Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Беседы об электрических и магнитных полях в космосе
.pdf
8.3. ТЕНЗОР ДАВЛЕНИЯ 101
Далее нужно исключить из левой части уравнения производную по времени NMυ
де NMν
, что можно сделать, записав производную по времени в ви-
iυj
/∂t + νj∂NMνiνj/∂t и применив уравнения (8.10) и (8.12).
i∂νj
В итоге, получим следующее выражение лагранжевой производной тензора давления p
Теплопроводность в этом уравнении выражается слагаемым ∂T
∂p
∂t
:
ij
+ υ
∂p
ij
= −p
k
∂x
k
ij
∂υ
k
ij
∂x
k
− p
∂υ
j
ik
∂x
k
− p
∂υ
kj
∂x
∂T
k
k
ijk
−
∂x
.
k
/∂xk,
ijk
но, конечно, нельзя исключать и другие источники тепла, не учтенные
в уравнении локального давления, например, рассеяние волн или многочисленные нановспышки, как в солнечном ветре и активной солнечной короне
соответственно. Поэтому в правой части уравнения мы вводим член общего вида S
извне силы F
так же, как мы это делали в случае с введением приложенной
ij
в правую часть уравнений (8.11) и (8.12). Таким образом,
i
∂p
ij
∂t
+ υ
∂p
ij
= −p
k
∂x
k
∂υ
k
ij
∂x
k
− p
∂υ
j
ik
∂x
k
− p
∂υ
kj
∂x
Выведем теперь уравнение тензора теплового потока T
но, что уравнение ∂T
данный (1/V )Mw
пятого порядка X
/∂t содержит тензор четвертого порядка W
ijk
iwjwkwl
ijklm
. Тогда уравнение для W
, заданный выражением (1/V )Mwiwjwkwlwm,
∂T
k
k
ijk
−
+ Sij. (8.15)
∂x
k
. Нам извест-
ijk
содержит тензор
ijkl
ijkl
,за-
и так до бесконечности. За годы работы различные исследователи создали
целый ряд схем, позволяющих замкнуть эту бесконечную систему уравнений, причем каждая из этих схем рассчитана на определенные физические
условия. Однако в астрофизических условиях нам обычно неизвестны либо начальные условия, либо граничные условия, накладываемые на W
X
компоненты T
и т. д. Более того, мы не можем охватить наблюдением и различные
ijklm
. Сложные математические операции особой ясности в эти
ijk
ijkl
вопросы не вносят. В гораздо большей степени они нужны для того, чтобы
замаскировать и скрыть ограниченность наших знаний о фактическом тепловом потоке. Таким образом, мы полагаем, что в большинстве случаев теплопроводность можно изучать с помощью более простых средств. Тепловой
поток обычно можно оценить на основе простых физических соображений
по эффективной, а порой и подавленной теплопроводности. Следует также
помнить и о том, что источник тепла S
ватмосферезвездыиеезвездного
ij
ветра, а также вокруг оных по меньшей мере так же важен, как и теплопроводность, а точная природа S
обычно неизвестна вообще. В качестве
ij
наглядного примера отметим, что солнечный ветер, пересекающий орбиту
,
102 ГЛАВА 8
Земли, расширяется главным образом в двух поперечных направлениях,
причем его радиальная скорость остается, в сущности, постоянной. Таким
образом, мы должны были бы ожидать, что в поперечном направлении температура будет значительно ниже, чем в радиальном. Однако наблюдения
за ветром свидетельствуют о том, что иногда температура ионов в поперечном направлении равна их температуре в направлении радиальном или
превышает ее. Это указывает на значительный приток тепла в поперечные
тепловые движения ионов, предположительно привносимый поперечными
волнами плазмы вблизи циклотронной частоты ионов где-то в пределах
земной орбиты. В то же время температура электронов на земной орбите,
судя по всему, зависит, главным образом, от теплопроводности обратной
стороны горячей солнечной короны, поэтому их температура обычно ниже
температуры ионов и зависит только от теплопроводности. Общая динамическая картина в таком случае ограничивается эмпирическими фактами.
Во-первых, между детальным пониманием физической ситуации и сложностью математики, используемой для моделирования этой ситуации, должно существовать приблизительное «соответствие импедансов». Этот способ
действия полностью соответствует совету, который дал порядка шестидесяти лет назад Г. П. Робертсон: «Когда математика становится слишком сложной, значит пора остановиться и подумать о физике».
