестный вид уравнения Эйлера для потока жидкости. В таком случае заметим, что при p
n>ps
увеличение B(s) вдоль поля приводит
к суммарному уменьшению общей скорости потока вследствие отталкивающей зеркальной силы, которая преобладает над конвергенцией линий поля.
С другой стороны, при p
>pnсходящиеся линии поля преобладают над
s
зеркальной силой, из-за чего происходит суммарное увеличение плотности
импульса потока плазмы в область увеличения B(s) поля. С увеличением B
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]