Таким образом, в целях повторения базовой физики тепловых изменений в элементарных потоках, отметим, во-первых, что несжимаемый поток
однородной жидкости (для которого p
= pδij, а условие бездивергент-
ij
ности ∇·v =0заменяет уравнение (8.15), чтобы выразить изменение во
времени давления p) подвержен гидродинамической турбулентности. Одна только эта тема занимала умы лучших физиков и математиков еще со
времен Рейнольдса (см. Reynolds, 1883, 1895; Lamb, 1932; Goldstein, 1938;
Kolmogoroff, 1941a,b, 1962; Landau and Lifschitz, 1959; Batchelor, 1967, 1971;
Kraichnan, 1974; Kraichnan and Montgomery, 1980; McComb, 1990; Saffman,
1992, и ссылки, приведенные в этих работах) и впоследствии вышла далеко за пределы тех простых разговоров. По мнению Робертсона, турбулентность в космосе можно изучать, используя физические концепции вихрей
и длину перемешивания, хотя они обыкновенно пренебрегают такими тонкостями, как сжимаемость, статистическая анизотропия и разрывы, но все
же дают полезное понимание глобальных динамических особенностей турбулентной жидкости.
Наши беседы направлены на гидродинамику плазмы, но, помимо
несжимаемой турбулентности классической гидродинамики, они также допускают сжимаемость и тепловую анизотропию. Это весьма существенно увеличивает теоретическую сложность, даже если не вводить понятие
8.4. ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ПРИ ПОСТОЯННОМ РАСШИРЕНИИ 103
магнитного поля, необходимое для получения магнитной гидродинамики.
Поэтому для начала обратим внимание на динамические расширения уравнения (8.15), позволяющие понять, каким образом тензор давления p
за-
ij
висит от неоднородного объемного потока v. Мы изучим влияние однородного, но анизотропного расширения и однородного сдвига, чтобы иметь
возможность оценить, каким образом эти эффекты проявляются в обыкновенно неоднородных полях скорости. Это элементарное физическое исследование будет продолжаться и в следующей главе, достигая своего апогея
в дважды адиабатическом (инвариантном) исследовании Чу–Голдбергера–
Лоу анизотропии давления в присутствии неоднородного магнитного поля.
Физический подход, конечно, не обладает изящностью формального математического вывода, базирующегося на теоретической основе, но обеспечивает нужное направление исследования проблем динамики, которые мы
имеем благодаря наблюдениям, и указывает путь другим ученым, экипированным более совершенными математическими инструментами. С формальным математическим подходом читатель может ознакомиться в самых
разных монографиях (см. Wu, 1966) хотя бы ради сравнения с результатами
наших бесед.
8.4. Изменение давления при постоянном расширении
Рассмотрим равномерное одномерное расширение в направлении i =
=1,причем∂ν
равными нулю. В отсутствие крупномасштабного сдвига мы полагаем, что
недиагональные члены p
ет, что диагональные члены задаются уравнениями
/∂x1=1/τ1,авсепрочиесоставляющие∂νi/∂xiположим
1
пренебрежимо малы. Из уравнения (8.15) следу-
ij
dp
dt
11
= −3
p
dp
11
τ
22
1
dt
= −
p
dp
22
τ
33
1
dt
= −
p
33
. (8.16)
τ
1
При
dN
dt
= −
N
τ
1
из уравнения (8.5) следует, что в любом движущемся элементе плазмы
p
(N)=p11(N0)
11
3
N
,p22(N)=p22(N0)
N
0
p
33
N
N
0
(N)=p33(N0)
,
N
. (8.18)
N
0
Это и есть хорошо известное одномерное адиабатическое расширение.
(8.17)
104 ГЛАВА 8
Рассматривая расширение в трех направлениях, предположим, что
∂υ
∂x
1
=
1
∂υ
1
τ
1
2
,
∂x
=
2
∂υ
1
τ
2
3
,
∂x
1
=
. (8.19)
τ
3
3
Тогда уравнение (8.15) дает
где
dp
dt
11
= −p
1
3
11
+
τ
τ
1
dN
2
dt
+
= −N
dp
1
τ
3
22
dp
dt
dt
33
= −p
= −p
,
1
1
+
τ
τ
1
3
1
11
+
τ
τ
1
1
1
33
+
τ
τ
1
1
+
,
τ
2
3
3
+
, (8.20)
τ
2
3
1
. (8.21)
+
τ
2
3
Таким образом, давление в движущемся элементе плазмы изменяется согласно
p
(N)=p11(N0)
11
1+2α(1)
N
N
0
1
,p22(N)=p22(N0)
p
(N)=p33(N0)
33
1+2α(2)
N
N
N
N
0
0
1+2α(3)
,
(8.22)
с плотностью N ,где
1/τ
α(n)=
1/τ1+1/τ2+1/τ
n
. (8.23)
3
Это общий вид уравнения адиабатического охлаждения в бесстолкновительной плазме. Изотропное расширение (τ
что давление изменяется пропорционально N
(τ
= τ2=0,τ3= ∞) ведет к изменению p11и p22пропорционально N2,
1
тогда как p
изменяется пропорционально N .
33
= τ2= τ3)приводитктому,
1
5/3
. Двумерное расширение
Эти результаты несложно понять в контексте свободного движения отдельных частиц. Для этого достаточно рассмотреть одномерное однородное расширение, когда υ
частицу, которая движется в направлении x
+ w1.Тогда,посколькуdu1/dt =0, можно записать, что
= υ
1
= x1/τ1,т.е.∂ν1/∂x1=1/τ1> 0. Рассмотрим
1
dw
1
= −
dt
с постоянной скоростью u1=
1
dυ
1
=(8.24)
dt
8.4. ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ПРИ ПОСТОЯННОМ РАСШИРЕНИИ 105
dυ
dx
1
1
= −
= −
dx
1
dτ
=(8.25)
dt
1
w1, (8.26)
1
когда частица пересекает линию x
=0,гдеυ1=0. Таким образом, с тече-
1
нием времени тепловая скорость уменьшается. Плотность также уменьшается согласно уравнению (8.17). При объединении уравнений (8.17) и (8.24)
в результате получается
dw
dN
а это свидетельствует о том, что w
w
1
1
=
, (8.27)
N
изменяется прямо пропорциональ-
1
но N . Таким образом, отдельная частица не теряет энергии при растяжении
∂ν
/∂x1,норазличиеu1между скоростью всего объема υ1итепловойско-
1
ростью w
пропорционально Nw
ации p
остаются неизменными.
w
33
изменяется так, что w1уменьшается. Поскольку давление p
1
и p33уменьшаются только пропорционально N ,потомучтоw22и
22
2
, давление p11пропорционально N3.Втойжеситу-
1
11
Более традиционным подходом к адиабатическому охлаждению является введение плоских отражающих стенок в x
жутся вместе с жидкостью, так что dL/dt = L/τ
w1, мы рассматриваем частицу, которая скачет туда-сюда, ударяясь
L/τ
1
= ±L(t), которые дви-
1
. Работая в пределе при
1
об эти удаляющиеся стенки. Эта частица сталкивается со стенкой в промежутки
2L
Δt =
, (8.28)
w
1
теряя скорость
Δw
1
= −
2L
dt
= −
2L
τ
1
(8.29)
при каждом столкновении со стенкой. В промежуток Δt длина L увеличивается на
LΔt
ΔL =
. (8.30)
τ
1
Отсюда следует, что
Δw
w
1
1
= −
ΔL
L
.
Путем интегрирования мы получаем хорошо известный продольный инвариант
w
(t)L(t)=w1(0)L(0). (8.31)
1
106 ГЛАВА 8
Тогда, раз
N(t)L(t)=N (0)L(0), (8.32)
получается, что величина w
(t) пропорциональна N(t), как и следует из
1
уравнения (8.27).
8.5. Сдвиговой поток
С учетом этих замечаний о диагональных членах тензора pijрассмотрим поведение недиагональных его членов в присутствии простого ламинарного сдвигового потока. Предположим, что ∂ν
остальные составляющие ∂ν
/∂xjравны нулю. Из уравнения (8.15) сле-
i
дует, что
dp
12
,
12
dp
13
= −
dt
dt
dp
22
=
p
23
,
τ
12
dp
dt
dp
11
dt
12
= −
= −
p
22
τ
12
2p
τ
,
Предположим, что в момент времени t =0все недиагональные члены
равны нулю. Несложно увидеть, что при dp
/dt =0тензор p12принимает
22
вид
t
, (8.35)
22
τ
12
22
τ
а
Аналогично, при dp
p
(t)=−p
12
(t)=p11(0) + p
p
11
/dt =0мы получаем
23
/∂x2=1/τ12,авсе
1
33
=0, (8.33)
dt
dp
23
=0. (8.34)
dt
2
t
. (8.36)
12
p
(t)=0. (8.37)
13
Асимметрия p
нейно, по мере прибытия частиц, со скоростью w
(t) тепловой скорости w1со временем увеличивается ли-
12
, с дальних областей
2
сдвига, расположенных по направлению, перпендикулярному направлению
сдвига. Таким образом, p
со временем растет квадратичным образом,
11
представляя «вязкое» нагревание по мере того, как частицы, появляющиеся из все более удаленных областей, переносятся через линию сдвига со
скоростью w
. Существование столкновений между частицами, безусловно,
2
ограничивало бы этот рост, создавая вязкость в том самом виде, который
известен каждому. Кроме того, определенное изменение в тепловое движение вносит и тепловой поток, который в данном примере равномерного
сдвига мы просто не рассматривали.
8.6. ЭФФЕКТЫ СТОЛКНОВЕНИЙ 107
Таким образом, поведение шести независимых составляющих p
вполне понятно, если выражать его через свободные движения отдельных частиц через градиенты скорости всего объема плазмы ∂ν
/∂xj.Эти
i
же концепции выходят на первый план и в девятой главе, где в присутствии крупномасштабного магнитного поля мы вычислим p
по методу
ij
Чу–Голдбергера–Лоу.
8.6. Эффекты столкновений
Рассмотрим, каким образом изменяются уравнения для pijпри рассеянии в результате столкновений между частицами, мелкомасштабными
волнами плазмы и т.д. Полезное представление эффектов рассеяния можно осуществить с помощью простого линейного изотропного слагаемого
рассеяния, так что вместо уравнения (8.20) мы запишем
dp
dp
dp
dt
dt
dt
11
22
33
= −p
= −p
= −p
1
3
11
+
τ
τ
1
3
1
22
+
τ
τ
1
1
1
33
+
τ
τ
1
где τ — характерное время рассеяния, предназначенное для описания конкретных условий. Обратите внимание, что в некоторых специальных случаях волнового рассеяния между различными компонентами может быть разное время рассеяния, что, впрочем, несложно учесть в вышеприведенных
уравнениях вместо простого времени рассеяния τ . В качестве наглядного
примера можно привести солнечный ветер, где температура ионов повышается в результате волнового нагревания (рассеяния), которое происходит
в основном в двух поперечных направлениях. Так происходит потому, что
в межпланетном пространстве волны распространяются преимущественно
в двух поперечных направлениях, и все же было замечено, что поперечная
кинетическая температура зачастую имеет либо такую же величину, как
и радиальная, либо выше. Выражение такого суммарного теплового притока можно без труда ввести в уравнения (8.38)–(8.40).
В других случаях анизотропия может привести к неустойчивости плазмы (волнам), рассеивающей частицы, в результате чего анизотропия падает.
Если ситуация будет предоставлена самой себе, то вряд ли стоит ожидать
1
+
τ
2
3
1
+
τ
2
3
3
+
τ
2
3
− p
p
22
+
τ
− p
p
33
+
τ
− p
p
11
+
τ
p
11
22
33
− p
33
+
p
+
p
+
11
, (8.38)
τ
− p
11
22
, (8.39)
τ
− p
22
33
, (8.40)
τ
ij
108 ГЛАВА 8
существования сильной анизотропии на протяжении продолжительного характерного времени крупномасштабного движения плазмы. В общем случае мы возвращаемся к уравнению (8.15) и вводим в правую его часть любые линейные слагаемые рассеяния, которые подходят к рассматриваемой
в данный момент ситуации.
Для настоящего случая рассмотрим простой и наглядный пример, когда общее сжатие или расширение отсутствует (1/τ
=1/τ2=1/τ3=0),
1
но имеет место анизотропное распределение начальной тепловой скорости.
Последующая релаксация, сопровождаемая возвращением к изотропности
и описанная уравнениями (8.38)–(8.40), принимает вид
p
(t)=P + C1exp−
11
3t
, (8.41)
τ
3t
(t)=P + C2exp−
p
22
, (8.42)
τ
(t)=P + C3exp−
p
33
+ C2+ C3=0,аP определяется выражением
где C
1
p
(0) + p22(0) + p33(0)
11
P =
3
3t
, (8.43)
τ
. (8.44)
Уравнения (8.38)–(8.40) имеют огромное множество решений для различных комбинаций τ
1,τ2,τ3
и τ и для самых разных начальных условий.
В самом деле, в присутствии сильного растяжения можно предположить,
что время релаксации τ изменяется в зависимости от изменяющейся плотности N и фактической кинетической температуры. Тогда скорости растяжения 1/τ
, безусловно, со временем могут изменяться. Суть в том, что
n
данная простая эвристическая формулировка динамических уравнений для
p
— это, пожалуй, все, на что можно надеяться, когда дело доходит до
ij
вычисления сложного крупномасштабного движения плазмы. Полные кинетические уравнения можно построить с помощью формальных математических процедур, но они слишком сложны, чтобы оказаться полезными
в реальных физических ситуациях.
Для многих теоретических целей, например, когда внутреннее рассеяние волны остается неизвестным, мы пренебрегаем анизотропией и используем только глобальные особенности динамики, рассматривая давление как
8.6. ЭФФЕКТЫ СТОЛКНОВЕНИЙ 109
простой скаляр p,такчтоpij= δijp. Сумма уравнений (8.38)–(8.40) тогда
принимает вид
3
dp
dt
= −5p
1
1
+
τ
τ
1
1
+
τ
2
3
(8.45)
или
dp
dt
где γ — отношение значений удельной теплоемкости, равное
+ γp
∂v
k
=0, (8.46)
∂x
k
5
3
для частиц
без учета внутренних степеней свободы.
Сюда можно включить и тепловой поток, отметив, что плотность тепловой энергии равна U = p/(γ − 1), так что в отсутствие теплового потока
уравнение (8.46) принимает вид
∂v
dU
dt
+ γU
k
=0. (8.47)
∂x
k
В столкновительной плазме тепловые движения приближаются к изотропности, в силу чего мы можем говорить о четко определенной локальной
ного слагаемого, которое выражает теплопроводность. Итак, запишем
dU
dt
+ γU
∂v
∂x
k
∂
=
k
∂x
K
k
∂T
ij
. (8.48)
∂x
j
Теплопроводность может быть анизотропной из-за присутствия магнитного
поля, поэтому ее можно записать в виде тензора K
. Поток тепла сильно
ij
сконцентрирован вдоль магнитного поля, когда время столкновения частиц
превышает электронно-циклотронную частоту, потому что проводимость
представляет собой, главным образом, работу тепловых электронов с их
огромной тепловой скоростью (10
4
км/с при температуре T =106К). Параллельно вектору напряженности магнитного поля или во всех направлениях в отсутствии такового теплопроводность при наличии столкновений
имеет вид
k =6× 10
−7T5/2
эрг/см·с·К (8.49)
для небольших тепловых потоков в ионизованном водороде (Chapman,
1954; Spitzer, 1956) при K
= δijK. При этом мы делаем всего одно до-
ij
пущение: средняя траектория движения свободного электрона должна быть
меньше масштаба магнитного и температурного полей.
110 ГЛАВА 8
В правую часть уравнения (8.48) следует включить и другие источники тепла. В плотной плазме важную роль может играть лучистый перенос
тепла, приближаемый с помощью диффузионного слагаемого, аналогичного слагаемому, выражающему теплопроводность. Подробности этой теории
можно посмотреть в работе Михаласа и Вайбель–Михаласа (Mihalas and
Weibel–Mihalas, 1984). Вязкость превращает кинетическую энергию движения плазмы v в тепловое движение w, хотя в большинстве дозвуковых
потоков этот эффект не слишком выражен, и зачастую им можно пренебречь. Более подробно гидродинамическое уравнение энергии обсуждается
в работе Ландау и Лифшица (Landau and Lifschitz, 1959).
В бесстолкновительной плазме нам приходится суммировать траектории движения всех ионов и электронов, так что перенос тепловой энергии
становится упражнением из области ньютоновской механики.
8.7. Недиагональные компоненты и вязкость
Уравнения (8.35) и (8.36), выражающие скорости изменения недиагональных элементов в присутствии равномерного сдвига, несложно адаптировать к столкновениям частиц при введении слагаемых линейного рассеяния, аналогичных использованным в уравнениях (8.38)–(8.40). Вновь принимая ∂ν
/∂x2=1/τ12, запишем
1
= −
= −
dp
dt
p
dp
22
τ
12
p
23
τ
12
23
=0,
12
dp
,
τ
13
,
τ
=0,за-
23
−
−
dp
12
dt
dp
13
dt
где τ — это характерное время рассеяния частиц. Положив p
ключаем, что p
уменьшается пропорционально exp(−t/τ) и очень скоро
13
становится пренебрежимо малым, если изначально и не было равным нулю. Тогда у нас остается p
имеем
p
12
при p
(0) = 0, взятом в качестве начального условия. Таким образом, при
12
t τ
,иеслиp22и τ12не зависят от времени, то мы
12
(t)=−p
p
22
τ
(t) ≈−p
12
τ
1 − exp−
12
22
τ
τ
12
t
τ
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]